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你真的懂Redis的5种基本数据结构吗?这些知识点或许你还需要看看(图文并茂,浅显易懂,建议收藏)(1)

你真的懂Redis的5种基本数据结构吗?这些知识点或许你还需要看看(图文并茂,浅显易懂,建议收藏)(1)

先自我介绍一下,小编浙江大学毕业,去过华为、字节跳动等大厂,目前阿里P7

深知大多数程序员,想要提升技能,往往是自己摸索成长,但自己不成体系的自学效果低效又漫长,而且极易碰到天花板技术停滞不前!

因此收集整理了一份《2024年最新Java开发全套学习资料》,初衷也很简单,就是希望能够帮助到想自学提升又不知道该从何学起的朋友。
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既有适合小白学习的零基础资料,也有适合3年以上经验的小伙伴深入学习提升的进阶课程,涵盖了95%以上Java开发知识点,真正体系化!

由于文件比较多,这里只是将部分目录截图出来,全套包含大厂面经、学习笔记、源码讲义、实战项目、大纲路线、讲解视频,并且后续会持续更新

如果你需要这些资料,可以添加V获取:vip1024b (备注Java)
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正文

1127.0.0.1:6379> set fans 1000

2OK

3127.0.0.1:6379> incr fans

4(integer) 1001

5127.0.0.1:6379> incrby fans 999

6(integer) 2000

测试value为整数的自增区间

最大值:

1127.0.0.1:6379> set fans 9223372036854775808

2OK

3127.0.0.1:6379> incr fans

4(error) ERR value is not an integer or out of range

最小值:

1127.0.0.1:6379> set money -9223372036854775808

2OK

3127.0.0.1:6379> incrby money -1

4(error) ERR increment or decrement would overflow

三、list(列表)​


1、list(列表)相关介绍

1.1 list(列表)的内部结构

Redis的列表相当于Java语言中的LinkedList,它是一个双向链表数据结构(但是这个结构设计比较巧妙,后面会介绍),支持前后顺序遍历。链表结构插入和删除操作快,时间复杂度O(1),查询慢,时间复杂度O(n)。

list结构简图.png

1.2 list(列表)的使用场景

根据Redis双向列表的特性,因此其也被用于异步队列的使用。实际开发中将需要延后处理的任务结构体序列化成字符串,放入Redis的队列中,另一个线程从这个列表中获取数据进行后续处理。其流程类似如下的图:

list用于异步队列示意图.png

2、list(列表)的指令

2.1 右进左出—队列

队列在结构上是先进先出(FIFO)的数据结构(比如排队购票的顺序),常用于消息队列类似的功能,例如消息排队、异步处理等场景。通过它可以确保元素的访问顺序。

lpush -> 从左边边添加元素

lpush key value [value …]

rpush -> 从右边添加元素

rpush key value [value …]

llen -> 获取列表的长度

llen key

lpop -> 从左边弹出元素

lpop key

1127.0.0.1:6379> rpush code java c python    # 向列表中添加元素

2(integer) 3

3127.0.0.1:6379> llen code    # 获取列表长度

4(integer) 3

5127.0.0.1:6379> lpop code # 弹出最先添加的元素

6"java"

7127.0.0.1:6379> lpop code

8"c"

9127.0.0.1:6379> lpop code

10"python"

11127.0.0.1:6379> llen code

12(integer) 0

13127.0.0.1:6379> lpop code

14(nil)

2.2 右进右出——栈

栈在结构上是先进后出(FILO)的数据结构(比如弹夹压入子弹,子弹被射击出去的顺序就是栈),这种数据结构一般用来逆序输出。

lpush -> 从左边边添加元素

lpush key value [value …]

rpush -> 从右边添加元素

rpush key value [value …]

rpop -> 从右边弹出元素

rpop code

1127.0.0.1:6379> rpush code java c python

2(integer) 3

3127.0.0.1:6379> rpop code            # 弹出最后添加的元素

4"python"

5127.0.0.1:6379> rpop code

6"c"

7127.0.0.1:6379> rpop code

8"java"

9127.0.0.1:6379> rpop code

10(nil)

