二分算法_二分代码

二分算法：

根据序列的某种性质（例如单调性），每次将答案区间减半，最后找到答案或者答案所在的区间，是一个不断逼近的过程。

二分算法的时间复杂度为O(logn)。

我们一般会二分查找和二分答案：

二分查找指的是对半查找;

二分答案指的是将每次对半查找到的答案带到条件中判断是否满足;

二分的代码可以通过一个while循环实现：

int l,r,mid;//左端点，右端点，中间点
 
while(条件){//只要未达到需要满足的条件就一直二分
 
    mid=l+r;//确定中间点
    
    //如果查找的答案在区间内就缩小一半区间
    if(true)r=mid;
    else l=mid;
}

二分查找：

例题1：

给定一个非降序序列q，一个目标数x,求出x在q中的初始位置和终止位置。

思路：

直接扫描一遍序列，时间复杂度为O(n）;

二分做法,由于序列是非降序的，我们可以将区间一分为二，如果x不在左边那么必定在右边，每次对半查找，时间复杂度为O(logn)；

代码如下：

//查找序列中第一个k
    while(l<r){//当二分至只剩一个数时，停止二分
        
        mid=(l+r)>>1;
        if(q[mid]>=x)r=mid;//如果区间中点大于等于x，那么第一个数一定在左边区间
        else l=mid+1;//反之一定在右边区间
    }
        
    if(a[l]!=k)return;//如果区间中没有x
    else{//如果有x
        l=0,r=n-1;
        //查找序列中最后一个k
        while(l<r){
            //同理进行二分
            mid=(l+r+1)>>1;
            if(a[mid]<=k)l=mid;
            else r=mid-1;
        }
    }
    
//注意：在整数二分时，如果是将mid赋值给l的情况，mid=(l+r+1)>>1,这样可以防止死循环

二分答案：

例题2：

假设有n块巧克力（大小h*w），m个小朋友，每块巧克力大小不同。我们要给每个小朋友分一块完整的k*k大小的巧克力，问能分给小朋友的最大的巧克力是多大。数据保证每个小朋友至少能分到1*1大小的巧克力。

数据范围：

1<=n,m<=1e5；

1<=h,w<=1e5。

思路：

二分答案即可；

我们二分要分的巧克力大小，如果最后可以分出来的数量大于小朋友数就说明太小了，反之说明太大了。

二分巧克力大小时间复杂度为O(h)，枚举每一块巧克力时间复杂度为O(n)，总体时间复杂度为O(hn)。

代码如下：

const int N=1e5+10;
int w[N],h[N];//巧克力的宽高
 
int l=1,r=1e5,mid;
    
while(l<r){
    mid=(l+r+1)>>1;
        
    int tmp=0;//巧克力块数
    for(int i=0;i<n;i++)
        tmp+=(w[i]/mid)*(h[i]/mid);
    if(tmp>=m)l=mid;//如果分的巧克力大于等于需要的，就把每一块分的大一点
    else r=mid-1;//否则分小块一点
}

习题：

四平方和：

每个正整数最多可以分成四个正整数（包括0）的平方和。给定一个数x，求他的四平方和表示法。将所有表示按字典序排列，将第一个作为结果。

数据范围：

0<x<5*1e6。

思路：

x=a^2+b^2+c^2+d^2，可知每个数都是小于等于sqrt(x)的；

枚举三个数的话时间复杂度为O(x*sqrt(x))；

我们可以先枚举两个数（记录），将两个数能组成的结果记录下来；

然后枚举两个数（凑数），在记录下来的数中查找有没有需要补充的数；

对于查找，我们可以使用二分的方法。

代码如下：

//存储
for(int i=0;i*i<=n;i++)
    for(int j=i;j*j<=n;j++){
        int tmp=i*i+j*j;
        if(tmp>n)continue;//太大
            
        if(a[tmp]||b[tmp])continue;//存储一次即可
        else {
            a[tmp]=i;
            b[tmp]=j;
        }
    }
     
//枚举
for(int i=0;i*i<=n;i++)
    for(int j=i;j*j<=n;j++){
        int tmp=i*i+j*j;
        if(tmp>n)continue;//太大
            
        if(a[n-tmp]||b[n-tmp]){//有该目标值
            int cur[4];
                
            //排序
            cur[0]=i,cur[1]=j,cur[2]=a[n-tmp],cur[3]=b[n-tmp];
            sort(cur,cur+4);
                
            return ;
        }
    }