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哈达玛积(Hadamard)和克罗内克积(Kronecker积)

哈达玛积

目录

1、Hadamard积        

2、Kronecker积


1、Hadamard积        

        考虑两个矩阵之间的直接乘积。

        定义m\times n矩阵\mathbf{A}=\left [ a_{ij} \right ]m\times n矩阵\mathbf{B}=\left [ b_{ij} \right ]的Hadamard积记作\mathbf{A}\odot \mathbf{B},它仍然是一个m\times n矩阵,定义为

\mathbf{A}\odot \mathbf{B}=\left [ a_{ij} b_{ij}\right ]

        Hadamard积也称为Schur积或者对应元素乘积。矩阵Hadamard积的一个重要结果是下面的Hadamard积定理。

        定理:若m\times m矩阵是正定(或半正定)的,则它们的Hadamard积\mathbf{A}\odot \mathbf{B}也是正定(或半正定)的。

        推论(Fejer定理):令A是一个m\times m矩阵,则A是半正定当且仅当\sum_{i=q}^{m}\sum_{j=1}^{m}a_{ij}b_{ij}\geq 0对所有m\times m半正定矩阵B成立。

下面两个定理描述了矩阵的Hadamard积与迹之间的关系

        定理:令A,B,Cm\times n矩阵,并且\mathbf{1}=\left [1,1,\cdots ,1 \right ]^{T}n\times 1求和向量,\mathbf{D}=diag\left ( d_{1},d_{2},\cdots ,d_{m} \right ),其中,d_{i}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij},则

         定理:令A,B为正方矩阵,并且\mathbf{1}=\left [1,1,\cdots ,1 \right ]^{T}n\times 1求和向量,假设M是一个n\times n对角矩阵\mathbf{M}=diag\left ( \mu _{1},\mu_{2},\cdots ,\mu _{n} \right ),而\mathbf{m}=\mathbf{M}\mathbf{1}n\times 1向量,则有

Hadamard积具有以下性质

(1) 若A,B均为m\times n矩阵,则

(2) 任何一个m\times n矩阵Am\times n零矩阵\mathbf{O}_{m\times n}的Hadamard积等于m\times n零矩阵,即\mathbf{A}\bigodot\mathbf{O}_{m\times n}=\mathbf{O}_{m\times n}\bigodot \mathbf{A}=\mathbf{O}_{m\times n}

(3) 若c为常数,则

(4) 矩阵\mathbf{A}_{m\times m}=\left [ a_{ij} \right ]单位矩阵\mathbf{I}_{m}的Hadamard积为m\times m对角矩阵,即

(5) 若A,B,C,D均为m\times n矩阵,则

(6) 若A,Cm\times m矩阵,并且B,Dn\times n矩阵,则

(7) 若A,B,Cm\times n矩阵,则

(8) 若A,B,Dm\times m矩阵,则

(9) 若m\times m矩阵A,B是正定的(或半正定)的,则它们的Hadamard积\mathbf{A}\bigodot \boldsymbol{B}也是正定(或半正定)的。

 tip:关于Hadamard积的具体证明可自行查阅张贤达的《矩阵分析与应用》。

2、Kronecker积

        Kronecker积是表示矩阵特殊乘积的一种简洁数字符号。一个m\times n矩阵A和一个p\times q矩阵B的Kronecker积记作\mathbf{A}\otimes \mathbf{B},它是一个mp\times nq矩阵。

         Kronecker积也称直积(direct product)或者张量积(tensor product)。

定义(右Kronecker积)m\times n矩阵Ap\times q矩阵B的右Kronecker积\mathbf{A}\otimes \mathbf{B}定义为

 更具体可以表示为

 定义(左Kronecker积)m\times n矩阵Ap\times q矩阵B的左Kronecker积\mathbf{A}\otimes \mathbf{B}定义为