2.3 慢操作

列表(list)是个链表数据结构,它的遍历是慢操作,所以涉及到遍历的性能将会遍历区间range的增大而增大。注意list的索引运行为负数,-1代表倒数第一个,-2代表倒数第二个,其它同理。

lindex -> 遍历获取列表指定索引处的值

lindex key ind

lrange -> 获取从索引start到stop处的全部值

lrange key start stop

ltrim -> 截取索引start到stop处的全部值,其它将会被删除

ltrim key start stop

1127.0.0.1:6379> rpush code java c python

2(integer) 3

3127.0.0.1:6379> lindex code 0        # 获取索引为0的数据

4"java"

5127.0.0.1:6379> lindex code 1   # 获取索引为1的数据

6"c"

7127.0.0.1:6379> lindex code 2        # 获取索引为2的数据

8"python"

9127.0.0.1:6379> lrange code 0 -1    # 获取全部 0 到倒数第一个数据  == 获取全部数据

101) “java”

112) “c”

123) “python”

13127.0.0.1:6379> ltrim code 0 -1    # 截取并保理 0 到 -1 的数据 == 保理全部

14OK

15127.0.0.1:6379> lrange code 0 -1

161) “java”

172) “c”

183) “python”

19127.0.0.1:6379> ltrim code 1 -1    # 截取并保理 1 到 -1 的数据 == 移除了索引为0的数据 java

20OK

21127.0.0.1:6379> lrange code 0 -1

221) “c”

232) “python”

3、list(列表)深入理解

Redis底层存储list(列表)不是一个简单的LinkedList,而是quicklist ——“快速列表”。关于quicklist是什么,下面会简单介绍,具体源码我也还在学习中,后面大家一起探讨。

quicklist是多个ziplist(压缩列表)组成的双向列表;而这个ziplist(压缩列表)又是什么呢?ziplist指的是一块连续的内存存储空间,Redis底层对于list(列表)的存储,当元素个数少的时候,它会使用一块连续的内存空间来存储,这样可以减少每个元素增加prev和next指针带来的内存消耗,最重要的是可以减少内存碎片化问题。

3.1 常见的链表结构示意图

每个node节点元素,都会持有一个prev->执行前一个node节点和next->指向后一个node节点的指针(引用),这种结构虽然支持前后顺序遍历,但是也带来了不小的内存开销,如果node节点仅仅是一个int类型的值,那么可想而知,引用的内存比例将会更大。

常见链表结构.png

3.2 ziplist示意图

ziplist是一块连续的内存地址,他们之间无需持有prev和next指针,能通过地址顺序寻址访问。

ziplist内存示意图.png

3.3 quicklist示意图

quicklist是由多个ziplist组成的双向链表。

quicklist示意图.png

四、hash(字典)​


1、hash(字典)相关介绍

1.1 hash(字典)的内部结构

Redis的hash(字典)相当于Java语言中的HashMap,它是根据散列值分布的无序字典,内部的元素是通过键值对的方式存储。

hash无序字典键值对存储 (1).png

hash(字典)的实现与Java中的HashMap(JDK1.7)的结构也是一致的,它的数据结构也是数组+链表组成的二维结构,节点元素散列在数组上,如果发生hash碰撞则使用链表串联在数组节点上。

hash结构 (1).png

1.2 hash(字典)扩容

Redis中的hash(字典)存储的value只能是字符串值,此外扩容与Java中的HashMap也不同。Java中的HashMap在扩容的时候是一次性完成的,而Redis考虑到其核心存取是单线程的性能问题,为了追求高性能,因而采取了渐进式rehash策略。

渐进式rehash指的是并非一次性完成,它是多次完成的,因此需要保理旧的hash结构,所以Redis中的hash(字典)会存在新旧两个hash结构,在rehash结束后也就是旧hash的值全部搬迁到新hash之后,新的hash在功能上才会完全替代以前的hash。

hash-_rehash.png

1.3 hash(字典)的相关使用场景

hash(字典)可以用来存储对象的相关信息,一个hash(字典)代表一个对象,hash的一个key代表对象的一个属性,key的值代表属性的值。hash(字典)结构相比字符串来说,它无需将整个对象进行序列化后进行存储。这样在获取的时候可以进行部分获取。所以相比之下hash(字典)具有如下的优缺点:

  • 读取可以部分读取,节省网络流量

  • 存储消耗的高于单个字符串的存储

2 hash(字典)相关指令

2.1 hash(字典)常用指令

hset -> hash(字典)插入值,字典不存在则创建 key代表字典名称,field 相当于 key,value是key的值

hset key field value

hmset -> 批量设值

hmset key field value [field value …]

