每周一算法：Prim算法求最小生成树

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[最短网络]

题目描述

Farmer John 被选为他们镇的镇长！他其中一个竞选承诺就是在镇上建立起互联网，并连接到所有的农场。当然，他需要你的帮助。

FJ 已经给他的农场安排了一条高速的网络线路，他想把这条线路共享给其他农场。为了用最小的消费，他想铺设最短的光纤去连接所有的农场。

你将得到一份各农场之间连接费用的列表，你必须找出能连接所有农场并所用光纤最短的方案。每两个农场间的距离不会超过 $10^5$。

输入格式

第一行农场的个数$N$（$3\le N\le 100$）。

接下来是一个$N\times N$的矩阵，表示每个农场之间的距离。它们是$N$行，每行由$N$个用空格分隔的数组成；当然，对角线将会是$0$，因为不会有线路从第$i$个农场到它本身。

输出格式

只有一个输出，其中包含连接到每个农场的光纤的最小长度。

样例 #1

样例输入 #1

4
0 4 9 21
4 0 8 17
9 8 0 16
21 17 16 0
1
2
3
4
5

样例输出 #1

28
1

提示

【数据范围】

$3\le N\le 100$，
每两个农场间的距离不会超过 $10^5$。

算法思想

根据题目描述，从一份各农场之间连接费用的列表中，找出能连接所有农场并所用光纤最短的方案。即在一个无向图中求边权和最小的生成树，即无向连通图的最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）。

注意：只有连通图才有生成树，而对于非连通图，只存在生成森林。

最小生成树的算法很多，常用的有两种「Prim」算法和「Kruskal」算法。

Prim算法的基本思想是从一个节点开始，不断加点。具体来说，每次要选择距离连通块最小的一个节点，用新的边更新其他节点到连通块的距离。

跟 Dijkstra 算法类似，每次找到距离最小的一个点，可以暴力找也可以用堆维护。一般在稠密图尤其是完全图上，使用 Prim 算法；而稀疏图常用Kruskal算法。

时间复杂度

暴力：$O(n^2+m)$。

二叉堆：$O((n+m)\log n)$。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int n;
int w[N][N];
//dist[i]表示点i到连通块的最短距离
//st[i]表示i是否在连通块中
int dist[N], st[N];

int prim()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0; //选择1号点作为生成树的第1个点
    int res = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int t = -1; //暴力求不在连通块中且距离连通块最近的点t
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t])) t = j;
        }
        st[t] = 1; //将t点加入连通块
        res += dist[t]; //累加边权和
		//用t缩短其它节点到连通块的距离
        for(int j = 1; j <= n; j++) dist[j] = min(dist[j], w[t][j]);
    }
    return res;
}

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            cin >> w[i][j];
    cout << prim() << endl;
    return 0;
}
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