通信原理：确知信号_通信原理巴塞伐尔定理证明

（一）确知信号的类型

1.周期信号:信号每隔一段时间呈周期性变化

$$s(t)=s(t+T_0),-\infty <t<+\infty$$

2.功率信号与能量信号

（1）能量（有限）信号

• $能量：0<E={\int }_{-\infty }^{+\infty }{s}^2(t)dt<+\infty$

• $功率：P=\underset{T\to +\infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{s}^2(t)dt\to 0$

（2）功率（有限）信号

• $功率：0<P=\underset{T\to +\infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{s}^2(t)dt<+\infty$
• $能量：E={\int }_{-\infty }^{+\infty }{s}^2(t)dt\to +\infty$

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（二）确知信号的频域性质

1.功率信号的频谱：离散的幅度与频率的关系图像
$$C_n=C(n{f}_0)=\frac{1}{T_0}{\int }_{-T_0/2}^{T_0/2}s(t)e^{-j2\pi n{f}_{0}t}dt$$

2.能量信号的频谱密度：连续的幅度与频率的关系图像
$$S(f)={\int }_{-\infty }^{+\infty }s(t)e^{-j2\pi ft}dt$$

3.能量信号的能量谱密度：连续的能量与频率的关系图像
$$G(f)=|S(f){|}^2$$
证明：
$$由巴塞伐尔（Parseval）定理可得，E={\int }_{-\infty }^{+\infty }{s}^2(t)dt={\int }_{-\infty }^{+\infty }{S}^2(f)df$$
$$\therefore 能量谱密度:G(f)=|S(f){|}^2$$
注：巴塞伐尔定理也表明无论是时域还是频域信号的能量相等

4.功率信号的功率谱密度：连续的能量与频率的关系图像
$$P(f)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|C(f){|}^2\delta (f-n{f}_0)df$$
式 中 ： C ( f ) = { C n , f = n f 0 0 , 其 他 式中：C(f)=

$$\begin{cases}C_n ,f=nf_0\\\\ 0 ,其他\end{cases}$$ 式中：C(f)=⎩⎪⎨⎪⎧​Cn​,f=nf0​0,其他​

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（三）确知信号的时域性质

1.能量信号的自相关函数
$$R(\tau )={\int }_{-\infty }^{+\infty }s(t)s(t+\tau )dt$$
重要性质：能量信号的自相关函数与其能量谱密度为一对傅里叶变换
$$R(\tau )={\int }_{-\infty }^{+\infty }|S(f){|}^2{e}^{j2\pi ft}df$$

2.功率信号的自相关函数

$$R(\tau )=\underset{T\to +\infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}s(t)s(t+\tau )dt$$
重要性质：功率信号的自相关函数与其功率谱密度为一对傅里叶变换
$$R(\tau )={\int }_{-\infty }^{+\infty }P(f)e^{j2\pi ft}df$$

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（四）总结