示例:

17.0.0.1:6379> hset book java “Thinking in Java”        # 字符串包含空格需要""包裹

2(integer) 1

3127.0.0.1:6379> hset book python “Python code”

4(integer) 1

5127.0.0.1:6379> hset book c “The best of c”

6(integer) 1

7127.0.0.1:6379> hmset book go “concurrency in go” mysql “high-performance MySQL” # 批量设值

8OK

hget -> 获取字典中的指定key的value

hget key field

hgetall -> 获取字典中所有的key和value,换行输出

hgetall key

示例:

1127.0.0.1:6379> hget book java

2"Thinking in Java"

3127.0.0.1:6379> hgetall book

41) “java”

52) “Thinking in Java”

63) “python”

74) “Python code”

85) “c”

96) “The best of c”

hlen -> 获取指定字典的key的个数

hlen key

举例:

1127.0.0.1:6379> hlen book

2(integer) 5

2.2 hash(字典)使用小技巧

在string(字符串)中可以使用incr和incrby对value是整数的字符串进行自加操作,在hash(字典)结构中如果单个子key是整数也可以进行自加操作。

hincrby -> 增对hash(字典)中的某个key的整数value进行自加操作

hincrby key field increment

1127.0.0.1:6379> hset liziba money 10

2(integer) 1

3127.0.0.1:6379> hincrby liziba money -1

4(integer) 9

5127.0.0.1:6379> hget liziba money

6"9"

注意如果不是整数会报错。

1127.0.0.1:6379> hset liziba money 10.1

2(integer) 1

3127.0.0.1:6379> hincrby liziba money 1

4(error) ERR hash value is not an integer

五、set(集合)


1、set(集合)相关介绍

1.1 set(集合)的内部结构

Redis的set(集合)相当于Java语言里的HashSet,它内部的键值对是无序的、唯一的。它的内部实现了一个所有value为null的特殊字典。

集合中的最后一个元素被移除之后,数据结构被自动删除,内存被回收。

set结构 (1).png

1.2 set(集合)的使用场景

set(集合)由于其特殊去重复的功能,我们可以用来存储活动中中奖的用户的ID,这样可以保证一个用户不会中奖两次。

2、set(集合)相关指令

sadd -> 添加集合成员,key值集合名称,member值集合元素,元素不能重复

sadd key member [member …]

1127.0.0.1:6379> sadd name zhangsan

2(integer) 1

3127.0.0.1:6379> sadd name zhangsan        # 不能重复,重复返回0

4(integer) 0

5127.0.0.1:6379> sadd name lisi wangwu liumazi # 支持一次添加多个元素

6(integer) 3

smembers -> 查看集合中所有的元素,注意是无序的

smembers key

1127.0.0.1:6379> smembers name    # 无序输出集合中所有的元素

21) “lisi”

32) “wangwu”

43) “liumazi”

54) “zhangsan”

sismember -> 查询集合中是否包含某个元素

sismember key member

1127.0.0.1:6379> sismember name lisi  # 包含返回1

2(integer) 1

3127.0.0.1:6379> sismember name tianqi # 不包含返回0

4(integer) 0

scard -> 获取集合的长度

scard key

1127.0.0.1:6379> scard name

2(integer) 4

spop -> 弹出元素,count指弹出元素的个数

spop key [count]

1127.0.0.1:6379> spop name            # 默认弹出一个

2"wangwu"

3127.0.0.1:6379> spop name 3

41) “lisi”

52) “zhangsan”

63) “liumazi”

六、zset(有序集合)


1、zset(有序集合)相关介绍

1.1 zset(有序集合)的内部结构

zset(有序集合)是Redis中最常问的数据结构。它类似于Java语言中的SortedSet和HashMap的结合体,它一方面通过set来保证内部value值的唯一性,另一方面通过value的score(权重)来进行排序。这个排序的功能是通过Skip List(跳跃列表)来实现的。

zset(有序集合)的最后一个元素value被移除后,数据结构被自动删除,内存被回收。

zset的内部数据结构.png

1.2 zset(有序集合)的相关使用场景

利用zset的去重和有序的效果可以由很多使用场景,举两个例子:

