对于线性二次型调节器(LQR)的一些理解_lqr算法 p矩阵如何求得

最近在研究两轮机器人的平衡控制算法，了解了LQR的一些知识，再加上和研究生学长聊了聊，有一些更深层的理解。LQR的原理网上随便一找就有很详细的说明，本来不想再写一遍了，但是觉得不写出来又讲不清楚。还是再啰嗦一遍...

LQR算法原理

首先，需要建立系统的线性时不变（LTI）动态模型。这通常表示为状态空间方程，其中包含状态向量、控制输入和系统动态矩阵。

我们再设计一个线性反馈控制器：

则此时的状态方程可以表示为：

接着我们定义一个常见的二次型成本函数：

其中，Q 和R 分别是正定对称矩阵，分别表示状态和控制输入的权重，即状态和输入对于成本函数的影响程度。

定义一个辅助常量矩阵P，P满足：

代入成本函数可得：

                                                      

显然地，代价函数只与矩阵P 和系统的初始状态有关，即找出最小的P就能让代价函数J 最小。现对P的定义式中左边的微分项进行展开：

该式子要求对于任意状态下的都满足，所以式子

可得：

我们定义：，代入上式，可得：

由此，我们可以根据给定的（A,B,Q,R）求出辅助矩阵P，继而求出线性反馈控制器K。

感想与困惑

那么（A,B,Q,R）是怎么得出来的呢？结合两轮机器人这个内容，我们根据机器人运动特点建立动力学模型，根据欧拉—拉格朗日方程求出系统中各个状态量的关系。根据：

不难发现，A、B（系统动态矩阵）两个矩阵就是完全根据机器人系统中各个运动部件的参数而确定的。也就是说，不管实际运动过程中，机器人的姿态如何，只要机器人各运动部件的尺寸不变，A、B两个系统动态矩阵就是确定不变的。那么回顾K的求解过程，唯一会对K产生影响的就是两个权重矩阵P和Q了。

想到这里我不禁想问，在用LQR算法实现平衡控制时，K不变或者说一个机器人型号对应一个K这一特点，会对平衡控制产生什么影响吗？

我们课题组研究的两轮机器人不同于两轮平衡车，在车架平台上加装了两个自由度的机械臂。机械臂在完成指定动作的同时，也会参与到动态平衡控制当中去。

简图如下：

这就和往常的平衡控制情况不太一样了。和研究生学长交流下来，他跟我说采用LQR是很难实现这种多自由度的平衡控制的，但是没有给我一个明确的解释。我之前觉得只要角度采集更新得足够快，就可以实现平衡控制，但是现在也有些怀疑。我也发现，另一种叫做MPC的算法也在平衡控制中比较常用。过几天看了MPC之后再来分享一下我的理解。

希望有大佬可以解答我的困惑。或者有感兴趣的同学可以跟我交流探讨，说不定灵感也就来了。