【集合论】序关系 ( 偏序关系 | 偏序集 | 偏序集示例 )_偏序关系举例

一、偏序关系

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偏序关系 :

给定非空集合 $A$ , $A\ne \varnothing$ , $R$ 关系是 $A$ 集合上的二元关系 , $R\subseteq A\times A$ ,
如果 $R$ 关系满足以下性质 :

• 自反 : 关系图中所有顶点 都有环 ;
• 反对称 : 两个顶点之间 有 $0$ 个或 $1$ 个有向边 ;
• 传递 : 前提 $a\to b,b\to c$ 不成立 默认传递 ; 前提 $a\to b,b\to c$ 成立 必须满足 $a\to c$ 存在 ;

则称 $R$ 关系是 $A$ 集合上的 偏序关系 ;

偏序关系表示 : 使用 $\preccurlyeq$ 符号表示偏序关系 , 读作 “小于等于” ;

符号化表示 : $<x,y>\in R\iff xRy\iff x\preccurlyeq y$ , 解读 : $<x,y>$ 有序对在偏序关系 $R$ 中 , 则 $x$ 与 $y$ 之间有 $R$ 关系 , $x$ 小于等于 $y$ ;

等价关系 是用于 分类 的 , 偏序关系 是用于 组织 的 , 在每个类的内部 , 赋予一个结构 ;

二、偏序集

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偏序集 :

$\preccurlyeq$ 关系 是 $A$ 集合上的偏序关系 , 则称 集合 $A$ 与 偏序关系 $\preccurlyeq$ 构成的 有序对 $<A,\preccurlyeq >$ 称为偏序集 ;

如果集合上有偏序关系 , 那么这个集合就称为偏序集 ;

三、偏序关系示例 ( 大于等于、小于等于、整除 | 有序对元素是单个数值 )

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大于等于、小于等于、整除关系 是 有序对集合 , 其中每个 有序对的元素 是 单个数值元素 ;

1. 大于等于、小于等于关系

$\varnothing \ne A\subseteq R$ , 非空集合 $A$ , 是实数集 $R$ 的子集 ;

集合 $A$ 上的大于等于关系 , 小于等于关系 , 都是偏序关系 , 这两个关系都满足 自反 , 反对称 , 传递 关系 ;

偏序集表示为 : $<A,\le >,<A,\ge >$

大于等于关系集合表示 : ≥ = { < x , y >   ∣ x , y ∈ A ∧ x ≥ y } \geq = \{<x, y>\ | x,y \in A \land x \geq y \} ≥={<x,y> ∣x,y∈A∧x≥y}

小于等于关系集合表示 : ≤ = { < x , y >   ∣ x , y ∈ A ∧ x ≤ y } \leq = \{<x, y>\ | x,y \in A \land x \leq y \} ≤={<x,y> ∣x,y∈A∧x≤y}

2. 整除关系

∅ ≠ A ⊆ Z + = { x ∣ x ∈ Z ∧ x > 0 } \varnothing \not=A \subseteq Z_+ = \{ x | x \in Z \land x > 0 \} ∅​=A⊆Z+​={x∣x∈Z∧x>0} , 非空集合 $A$ , 是正整数集 $Z_{+}$ 的子集 ;

集合 $A$ 上的 整除关系 是偏序关系 , 整除关系都满足 自反 , 反对称 , 传递 关系 ;

偏序集表示为 : $<A,|>$

整除关系集合表示 : ∣ = { < x , y >   ∣ x , y ∈ A ∧ x ∣ y } |= \{<x, y>\ | x,y \in A \land x | y \} ∣={<x,y> ∣x,y∈A∧x∣y}

$x$ 整除 $y$ , $x|y$ , $x$ 是除数 (分子) , $y$ 是被除数 (分母) ; $\frac{y}{x}$
参考 : 【集合论】二元关系 ( 特殊关系类型 | 空关系 | 恒等关系 | 全域关系 | 整除关系 | 大小关系 ) 三、 整除关系

四、偏序关系示例 2 ( 包含关系 | 有序对元素是集合 )

