结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为6 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为6 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推 树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4 非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.3 树的应用

文件系统管理（目录和文件）

2.二叉树

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

或者为空
或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

从上图可以看出：

二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 两种特殊的二叉树

满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵 二叉树的层数为K，且结点总数是 2^k - 1，则它就是满二叉树。
完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3 二叉树的性质

若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多2^(i-1) (i>0)个结点
若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k - 1 (k>=0)
对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2(n+1)上取整
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i 的结点有：

若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

2.4 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式。


 // 孩子表示法
 class Node {
     int val; // 数据域
     Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
     Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
 }
 
 // 孩子双亲表示法
 class Node {
     int val; // 数据域
     Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
     Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
     Node parent; // 当前节点的根节点
 }

2.5 二叉树的基本操作

二叉树的遍历

1. 前中后序遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结 点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加 1)。遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按 照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。


static class TreeNode {
     public char val;
     public TreeNode left;
     public TreeNode right;
 
     public TreeNode(char val) {
         this.val = val;
     }
 }
 
 // 前序遍历
 void preOrder(TreeNode root) {
     if(root == null) return;
     System.out.print(root.val+" ");
     preOrder(root.left);
     preOrder(root.right);
 }
 
 // 中序遍历
 void inOrder(TreeNode root) {
     if(root == null) return;
     inOrder(root.left);
     System.out.print(root.val+" ");
     inOrder(root.right);
 }
 
 // 后序遍历
 void postOrder(TreeNode root) {
     if(root == null) return;
     postOrder(root.left);
     postOrder(root.right);
     System.out.print(root.val+" ");
 }

1.层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。


 //层序遍历
 void levelOrder(TreeNode root) {
     if(root == null) return;
     Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
     queue.offer(root);
     while (!queue.isEmpty()) {
         TreeNode cur = queue.poll();
         System.out.print(cur.val+" ");
         if(cur.left != null) {
             queue.offer(cur.left);
         }
         if(cur.right != null) {
             queue.offer(cur.right);
         }
     }
     System.out.println();
 }

二叉树的其他基本操作


 // 子问题思路  获取树中节点的个数
 int size(TreeNode root) {
     if(root == null) return 0;
     return size(root.left) + size(root.right) + 1;
 }
 
 // 子问题 获取叶子节点的个数
 int getLeafNodeCount(TreeNode root) {
     if(root == null) {
         return 0;
     }
     if(root.left == null && root.right == null) {
         return 1;
     }
     return getLeafNodeCount(root.left)
             + getLeafNodeCount(root.right);
 }
 
 
 // 获取第K层节点的个数
 int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k) {
     if(root == null) return 0;
     if(k == 1) {
         return 1;
     }
     return getKLevelNodeCount(root.left, k-1) +
             getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
 }
 
 // 获取二叉树的高度  时间复杂度：O(N)
 int getHeight(TreeNode root) {
     if(root == null) return 0;
     int leftHeight = getHeight(root.left);
     int rightHeight = getHeight(root.right);
     return (leftHeight > rightHeight ?
             leftHeight+1 : rightHeight+1);
 }
 
 // 检测值为value的元素是否存在
 TreeNode find(TreeNode root, char val) {
     if(root == null) return null;
     if(root.val == val) {
         return root;
     }
     TreeNode ret1 = find(root.left,val);
     if(ret1 != null) {
         return ret1;
     }
     TreeNode ret2 = find(root.right,val);
     if(ret2 != null) {
         return ret2;
     }
     return null;
 }
 
 
 // 层序遍历
 void levelOrder(TreeNode root) {
     if(root == null) return;
     Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
     queue.offer(root);
     while (!queue.isEmpty()) {
         TreeNode cur = queue.poll();
         System.out.print(cur.val+" ");
         if(cur.left != null) {
             queue.offer(cur.left);
         }
         if(cur.right != null) {
             queue.offer(cur.right);
         }
     }
     System.out.println();
 }
 
 // 判断一棵树是不是完全二叉树
 boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
     if(root == null) return true;
 
     Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
     queue.offer(root);
 
     while (!queue.isEmpty()) {
         TreeNode cur = queue.poll();
         if(cur != null) {
             queue.offer(cur.left);
             queue.offer(cur.right);
         }else {
             break;
         }
     }
 
     while (!queue.isEmpty()) {
         TreeNode cur = queue.peek();
         if(cur != null) {
             //不是满二叉树
             return false;
         }else {
             queue.poll();
         }
     }
     return true;
 }
 
 //最近公共祖先
 public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
     if(root == null) {
         return null;
     }
     if(root == p || root == q) {
         return root;
     }
     TreeNode retLeft = lowestCommonAncestor(root.left,p,q);
     TreeNode retRight = lowestCommonAncestor(root.right,p,q);
     if(retLeft != null && retRight != null) {
         return root;
     }else if(retLeft != null) {
         return retLeft;
     }else{
         return retRight;
     }
 }
 
 // 使用栈改进
 public TreeNode lowestCommonAncestor2(TreeNode root,
                                       TreeNode p, TreeNode q) {
     if(root == null || p == null || q == null) {
         return null;
     }
     Stack<TreeNode> stack1 = new Stack<>();
     getPath(root,p,stack1);
 
     Stack<TreeNode> stack2 = new Stack<>();
     getPath(root,q,stack2);
 
     int size1 = stack1.size();
     int size2 = stack2.size();
 
     if(size1 > size2) {
         int tmp = size1-size2;
         while (tmp != 0) {
             stack1.pop();
             tmp--;
         }
     }else {
         int tmp = size2-size1;
         while (tmp != 0) {
             stack2.pop();
             tmp--;
         }
     }
     //两个栈当中 元素的个数是一样的
     while (!stack1.empty() && !stack2.empty())  {
         if(stack1.peek() == stack2.peek()) {
             return stack1.peek();
         }else {
             stack1.pop();
             stack2.pop();
         }
     }
     return null;//没有公共祖先
 }
 
 /**
  * 找到根节点到指定节点node之间路径上的所有节点，存储到stack当中
  * @param root
  * @param node
  * @param stack
  */
 private boolean getPath(TreeNode root, TreeNode node,
                         Stack<TreeNode> stack) {
     if(root == null || node == null) {
         return false;
     }
     stack.push(root);
     if(root == node) {
         return true;
     }
     boolean ret1 = getPath(root.left,node,stack);
     //不能判断false的问题，因为此时只能证明左边不存在
     if(ret1) {
         return true;
     }
     boolean ret2 = getPath(root.right,node,stack);
     if(ret2) {
         return true;
     }
     // 根节点不是  跟的左边没找到  根的右边没找到
     stack.pop();
     return false;
 }
 
 
 
 // 非递归实现前序遍历
 public  void preorderTraversalNor(TreeNode root) {
     Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
     TreeNode cur = root;
 
     while (cur != null || !stack.empty()) {
         while (cur != null) {
             stack.push(cur);
             System.out.print(cur.val + " ");
             cur = cur.left;
         }
 
         TreeNode top = stack.pop();
         cur = top.right;
     }
 }
 
 // 非递归实现中序遍历
 public void inorderTraversal(TreeNode root) {
     Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
     TreeNode cur = root;
     while (cur != null || !stack.empty()) {
         while (cur != null) {
             stack.push(cur);
             cur = cur.left;
         }
         TreeNode top = stack.pop();
         System.out.print(top.val + " ");
         cur = top.right;
     }
 }
 
 // 非递归实现后序遍历
 public void postorderTraversal(TreeNode root) {
     Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
     TreeNode prev = null;
     TreeNode cur = root;
     while (cur != null || !stack.empty()) {
         while (cur != null) {
             stack.push(cur);
             cur = cur.left;
         }
         TreeNode top = stack.peek();
         //top.right 如果已经被访问了 也要弹出top所指向的节点
         if (top.right == null || top.right == prev) {
             stack.pop();
             System.out.print(top.val + " ");
             prev = top;
         } else {
             cur = top.right;
         }
     }
 }

本文内容由网友自发贡献，转载请注明出处：【wpsshop博客】