鲁棒优化入门(3)—鲁棒优化工具箱RSOME快速上手与应用实例

RSOME1.2安装包：鲁棒优化工具箱Xprog和RSOME
RSOME安装和基本使用方法：鲁棒优化入门（一）——工具箱Xprog和RSOME的安装与使用

本文主要参考RSOME工具箱的用户手册《Users Guide for RSOME》
RSOME的用户手册并不是很长，但一些地方可能不是特别好理解，在这里我主要是通过写博客分享一下我的使用方法，和大家一起学习，也能加深自己的理解。

一、model相关语法

1.rsome函数

rsome函数用于创建一个RSOME模型，基本用法如下：

% 创建一个默认名称为“untitled”的RSOME模型。
model = rsome  

% 创建一个名为“modelName”的RSOME模型。
model = rsome(modelName)
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例如，下面的代码就是新建一个名为"test"的RSOME模型：

model = rsome('test')
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看一下model的属性，还是挺多的。

2.decision函数

decision函数用于定义决策变量(variables)，基本用法如下：

% 定义一个连续型决策变量x
x = model.decision

% 定义N维连续型列向量x
x = model.decision(N)

% 定义N行M列的连续型决策矩阵x
x = model.decision(N,M)

% 定义N行M列的决策矩阵x
% type='C'表示连续变量,type='B'表示二进制变量,type='I'表示整数变量
x = model.decision(N,M,type)

% 定义N行M列的决策矩阵x
% type='C'表示连续变量,type='B'表示二进制变量,type='I'表示整数变量
% name表示决策变量名称
x = model.decision(N, M, type, name)
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例如，下面的代码就是新建一个名为"电压"，2行24列的连续型决策矩阵V：

V = model.decision(2, 24, 'C', '电压')
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看看决策变量的属性：

3.min/max函数

cplex等求解器默认求min，求max只能加个负号，rsome中可以直接表示目标函数是max还是min，这一点确实方便一些。
基本用法如下：

% 求目标函数function的最小值
model.min(function)

% 求目标函数function的最大值
model.max(function) 
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例如，下面的代码就是将目标函数设为求f(V)=V的最大值。

model.max(V) 
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4.set函数

set函数用于定义决策变量的可行域，基本用法如下：

% 用约束条件1，约束条件2···规定决策变量的可行域
model.set(constraint1, constraint2, ...)
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例如，下面的代码就是将m定义为V≤1表示的可行域：

m=model.set(V<=1)
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5. append函数

append函数用于给模型添加约束条件：

% 将约束条件constraint添加到模型中
model.append(constraint) 

% 将决策变量的可行域添加到模型中
model.append(set)
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例如，下面的代码就是将给模型新增一个约束条件V≥1：

model.append(V>=1) 
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6.solve函数

solve函数用于求解RSOME模型，基本用法如下：

% 采用默认设置求解模型
model.solve

% 采用指定的间隙mipGap求解模型
model.solve(mipGap)
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例如，下面的代码就是以$10^{-4}$的间隙求解RSOME模型：

model.solve(1e-4)
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7.get函数

求解模型之后，可以用get函数获取目标函数的取值或决策变量的取值，基本用法如下：

% 获取模型目标函数的取值
model.get
% 获取决策变量x的取值
x.get
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8.决策变量的运算函数

除了一些基本的线性运算，rsome中还提供了一些决策变量常用的凸函数，可以用来描述非线性约束，具体如下：

% abs函数：决策变量x的绝对值
abs(x)

% norm函数：决策变量x的范数
norm(x,1) % 1范数
norm(x,2) 或norm(x,2)% 2范数
norm(x,inf) % ∞范数

% .^2：按元素求平方
x.^2

% sumsqr函数：求元素的平方和，只能用于向量不能用于矩阵
sumsqr(x)

% maxfun/minfun：求最大值/最小值，只能用于元胞数组
maxfun(exprCell)
minfun(exprCell)
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9.模型的参数设置

model.Param用于设置模型的参数，基本用法如下：

% 设置求解器为gurobi
model.Param.solver = 'gurobi'; 

% 设置求解器为cplex
model.Param.solver = 'cplex';

%显示求解过程
model.Param.display = 1;

%不显示求解过程
model.Param.display = 0;

%设置求解间隙
model.Param.mipgap = 1e-5;
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二、不确定集的相关语法

鲁棒优化最重要的特点就是参数具有不确定性，因此不确定集的建立也是相当重要的。
RSOME中模糊集的通用形式如下：

RSOME工具箱中提供了用matlab代码表示该模糊集的功能，一些基本的用法如下：

1.random函数

random函数用于创建不确定变量，基本用法如下：

% 定义一个不确定变量z
z = model.random

% 定义N维不确定向量z
z = model.random(N)

