【二叉树】数中的特殊结构-＞堆_< n n

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✨目录

1. 树概念及结构
2. 二叉树概念及结构
3. 二叉树的顺序结构及实现
4. 堆的实现与应用

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现实生活中的二叉树

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1.树概念及结构

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1.1树的概念

• 树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因
  为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
  

1. 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
2. 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合
   Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继，
   因此，树是递归定义的

• 注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
  

1.2 树的相关概念

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间
的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法
等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType _data; // 结点中的数据域
};
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1.4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

2.二叉树概念及结构

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2.1概念

• 一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合
  或者为空，或者由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

• 注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
   说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。

2. . 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
   的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
   应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(h-1) 个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2^h -1.
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0＝ n2＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log(n+1) . (ps： 是log以2为底，n+1为对数)

• . 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对
  于序号为i的结点有：
  1.若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
  2 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
  3.若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

关于性质三一道题目：

• 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
  A 不存在这样的二叉树
  B 200
  C 198
  D 199

答案：A
解析：对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0＝ n2＋1

2.4 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储
   顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空
   间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2. 链式存储
   二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是
   链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所
   在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
	struct BinTreeNode* pLeft; // 指向当前节点左孩子
	struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
	BTDataType data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
	struct BinTreeNode* pParent; // 指向当前节点的双亲
	struct BinTreeNode* pLeft; // 指向当前节点左孩子
	struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
	BTDataType data; // 当前节点值域
}；
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3.二叉树的顺序结构及实现

3.1 二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结
构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统
虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

3.2 堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合K = { ， ， ，…， }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储
在一个一维数组中，并满足： <= 且 <= ( >= 且 >= ) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。
将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

• 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
• 堆总是一棵完全二叉树。

注意：堆只规定了父节点比孩子节点的关系，并没有规定左右孩子之间的关系

3.3 堆的实现

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3.2.1 堆向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整
成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

								int arr[] = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };//物理结构是数组，逻辑结构是完全二叉树
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//向下调整算法
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
	int midchild = parent * 2 + 1;
	while (midchild < n)
	{
		//建小堆找小的那个孩子，建大堆找的大的孩子
		if (midchild + 1 < n && a[midchild] > a[midchild + 1])//建小堆
		{
			midchild++;
		}
		if (a[parent] > a[midchild])
		{
			Swap(&a[parent], &a[midchild]);
			parent = midchild;
			midchild = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
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3.2.2堆的创建

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算
法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的
子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。

                                      int arr[] = { 1,5,3,8,7,6 };
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堆的创建可以使用向下调整算法，也可以使用向上调整算法，这里演示一下向上调整算法的实现过程

#include<stdio.h>
//交换元素
void Swap(int* e1, int* e2)
{
	int tem = *e1;
	*e1 = *e2;
	*e2 = tem;
}

//向下调整算法
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
	int midchild = parent * 2 + 1;
	while (midchild < n)
	{
		//建小堆找小的那个孩子，建大堆找的大的孩子
		if (midchild + 1 < n && a[midchild] < a[midchild + 1])
		{
			midchild++;
		}
		if (a[parent] < a[midchild])
		{
			Swap(&a[parent], &a[midchild]);//交换
			parent = midchild;
			midchild = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
//向上调整算法
void AdjustUp(int* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (a[parent] < a[child])
		{
			Swap(&a[parent], &a[child]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

int main()
{
	int arr[] = { 1,5,3,8,7,6 };
	int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
	//方法一：向下调整算法
	//从最后一个非叶子节点开始调整，最后一个非叶子节点就是最后一个节点的父亲，
	//parent=(child-1)/2,  这里的最后一个元素为n-1，所以child=n-1，故parent=(n-1-1)/2
	for (int i = (n - 1-1)/2; i >= 0; --i)//建大堆
	{
		AdjustDown(arr,n, i);
	}


//方法二：向上调整算法
//注意，向上调整算法是从数值一个元素开始
//	for (int i = 0; i < n;  ++i)//建大堆
//	{
//		AdjustUp(arr, i);
//	}


	for (int i = 0; i <n; ++i)
	{
		printf("%d ", arr[i]);
	}
	return 0;
}
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既然向上调整算法和向下调整算法都可以建堆，那我们应该使用那一种呢？

建议使用向下调整算法，因为它的时间复杂度为O(N)，向上调整算法的时间复杂度为
N*log(N)，（以2为底的对数）

3.2.3 建堆时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的
就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：

3.2.4 堆的插入

• 假设：向堆中插入一个10
  操作过程：先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆

3.2.5 堆的删除

• 删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调
  整算法。

3.2.6 堆的代码实现

//头文件Heap.h
#pragma once

#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
	HPDataType* a;
	int size;//有效个数
	int capacity;//堆的容量
}Heap;

//堆的初始化
void HeapInit(Heap* php);
//堆的销毁
void HeapDestroy(Heap* php);
//堆的打印
void HeapPrint(Heap* php);
//堆的插入
void HeapPush(Heap* php, HPDataType x);
//堆的删除
void HeapPop(Heap* php);
//返回堆顶元素
HPDataType HeapTop(Heap* php);
//返回堆的元素个数
int HeapSize(Heap* php);
//判断堆是否为空
bool HeapEmpty(Heap* php);