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包含关系 是 有序对集合 , 其中每个 有序对的元素 是 集合 ;

集族 $\mathcal{A}$ 包含于 $A$ 集合的幂集 , $\mathcal{A}\subseteq P(A)$ ;
包含关系 , $x$ 包含于 $y$ , 符号化表示 : ⊆ = { < x , y > ∣ x , y ∈ A ∧ x ⊆ y } \subseteq = \{<x,y> | x,y \in \mathscr{A} \land x \subseteq y \} ⊆={<x,y>∣x,y∈A∧x⊆y}

包含关系举例 :

前提 :

• 集合 A = { a , b } A = \{ a, b \} A={a,b}

• 集族 A 1 = { ∅ , { a } , { b } } \mathscr{A}_1 = \{ \varnothing , \{ a \} , \{ b \} \} A1​={∅,{a},{b}}

• 集族 A 2 = { { a } , { a , b } } \mathscr{A}_2 = \{ \{ a \} , \{ a , b \} \} A2​={{a},{a,b}}

• 集族 A 3 = P ( A ) = { ∅ , { a } , { b } , { a , b } } \mathscr{A}_3 = P(A) = \{ \varnothing , \{ a \} , \{ b \} , \{ a , b \} \} A3​=P(A)={∅,{a},{b},{a,b}} , 该集族也是 $A$ 的幂集 ;

使用有序对表示以下的包含关系 , 每个有序对的元素都是集合 ;

① 集族 ${\mathcal{A}}_1$ 上的所有包含关系 :

⊆ 1 = I A 1 ∪ { < ∅ , { a } > , < ∅ , { b } > } \subseteq_1 = I_{\mathscr{A}_1} \cup \{ <\varnothing , \{ a \}> , <\varnothing , \{ b \}> \} ⊆1​=IA1​​∪{<∅,{a}>,<∅,{b}>}

集族上的恒等关系是包含关系 , 任意集合都包含于该集合本身 ;
空集包含于任意非空集合 ;

② 集族 ${\mathcal{A}}_2$ 上的所有包含关系 :

⊆ 2 = I A 2 ∪ { < { a } , { a , b } > } \subseteq_2 = I_{\mathscr{A}_2} \cup \{ <\{ a \}, \{ a, b \}> \} ⊆2​=IA2​​∪{<{a},{a,b}>}

集族上的恒等关系是包含关系 , 任意集合都包含于该集合本身 ;
{ a } \{ a \} {a} 集合包含于 { a , b } \{ a, b \} {a,b} 集合 ;

③ 集族 ${\mathcal{A}}_3$ 上的所有包含关系 :

⊆ 3 = I A 3 ∪ { < ∅ , { a } > , < ∅ , { b } > , < ∅ , { a , b } > , { < { a } , { a , b } > } , { < { b } , { a , b } > } } \subseteq_3 = I_{\mathscr{A}_3} \cup \{ <\varnothing , \{ a \}> , <\varnothing , \{ b \}> , <\varnothing , \{ a,b \}> , \{ <\{ a \}, \{ a, b \}> \} , \{ <\{ b \}, \{ a, b \}> \} \} ⊆3​=IA3​​∪{<∅,{a}>,<∅,{b}>,<∅,{a,b}>,{<{a},{a,b}>},{<{b},{a,b}>}}

集族上的恒等关系是包含关系 ;
空集包含于任意非空集合 ;
{ a } \{ a \} {a} 集合包含于 { a , b } \{ a, b \} {a,b} 集合 ;
{ b } \{ b \} {b} 集合包含于 { a , b } \{ a, b \} {a,b} 集合 ;

五、偏序关系示例 3 ( 加细关系 | 有序对元素是集族 )

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加细关系 是 有序对集合 , 其中每个 有序对的元素 是 集族 ;

集合 $A$ 非空 , $\pi$ 是 $A$ 集合划分组成的集合 , 每个划分都是一个集族 ;

划分参考 : 【集合论】划分 ( 划分 | 划分示例 | 划分与等价关系 )

集族之间有一种关系 , 加细关系 , 使用符号 ${\preccurlyeq }_{加细}$ 表示 ;