若矩阵\mathbf{A}_{m\times n}=\mathbf{a}\mathbf{b}^{T},则

如下面定理所述,向量化算子这一性质公式可以推广为矩阵乘积的向量化公式。

定理:令\mathbf{A}_{m\times p},\mathbf{B}_{p\times q},\mathbf{C}_{q\times n},则

Kronecker积具有以下性质

(1) 对于矩阵\mathbf{A}_{m\times n}\mathbf{B}_{p\times q},一般有\mathbf{A}\bigotimes \mathbf{B}\neq \mathbf{B}\bigotimes \mathbf{A}

(2) 任意矩阵与零矩阵的Kronecker积等于零矩阵,即\mathbf{A}\bigotimes \mathbf{O}\neq \mathbf{O}\bigotimes \mathbf{A}=\mathbf{O}

(3) 若\alpha\beta为常数,则

(4) 对于矩阵\mathbf{A}_{m\times n},\mathbf{B}_{n\times k},\mathbf{C}_{l\times p},\mathbf{D}_{p\times q},有

(5) 对于矩阵\mathbf{A}_{m\times n},\mathbf{B}_{p\times q},\mathbf{C}_{p\times q},有

(6) 若矩阵AB分别有广义逆矩阵\mathbf{A}^{\dagger }\mathbf{B}^{\dagger },则

 特别地,若AB是可逆的正方矩阵,则

(7) 对于矩阵\mathbf{A}_{m\times n},\mathbf{B}_{p\times q},有

(8) 对于矩阵\mathbf{A}_{m\times n},\mathbf{B}_{p\times q},有

 (9) 若Am\times m矩阵,Bn\times n矩阵,则

(10) 若Am\times m矩阵,Bn\times n矩阵,则

tr\left ( \mathbf{A}\bigotimes \mathbf{B} \right )=tr\left ( \mathbf{A} \right )tr\left ( \mathbf{B} \right )

(11) 对于矩阵\mathbf{A}_{m\times n},\mathbf{B}_{m\times n},\mathbf{C}_{p\times q},\mathbf{D}_{p\times q},有

        更一般地,有

(12) 对于矩阵\mathbf{A}_{m\times n},\mathbf{B}_{k\times l},\mathbf{C}_{p\times q},\mathbf{D}_{r\times s},有

(13) 若\alpha _{i}是矩阵A与特征值\lambda _{i}对应的特征向量,\beta _{i}是矩阵B与特征值\mu _{i}对应的特征向量,则\alpha _{i}\bigotimes \beta _{i}是矩阵\mathbf{ A}\bigotimes \mathbf{B}与特征值\lambda _{i}\mu _{i}对应的特征向量,也是与特征值\lambda _{i}+\mu _{i}对应的特征向量。

(14) 对于矩阵\mathbf{A}_{m\times n},\mathbf{B}_{p\times q},\mathbf{C}_{k\times l},有

(15) 对于矩阵\mathbf{A}_{m\times n},\mathbf{B}_{p\times q},\mathbf{C}_{n\times r},\mathbf{D}_{q\times s},有

        更一般地,有

(16) 对于矩阵\mathbf{A}_{m\times n},\mathbf{B}_{p\times q},有

exp\left (\mathbf{ A}\bigotimes \mathbf{B} \right )=exp\left ( \mathbf{A }\right )\bigotimes exp\left ( \mathbf{B} \right )

(17) 作为性质(15)的特例,若\mathbf{B}=\mathbf{I}_{p}\mathbf{C}=\mathbf{I}_{q},则

 式中,\mathbf{I}_{p}\bigotimes \mathbf{D}为块对角矩阵(对右Kronecker积)或稀疏矩阵(对左Kronecker积),而\mathbf{A}\bigotimes \mathbf{I}_{q}为稀疏矩阵(对右Kronecker积)或块对角矩阵(对左Kronecker积)。

 tip:关于Kronecker积的具体证明可自行查阅张贤达的《矩阵分析与应用》。

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