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//函数实现文件Heap.c
#include"Heap.h"

void HeapInit(Heap* php)
{
	assert(php);
	php->a = NULL;
	php->capacity = php->size = 0;
}

void HeapDestroy(Heap* php)
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->capacity = php->size = 0;
}

void Swap(HPDataType* x1, HPDataType* x2)
{
	HPDataType tem = *x1;
	*x1 = *x2;
	*x2 = tem;
}

//向上调整算法
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
	assert(a);
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent= (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void HeapPush(Heap* php, HPDataType x)
{
	assert(php);
	if (php->capacity == php->size)
	{
		int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tem = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity);
		if(tem==NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			exit(-1);
		}
		php->a = tem;
		php->capacity = newcapacity;
	}
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;

	AdjustUp(php->a,php->size-1);
}

//向下调整算法
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
	int midchild = parent * 2 + 1;
	while (midchild < n)
	{	
		// 找出小的那个孩子
		if (midchild +1< n && a[midchild] > a[midchild + 1])
		{
			midchild++;
		}
		if (a[parent] > a[midchild])
		{
			Swap(&a[parent], &a[midchild]);
			parent = midchild;
			midchild = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void HeapPop(Heap* php)
{
	assert(php);
	assert(!HeapEmpty(php));
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;

	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

HPDataType HeapTop(Heap* php)
{
	assert(php);
	assert(!HeapEmpty(php));
	return php->a[0];
}

int HeapSize(Heap* php)
{
	assert(php);
	return php->size;
}

bool HeapEmpty(Heap* php)
{
	assert(php);
	return php->size == 0;
}

void HeapPrint(Heap* php)
{
	assert(php);
	for (int i = 0; i < php->size; i++)
	{
		printf("%d ", php->a[i]);
	}
	printf("\n");
}
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4.堆的实现与应用

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4.1 堆排序

堆排序(Heapsort)是指利用堆积树（堆）这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。它是
通过堆来进行选择数据。需要注意的是排升序要建大堆，排降序建小堆。

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

1. 建堆

• 升序：建大堆
• 降序：建小堆

2. 利用堆删除思想来进行排序

#include<stdio.h>
void Swap(int* e1, int* e2)
{
	int tem = *e1;
	*e1 = *e2;
	*e2 = tem;
}
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
	int midchild = parent * 2 + 1;
	while (midchild < n)
	{
		//建小堆找小的那个孩子，建大堆找的大的孩子
		if (midchild + 1 < n && a[midchild] < a[midchild + 1])
		{
			midchild++;
		}
		if (a[parent] < a[midchild])
		{
			Swap(&a[parent], &a[midchild]);
			parent = midchild;
			midchild = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
//堆排序
void HeapSort(int* a, int n)
{
	//建堆
	int i = 0;
	for (i = (n-2)/2; i >= 0; --i)
	{
		AdjustDown(a, n, i);
	}
	
	for (i = 0; i < n; i++)
	{
		Swap(&a[0], &a[n - i - 1]);
		AdjustDown(a, n - i-1, 0);
	}
}


int main()
{
	int arr[] = { 30,60,12,40,8,10,70 };
	int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
	HeapSort(arr,n);
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		printf("%d ", arr[i]);
	}
	return 0;
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4.2 TOP-K问题

• TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
  比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等

对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能
数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1. 用数据集合中前K个元素来建堆（适用于数据量较小的时候）
   .

2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素注意：当数据量大的时候最适合用这种方法

• 实例：我们在10000个数选出最大的前10个元素

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>

void Swap(int* e1, int* e2)
{
	int tem = *e1;
	*e1 = *e2;
	*e2 = tem;
}

//向下调整算法
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
	int midchild = parent * 2 + 1;
	while (midchild < n)
	{
		//建小堆找小的那个孩子，建大堆找的大的孩子
		if (midchild + 1 < n && a[midchild] > a[midchild + 1])
		{
			midchild++;
		}
		if (a[parent] > a[midchild])
		{
			Swap(&a[parent], &a[midchild]);//交换
			parent = midchild;
			midchild = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}


//咱们求最大的前10个数
void PrintTopK(int* a, int n, int k)
{
	// 1. 建堆--用a中前k个元素建小堆
	int i = 0;
	for (i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i)
	{
		AdjustDown(a, k, i);
	}
	
// 2. 将剩余n-k个元素依次与堆顶元素交换，不满则则替换
	for (i = k; i < n; i++)
	{
		if (a[i] > a[0])//建小堆的意义在这，把大于堆顶的元素入堆
		{
			a[0] = a[i];
			AdjustDown(a, k, 0);//重新将数组首元素这个位置向下调整，使其成为小堆
		}
	}
	printf("\n前Top10分别为：");
	for (i = 0; i < k; i++)
	{
		printf("%d ", a[i]);
	}
}

void TestTopk()
{
	int n = 10000;
	int* a = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
	srand( (unsigned int )time(0));
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		a[i] = rand() % 1000000;//制造10000个小于1000000的随机数
	}
	//手动将大于1000000的数加上，不出意外，等下选出的就是这些数，因为他们是前top10
	a[5] = 1000000 + 1;
	a[1231] = 1000000 + 2;
	a[531] = 1000000 + 3;
	a[5121] = 1000000 + 4;
	a[115] = 1000000 + 5;
	a[2335] = 1000000 + 6;
	a[9999] = 1000000 + 7;
	a[76] = 1000000 + 8;
	a[423] = 1000000 + 9;
	a[3144] = 1000000 + 10;
	PrintTopK(a, n, 10);
	free(a);
}


int main()
{
	TestTopk();

	return 0;
}
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