  • 存储粉丝列表,value是粉丝的ID,score是关注时间戳,这样可以对粉丝关注进行排序

  • 存储学生成绩,value使学生的ID,score是学生的成绩,这样可以对学生的成绩排名

2、zset(有序集合)相关指令

1、zadd -> 向集合中添加元素,集合不存在则新建,key代表zset集合名称,score代表元素的权重,member代表元素

zadd key [NX|XX] [CH] [INCR] score member [score member …]

1127.0.0.1:6379> zadd name 10 zhangsan

2(integer) 1

3127.0.0.1:6379> zadd name 10.1 lisi

4(integer) 1

5127.0.0.1:6379> zadd name 9.9 wangwu

6(integer) 1

2、zrange -> 按照score权重从小到大排序输出集合中的元素,权重相同则按照value的字典顺序排序([lexicographical order])

超出范围的下标并不会引起错误。 比如说,当 start 的值比有序集的最大下标还要大,或是 start > stop 时, zrange 命令只是简单地返回一个空列表。 另一方面,假如 stop 参数的值比有序集的最大下标还要大,那么 Redis 将 stop 当作最大下标来处理。

可以通过使用 WITHSCORES 选项,来让成员和它的 score 值一并返回,返回列表以 value1,score1, …, valueN,scoreN 的格式表示。 客户端库可能会返回一些更复杂的数据类型,比如数组、元组等。

zrange key start stop [WITHSCORES]

1127.0.0.1:6379> zrange name 0 -1 # 获取所有元素,按照score的升序输出

21) “wangwu”

32) “zhangsan”

43) “lisi”

5127.0.0.1:6379> zrange name 0 1        # 获取第一个和第二个slot的元素

61) “wangwu”

72) “zhangsan”

8127.0.0.1:6379> zadd name 10 tianqi    # 在上面的基础上添加score为10的元素

9(integer) 1

10127.0.0.1:6379> zrange name 0 2    # key相等则按照value字典排序输出

111) “wangwu”

122) “tianqi”

133) “zhangsan”

14127.0.0.1:6379> zrange name 0 -1 WITHSCORES # WITHSCORES 输出权重

151) “wangwu”

162) “9.9000000000000004”

173) “tianqi”

184) “10”

195) “zhangsan”

206) “10”

217) “lisi”

228) “10.1”

3、zrevrange -> 按照score权重从大到小输出集合中的元素,权重相同则按照value的字典逆序排序

其中成员的位置按 score 值递减(从大到小)来排列。 具有相同 score 值的成员按字典序的逆序(reverse lexicographical order)排列。 除了成员按 score 值递减的次序排列这一点外, ZREVRANGE 命令的其他方面和 ZRANGE key start stop [WITHSCORES] 命令一样

zrevrange key start stop [WITHSCORES]

1127.0.0.1:6379> zrevrange name 0 -1 WITHSCORES

21) “lisi”

32) “10.1”

43) “zhangsan”

54) “10”

65) “tianqi”

76) “10”

87) “wangwu”

98) “9.9000000000000004”

4、zcard -> 当 key 存在且是有序集类型时,返回有序集的基数。 当 key 不存在时,返回 0

zcard key

1127.0.0.1:6379> zcard name

2(integer) 4

5、zscore -> 返回有序集 key 中,成员 member 的 score 值,如果 member 元素不是有序集 key 的成员,或 key 不存在,返回 nil

zscore key member z

1127.0.0.1:6379> zscore name zhangsan

2"10"

3127.0.0.1:6379> zscore name liziba

4(nil)

6、zrank -> 返回有序集 key 中成员 member 的排名。其中有序集成员按 score 值递增(从小到大)顺序排列。

排名以 0 为底,也就是说,score 值最小的成员排名为 0

zrank key member

1127.0.0.1:6379> zrange name 0 -1

21) “wangwu”

32) “tianqi”

43) “zhangsan”

54) “lisi”

6127.0.0.1:6379> zrank name wangwu

7(integer) 0

7、zrangebyscore -> 返回有序集 key 中,所有 score 值介于 min 和 max 之间(包括等于 min 或 max )的成员。有序集成员按 score 值递增(从小到大)次序排列。

min 和 max 可以是 -inf 和 +inf ,这样一来,你就可以在不知道有序集的最低和最高 score 值的情况下,使用 [ZRANGEBYSCORE]这类命令。

默认情况下,区间的取值使用闭区间,你也可以通过给参数前增加 ( 符号来使用可选的[开区间]小于或大于)

zrangebyscore key min max [WITHSCORES] [LIMIT offset count]