加细关系 ${\preccurlyeq }_{加细}$ 符号化表示 :

≼ 加 细 = { < x , y > ∣ x , y ∈ π ∧ x 是 y 的 加 细 } \preccurlyeq_{加细} = \{ <x, y> | x, y \in \pi \land x 是 y 的加细 \} ≼加细​={<x,y>∣x,y∈π∧x是y的加细}

前提 :

• 集合 A = { a , b , c } A = \{ a, b , c \} A={a,b,c}

• 集族 A 1 = { { a , b , c } } \mathscr{A}_1 = \{ \{ a , b , c \} \} A1​={{a,b,c}}

• 集族 A 2 = { { a } , { b , c } } \mathscr{A}_2 = \{ \{ a \} , \{ b , c \} \} A2​={{a},{b,c}}

• 集族 A 3 = { { b } , { a , c } } \mathscr{A}_3= \{ \{ b \} , \{ a , c \} \} A3​={{b},{a,c}}

• 集族 A 4 = { { c } , { a , b } } \mathscr{A}_4= \{ \{ c \} , \{ a , b \} \} A4​={{c},{a,b}}

• 集族 A 5 = { { a } , { b } , { c } } \mathscr{A}_5= \{ \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} \} A5​={{a},{b},{c}}

上述集族都是 $A$ 集合的划分 ;

划分组成的集合 , 形成新的集合 ;

π 1 = { A 1 , A 2 } \pi_1 = \{ \mathscr{A}_1 , \mathscr{A}_2 \} π1​={A1​,A2​}
π 2 = { A 2 , A 3 } \pi_2 = \{ \mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_3 \} π2​={A2​,A3​}
π 3 = { A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 } \pi_3 = \{ \mathscr{A}_1 , \mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_4, \mathscr{A}_5 \} π3​={A1​,A2​,A3​,A4​,A5​}

① ${\pi }_1$ 集合中的划分元素的加细关系 :

≼ 1 = I π 1 ∪ { < A 2 , A 1 > } \preccurlyeq_1 = I_{\pi1} \cup \{<\mathscr{A}_2, \mathscr{A}_1>\} ≼1​=Iπ1​∪{<A2​,A1​>}

每个划分都是它自己的加细 ;
${\mathcal{A}}_2$ 是 ${\mathcal{A}}_1$ 的加细 , ${\mathcal{A}}_2$ 小于等于 ${\mathcal{A}}_1$ ;

② ${\pi }_2$ 集合中的划分元素的加细关系 :

${\preccurlyeq }_2=I_{\pi 2}$

每个划分都是它自己的加细 ;
${\mathcal{A}}_2,{\mathcal{A}}_3$ 互相都不是对方的加细 ;

③ ${\pi }_3$ 集合中的划分元素的加细关系 :

≼ 3 = I π 3 ∪ { < A 2 , A 1 > , < A 3 , A 1 > , < A 4 , A 1 > , < A 5 , A 1 > , < A 5 , A 2 > , < A 5 , A 3 > , < A 5 , A 4 > } \preccurlyeq_3 = I_{\pi3} \cup \{<\mathscr{A}_2, \mathscr{A}_1> , <\mathscr{A}_3, \mathscr{A}_1> , <\mathscr{A}_4, \mathscr{A}_1> , <\mathscr{A}_5, \mathscr{A}_1> , <\mathscr{A}_5, \mathscr{A}_2> , <\mathscr{A}_5, \mathscr{A}_3> , <\mathscr{A}_5, \mathscr{A}_4> \} ≼3​=Iπ3​∪{<A2​,A1​>,<A3​,A1​>,<A4​,A1​>,<A5​,A1​>,<A5​,A2​>,<A5​,A3​>,<A5​,A4​>}

每个划分都是它自己的加细 ;
任何划分都是 ${\mathcal{A}}_1$ 的加细 ; ${\mathcal{A}}_1$ 是最大的 , 大于等于其它任何划分 ;
${\mathcal{A}}_5$ 是任何划分的加细 ; ${\mathcal{A}}_5$ 是最小的 , 小于等于其它任何划分 ;