% 定义N行M列的不确定变量矩阵z
z = model.random(N,M)

% 定义N行M列的不确定变量矩阵z
% name表示不确定变量名称
z = model.random(N,M,name)
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2.ambiguity函数

ambiguity函数用于创建一个模糊集，基本用法如下：

% 创建只有一个场景的模糊集P
P = model.ambiguity

% 创建有S个场景的模糊集P
P = model.ambiguity(S)
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3.suppset函数

suppset函数用于定义模糊集场景的可行域，基本用法如下：

% 令模糊集P中所有场景都满足set描述的可行域
P.suppset(set)

% 令模糊集P中第s个场景满足set描述的可行域
P(s).suppset(set)

% 令模糊集P中所有场景都满足约束条件1,约束条件2,···
P.suppset(constraint1, constraint2, ...)

% 令模糊集P中第s个场景满足约束条件1,约束条件2,···
P(s).suppset(constraint1, constraint2, ...)
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4.expect函数

expect函数用于求随机变量的期望，基本用法如下：

% 求随机变量z的期望ez
ez = expect(z)
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5.exptset函数

exptset函数用于定义随机变量期望的可行域，基本用法如下：

% 令模糊集P中所有场景下随机变量的期望都满足set描述的可行域
P.suppset(set)

% 令模糊集P中第s个场景中随机变量的期望满足set描述的可行域
P(s).suppset(set)

% 令模糊集P中所有场景下随机变量的期望都满足约束条件1,约束条件2,···
P.suppset(constraint1, constraint2, ...)

% 令模糊集P中第s个场景中随机变量的期望满足约束条件1,约束条件2,···
P(s).suppset(constraint1, constraint2, ...)
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6.prob函数

prob函数用于求模糊集场景的概率，基本用法如下：

% 求模糊集P中所有场景的概率，用列向量的形式存储
probability=P.prob
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7.probset函数

probset函数用于定义场景概率的不确定集，基本用法如下：

% 令模糊集P中所有场景概率满足set描述的可行域
P.suppset(set)

% 令模糊集P中所有场景概率满足约束条件1,约束条件2,···
P(s).suppset(constraint1, constraint2, ...)
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8.with函数

with函数用于给模型选择模糊集，基本用法如下：

% 选择模糊集P作为模型的不确定集
model.with(P)
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三.一个实例

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考虑一个单产品的报童问题，报童问题是一个典型的存贮问题，也可以用分布式鲁棒优化模型来表示。假设p为一份报纸的售价，c为一份报纸的成本，w为决策变量，表示报童订购的报纸数，为用户的不确定性需求，。是一个随机变量，服从于概率分布，即，概率分布包含于模糊集，也就是。用Wasserstein模糊集表示为：

式中，S是样本数量，是Wasserstein球半径，为场景s下需求的估计值，表示两者之间的Wasserstein距离，通过引入一个中间变量，可以把模糊集改写为如下形式：

则该问题的分布式鲁棒优化模型可以表示为：

取p=1.5,c=1,=100,S=500,=0.01,则该鲁棒优化问题可以用matlab代码表示为：

%% 参数
Ubar = 100;                             % 不确定需求的上限
S = 500;                                % 样本数
Uhat = Ubar * rand(1, S);               % 需求的经验分布

p = 1.5;                                % 一份报纸的售价
c = 1.0;                                % 一份报纸的成本
theta = Ubar*0.01;                      % Wasserstein球半径

%% Create a RSOME model
model = rsome('newsvendor');            % 创建一个名为"newsvendor"的rsome模型

%% Random variables and a type-1 Wasserstein ambiguity set
u = model.random;                       % 不确定的需求变量u
v = model.random;                       % 中间变量v
P = model.ambiguity(S);                 % 创建具有S个场景的模糊集
for n = 1:S
    P(n).suppset(0 <= u, u <= Ubar, ...   
                 norm(u-Uhat(n)) <= v );% 定义每个场景的支持集
end
P.exptset(expect(v) <= theta);
prob = P.prob;                          % 所有场景的概率分布函数
P.probset(prob == 1/S);                 % 每个场景的概率
model.with(P);                          % 将P定义为模型的不确定集

%% 决策变量
w = model.decision;                     % 决策变量w

%% 目标函数
loss = maxfun({p*(w-u), 0});            % 未售出部分造成的损失
model.max((p-c)*w - expect(loss));      % 分布式鲁棒优化的目标函数

%% 约束条件
model.append(w >= 0);                   % w的取值范围

%% 求解问题
model.solve;                            % 求解模型

%% 结果
obj=model.get;                          % 目标函数取值
W=w.get;                                % 决策变量取值
disp(['目标函数取值：',num2str(obj),'，决策变量取值：',num2str(W)])
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运行结果如下：

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