1127.0.0.1:6379> zrange name 0 -1 WITHSCORES # 输出全部元素

21) “wangwu”

32) “9.9000000000000004”

43) “tianqi”

54) “10”

65) “zhangsan”

76) “10”

87) “lisi”

98) “10.1”

10127.0.0.1:6379> zrangebyscore name 9 10

111) “wangwu”

122) “tianqi”

133) “zhangsan”

14127.0.0.1:6379> zrangebyscore name 9 10 WITHSCORES    # 输出分数

151) “wangwu”

162) “9.9000000000000004”

173) “tianqi”

184) “10”

195) “zhangsan”

206) “10”

21127.0.0.1:6379> zrangebyscore name -inf 10 # -inf 从负无穷开始

221) “wangwu”

232) “tianqi”

243) “zhangsan”

25127.0.0.1:6379> zrangebyscore name -inf +inf    # +inf 直到正无穷

261) “wangwu”

272) “tianqi”

283) “zhangsan”

294) “lisi”

30127.0.0.1:6379> zrangebyscore name (10 11  #  10 < score <=11

311) “lisi”

32127.0.0.1:6379> zrangebyscore name (10 (10.1  # 10 < socre < -11

33(empty list or set)

34127.0.0.1:6379> zrangebyscore name (10 (11

351) “lisi”

8、zrem -> 移除有序集 key 中的一个或多个成员,不存在的成员将被忽略

zrem key member [member …]

1127.0.0.1:6379> zrange name 0 -1

21) “wangwu”

32) “tianqi”

43) “zhangsan”

54) “lisi”

6127.0.0.1:6379> zrem name zhangsan # 移除元素

7(integer) 1

8127.0.0.1:6379> zrange name 0 -1

91) “wangwu”

102) “tianqi”

113) “lisi”

七、Skip List


1、简介

跳表全称叫做跳跃表,简称跳表。跳表是一个随机化的数据结构,实质就是一种可以进行二分查找的有序链表。跳表在原有的有序链表上面增加了多级索引,通过索引来实现快速查找。跳表不仅能提高搜索性能,同时也可以提高插入和删除操作的性能。

Skip List(跳跃列表)这种随机的数据结构,可以看做是一个二叉树的变种,它在性能上与红黑树、AVL树很相近;但是Skip List(跳跃列表)的实现相比前两者要简单很多,目前Redis的zset实现采用了Skip List(跳跃列表)(其它还有LevelDB等也使用了跳跃列表)。

RBT红黑树与Skip List(跳跃列表)简单对比:

RBT红黑树

  1. 插入、查询时间复杂度O(logn)

  2. 数据天然有序

  3. 实现复杂,设计变色、左旋右旋平衡等操作

  4. 需要加锁

Skip List跳跃列表

  1. 插入、查询时间复杂度O(logn)

  2. 数据天然有序

  3. 实现简单,链表结构

  4. 无需加锁

2、Skip List算法分析

2.1 Skip List论文

这里贴出Skip List的论文,需要详细研究的请看论文,下文部分公式、代码、图片出自该论文。

Skip Lists: A Probabilistic Alternative to Balanced Trees

https://www.cl.cam.ac.uk/teaching/2005/Algorithms/skiplists.pdf

2.2 Skip List动态图

先通过一张动图来了解Skip List的插入节点元素的流程,此图来自维基百科。

2.3 Skip List算法性能分析

2.3.1 计算随机层数算法

首先分析的是执行插入操作时计算随机数的过程,这个过程会涉及层数的计算,所以十分重要。对于节点他有如下特性:

  • 节点都有第一层的指针

  • 节点有第i层指针,那么第i+1层出现的概率为p

  • 节点有最大层数限制,MaxLevel

计算随机层数的伪代码:

论文中的示例

image.png

Java版本

1public int randomLevel(){

2    int level = 1;

3    // random()返回一个[0…1)的随机数

4    while (random() < p && level < MaxLevel){

5        level += 1;

6    }

7    return level;

8}

代码中包含两个变量P和MaxLevel,在Redis中这两个参数的值分别是:

