拓扑排序：判断有向图是否有环（超级详细剖析！！）+207. Course Schedule实例_拓扑排序可以判断有向图是否有环

本文先给定义，接着以举例的形式讲解算法原理，最后使用python实践

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定义：

直接copy一下 百科上面的吧：

对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边(u,v)∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列，简称拓扑序列。简单的说，由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称之为拓扑排序。

使用的算法也很简单步骤大概就是：这里使用bfs（dfs遍历也可以）

一：先计算所有节点的入度

二：将所有入度为0的点进入一个队列

三：然后出队，得到一个元素

四：将该元素指向的所有元素的入度减1

五：如果减后其入度为0则将该元素入队列

六：继续出队重复步骤三，直到队列为空

还是举个例子吧：

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假设队列为queue

依据图可以得到每个节点的入度：

{A:0,B:1,C:1,D:2,E:1,F:1,G:1,H:1}

一开始只有入度为0的节点入队即A节点入队

queue= [A]

依次遍历其所有指向元素：

首先是B，将其入度减为0，然后其入度为1-1=0，入度为0入队

queue = [B],然后是E，入度减1为0，入度为0入队queue = [B，E]

此时{A:0,B:0,C:1,D:2,E:0,F:1,G:1,H:1}

为了可视化，上面的入度减一的过程其实可以看成擦除边的过程，即上面这一个循环结束后，拓扑图就变成：

好了，B出队列，其指向的C的入度减一，C的入度为0，进入队列，此时：

queue = [E，C]

{A:0,B:0,C:0,D:2,E:0,F:1,G:1,H:1}

拓扑图变为：

E出队，F入度减一入队

queue = [C，F]

{A:0,B:0,C:0,D:2,E:0,F:0,G:1,H:1}

C出队，首先遍历D，D入度减一变为1，不为0，不如队列，

              接着遍历H，H入度减一变为0，入队列

queue = [F,H]

{A:0,B:0,C:0,D:1,E:0,F:0,G:1,H:0}

F出队，遍历D，D的入度减一变为0，入队列

queue = [H，D]

{A:0,B:0,C:0,D:0,E:0,F:0,G:1,H:0}

H出队列，其没有所指向的元素，直接跳过，此时：

queue = [D]

{A:0,B:0,C:0,D:0,E:0,F:0,G:1,H:0}

D出队列，遍历到G，其入度减一为0，入队

queue = [G]

{A:0,B:0,C:0,D:0,E:0,F:0,G:0,H:0}

G出队列，其没有所指的元素，直接跳过

 

再次出队发现队列为空结束。

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上述出入队列的顺序就是拓扑排序的顺序即ABECHFDG

还没完呢！！！！！！！！！！！！！！！！！

其实它的更多用途是用来判断有向图是否存在环，当出队的个数等于图节点个数的时候是无环图，相反便是有环图

比如上面出队的个数是8个（ABECHFDG），图上节点也是8个（ABCDEFGH）所以上图就是无环图，为了对比，下面我们再举一个有环图看一下：很明显红圈的部分就是一个环

我们按上面的算法走一下，这里我就不再详细叙述了，直接给出每一步的结果

开始的时候

queue=[A]

{A:0,B:2,C:1,D:1,E:1}

A出队操作后：

queue=[D]

{A:0,B:1,C:1,D:0,E:1}

D出队列，发现没有所指元素，直接跳过

queue=[]

{A:0,B:1,C:1,D:0,E:1}

此时发现队列为空，没有元素可出，结束

 

最后发现出队的元素个数是2（A,D），而图上的个数是5个（ABCDE），两者不相同证明有环，同时注意有环的时候是没有拓扑排序的即没有拓扑排序的

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这里给一下判断有向图是否有环的模板吧

queue<int>q;
    for(int i=0;i<n;i++)  //n  节点的总数
        if(in[i]==0) q.push(i);  //将入度为0的点入队列
    vector<int>ans;   //ans 为拓扑序列
    while(!q.empty())
    {
        int p=q.top(); q.pop(); // 选一个入度为0的点，出队列
        ans.push_back(p);
        for(int i=0;i<edge[p].size();i++)
        {
            int y=edge[p][i];
            in[y]--;
            if(in[y]==0)
                q.push(y);  
        }
    }
    if(ans.size()==n)   
    {
        for(int i=0;i<ans.size();i++)
            printf( "%d ",ans[i] );
        printf("\n");
    }
    else printf("No Answer!\n");   //  ans 中的长度与n不相等，就说明无拓扑序列

来至于：https://blog.csdn.net/qq_41713256/article/details/80805338

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上面部分是理论部分，下面看一下具体实践

很多题目其实可以转化为判断一个有向图是否有环的问题，比如leetcode上面的207. Course Schedule

根据上面的理论，解决该问题就轻而易举啦，代码如下(python)

class Solution(object):
    def canFinish(self, numCourses, prerequisites):
        """
        :type numCourses: int
        :type prerequisites: List[List[int]]
        :rtype: bool
        """
        queue = []
        ins = [0 for i in range(numCourses)]
        for prerequisite in prerequisites:
            ins[prerequisite[0]]+=1
        for i in range(numCourses):
            if ins[i]==0:
                queue.append(i)
        count = len(queue)
        while queue:
            n = queue.pop(0)
            for prerequisite in prerequisites:
                if n== prerequisite[1]:
                    ins[prerequisite[0]]-=1
                    if ins[prerequisite[0]]==0:
                        queue.append(prerequisite[0])
                        count+=1
        return numCourses==count

同理下面这道题也很简单：210. Course Schedule II

它要求在判断有无环的同时，同时要求如果是无环，要返回我们上面说的拓扑序列，否者返回空

这里其实只需要再增加一个列表比如result，用其记录每次出队列的元素，如果最后判断是无环的话，就返回该列表，否者返回空列表即可