二阶等差数列的性质及应用

作者：Cpp五条 | 2024-05-16 11:53:36

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二阶等差数

2, 3, 5, 8, 12, 17 …

首先是一阶等差数列，也即通常所说的等差数列： $a_1,a_2,\ldots,a_n$ ，满足：

\begin{aligned} a_{2} - a_{1} = d \\ \dots \\ a_{n} - a_{n - 1} = d \end{aligned}

$\begin{split} &a_2-a_1=d\\ &\ldots\\ &a_n-a_{n-1}=d\\ \end{split}$

第 $n$ 项 $a_n$ ，又可根据首项得到：

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

$a_n=a_1+(n-1)d$

我们再来看二阶等差数列的情况，数列 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ ，满足：

\begin{aligned} (a_{3} - a_{2}) - (a_{2} - a_{1}) = d \\ \dots \\ (a_{n} - a_{n - 1}) - (a_{n - 1} - a_{n - 2}) = d \end{aligned}

$\begin{split} &(a_3-a_2)-(a_2-a_1)=d\\ &\ldots\\ &(a_n-a_{n-1})-(a_{n-1}-a_{n-2})=d \end{split}$
现在想要知道第

n

$n$ 项和首项

a_{1}

$a_1$ 之间的关系。

证明如下：

(a_{n} - a_{n - 1}) = (a_{2} - a_{1}) + (n - 2) d ⇓ a_{n} = (a_{2} - a_{1}) + (n - 2) d + a_{n - 1}

$(a_n-a_{n-1})=(a_2-a_1)+(n-2)d\\ \Downarrow\\ a_n=(a_2-a_1)+(n-2)d+a_{n-1}$
据此得到

a_{n}

$a_n$ 的递推关系，不断地对

a_{n - 1}, a_{n - 2}

$a_{n-1}, a_{n-2}$ 进行展开，最终得：

a_{n} = (n - 1) (a_{2} - a_{1}) + \frac{(n - 1) (n - 2)}{2} d + a_{1}

$a_n=(n-1)(a_2-a_1)+\frac{(n-1)(n-2)}2d+a_1$

二阶等差数列的简单判断：

{\begin{cases} (a_{3} - a_{2}) - (a_{2} - a_{1}) = a_{3} - 2 a_{2} + a_{1} = d \\ (a_{4} - a_{3}) - (a_{3} - a_{2}) = a_{4} - 2 a_{3} + a_{2} = d \end{cases}

$\left\{ \begin{array}{l} (a_3-a_2)-(a_2-a_1)=a_3-2a_2+a_1=d\\ (a_4-a_3)-(a_3-a_2)=a_4-2a_3+a_2=d \end{array} \right.$

只需验证前 4 项的关系，如果不符合以上两个等式，如果不相等，则一定构不成二阶等差数列。

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