1p = 1/4

2MaxLevel = 64

2.3.2 节点包含的平均指针数目

Skip List属于空间换时间的数据结构,这里的空间指的就是每个节点包含的指针数目,这一部分是额外的内内存开销,可以用来度量空间复杂度。random()是个随机数,因此产生越高的节点层数,概率越低(Redis标准源码中的晋升率数据1/4,相对来说Skip List的结构是比较扁平的,层高相对较低)。其定量分析如下:

  • level = 1 概率为1-p

  • level >=2 概率为p

  • level = 2 概率为p(1-p)

  • level >= 3 概率为p^2

  • level = 3 概率为p^2(1-p)

  • level >=4 概率为p^3

  • level = 4 概率为p^3(1-p)

  • ……

得出节点的平均层数(节点包含的平均指针数目):

2195619-b17ca123586244cc.webp

所以Redis中p=1/4计算的平均指针数目为1.33

2.3.3 时间复杂度计算

以下推算来自论文内容

假设p=1/2,在以p=1/2生成的16个元素的跳过列表中,我们可能碰巧具有9个元素,1级3个元素,3个元素3级元素和1个元素14级(这不太可能,但可能会发生)。我们该怎么处理这种情况?如果我们使用标准算法并在第14级开始我们的搜索,我们将会做很多无用的工作。那么我们应该从哪里开始搜索?此时我们假设SkipList中有n个元素,第L层级元素个数的期望是1/p个;每个元素出现在L层的概率是p^(L-1), 那么第L层级元素个数的期望是 n * (p^L-1);得到1 / p =n * (p^L-1)

11 / p = n * (p^L-1)

2n = (1/p)^L

3L = log(1/p)^n

所以我们应该选择MaxLevel = log(1/p)^n

定义:MaxLevel = L(n) = log(1/p)^n

推算Skip List的时间复杂度,可以用逆向思维,从层数为i的节点x出发,返回起点的方式来回溯时间复杂度,节点x点存在两种情况:

  • 节点x存在(i+1)层指针,那么向上爬一级,概率为p,对应下图situation c.

  • 节点x不存在(i+1)层指针,那么向左爬一级,概率为1-p,对应下图situation b.

image.png

设C(k) = 在无限列表中向上攀升k个level的搜索路径的预期成本(即长度)那么推演如下:

1C(0)=0

2C(k)=(1-p)×(情况b的查找长度) + p×(情况c的查找长度)

3C(k)=(1-p)(C(k)+1) + p(C(k-1)+1)

最后

学习视频:

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大厂面试真题:

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网上学习资料一大堆,但如果学到的知识不成体系,遇到问题时只是浅尝辄止,不再深入研究,那么很难做到真正的技术提升。

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一个人可以走的很快,但一群人才能走的更远!不论你是正从事IT行业的老鸟或是对IT行业感兴趣的新人,都欢迎加入我们的的圈子(技术交流、学习资源、职场吐槽、大厂内推、面试辅导),让我们一起学习成长!

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2.3.3 时间复杂度计算

以下推算来自论文内容

假设p=1/2,在以p=1/2生成的16个元素的跳过列表中,我们可能碰巧具有9个元素,1级3个元素,3个元素3级元素和1个元素14级(这不太可能,但可能会发生)。我们该怎么处理这种情况?如果我们使用标准算法并在第14级开始我们的搜索,我们将会做很多无用的工作。那么我们应该从哪里开始搜索?此时我们假设SkipList中有n个元素,第L层级元素个数的期望是1/p个;每个元素出现在L层的概率是p^(L-1), 那么第L层级元素个数的期望是 n * (p^L-1);得到1 / p =n * (p^L-1)

11 / p = n * (p^L-1)

2n = (1/p)^L

3L = log(1/p)^n

所以我们应该选择MaxLevel = log(1/p)^n

定义:MaxLevel = L(n) = log(1/p)^n

推算Skip List的时间复杂度,可以用逆向思维,从层数为i的节点x出发,返回起点的方式来回溯时间复杂度,节点x点存在两种情况:

  • 节点x存在(i+1)层指针,那么向上爬一级,概率为p,对应下图situation c.

  • 节点x不存在(i+1)层指针,那么向左爬一级,概率为1-p,对应下图situation b.

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设C(k) = 在无限列表中向上攀升k个level的搜索路径的预期成本(即长度)那么推演如下:

1C(0)=0

2C(k)=(1-p)×(情况b的查找长度) + p×(情况c的查找长度)

3C(k)=(1-p)(C(k)+1) + p(C(k-1)+1)

最后

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