【笔记分享】二重积分的计算_x型域先对谁积分

0.引言：二重积分的计算的含义和作用

先简单回顾二重积分的计算的含义和作用：
如同众所周知，一重积分，即定积分，用于求曲边梯形的面积，二重积分是用于求曲顶柱体的体积，二重积分为被积函数f（x,y）作累积而得。二重积分的计算原理总结为一个式子就是：
。

1.直角坐标系下的二重积分的计算

直角坐标系下，按照积分次序不同，一般将二重积分计算分为2种情况，
第一种情况：X型积分区域（先对y积分，后对x积分）

第二种情况：Y型积分区域（先对x积分，后对y积分）

对第一种情况，

其中，y1(x)≤y≤y2(x)，a≤x≤b；

对第二种情况，

其中，x1(y)≤x≤x2(y)，c≤y≤d。

注意，如果D既不是X型区域也不是Y型区域，可以把D分为几个部分，使得每一个部分是X型区域或Y型区域。

2.极坐标系下的二重积分的计算

极坐标系下，按照极点位置分三种情况，第一种情况：

此时极点O在区域D外部，α≤θ≤β，φ1（θ）≤r≤φ2（θ），

第二种情况，

此时极点O在区域D边界上，α≤θ≤β，0≤r≤φ（θ），

第三种情况，

此时极点O在区域D内部，0≤θ≤2π，0≤r≤φ（θ），

3.极坐标系与直角坐标系的选择（一般原则）

以下坐标系选择原则可供参考。
如果被积函数类似于f（x^2+y ^2），f（x/y），f（y/x）等形式，或积分区域为圆或者圆的一部分，优先选择极坐标系；否则，优先考虑直角坐标系。
注意，这个并不是绝对的方法。

4.极坐标系与直角坐标系的转化

一是使用公式x=rcosθ，y=rsinθ进行变换和转化，二是画好积分区域D的图形，做好上下限的转化。

5.使用换元法计算二重积分

若变换T：x=x（u,v）,y=y（u,v）将uOv平面上的闭区域D’转化为xOy平面上的D，且满足：
①x（u,v）,y（u,v）在D’上具有一阶连续偏导数，
②D’上的雅可比行列式为：
J（u,v）=∂（x,y）/∂（u,v）≠0
③积分区域D’和积分区域D是一一对应的，
则有：

6.利用奇偶性计算二重积分

设二重积分区域D，若D关于x轴对称，则：

若D关于y轴对称，则：