深度学习基础篇之长短记忆递归神经网络（LSTM）_深度学习长短

在循环神经网络（RNN）模型中，我们总结了RNN模型的优缺点。由于RNN有梯度消失的问题，因此很难处理长序列的数据。于是有人对RNN做了改进，得到了RNN的特例LSTM（Long Short-Term Memory），它可以避免常规RNN的梯度消失问题，因此在工业界得到了广泛的应用。

1、从RNN到LSTM

在RNN模型里，RNN具有如下的结构，每个序列索引位置$t$都有一个隐藏状态$h^{(t)}$。

如果我们略去每层都有的$o^{(t)}、L^{(t)}、y^{(t)}$，则RNN模型可以简化为下图的形式：

图中可以清晰的看出隐藏状态$h^{(t)}$由$x^{(t)}$和$h^{(t-1)}$得到。得到$h^{(t)}$后一方面用于当前层的模型损失，另一方面用于计算下一层的$h^{(t+1)}$。

由于RNN梯度消失的问题，大牛们对序列索引位置$t$的隐藏结构做了改进，通过一些复杂结构避免了梯度的消失问题，这样的特殊RNN就是我们的LSTM。由于LSTM有很多的变种，这里以我们最常见的LSTM为例讲述，LSTM的结构如下图：

可以看到LSTM的结构比RNN复杂的多，下面具体讲下LSTM模型的结构。

2、LSTM模型结构解析

上面我们给出了LSTM的模型结构，下面我们就一点点的剖析LSTM模型在每个序列索引位置$t$时刻的内部结构。

从上图可以看出，在每个序列索引位置$t$时刻向前传播的除了和RNN一样的隐藏状态$h^{(t)}$，还多了另一个隐藏状态，如图中上面的横线。这个隐藏状态我们一般称之为细胞状态（Cell State），记为$C^{(t)}$。如下图所示：

除了细胞状态，LSTM图中还有很多各种各样的结构，这些结构一般被称为门控结构（Gate）。LSTM在每个序列索引位置$t$的门一般包括遗忘门、输入门和输出门三种，每个门的用途如下图所示。

2.1 LSTM之遗忘门

遗忘门（forget gate）顾名思义，是控制是否遗忘的，在LSTM中以一定概率控制是否遗忘上一层的隐藏细胞状态，遗忘门子结构如下图所示：

图中的输入包括上一序列的隐藏状态$h^{(t-1)}$和本序列的$x^{(t)}$，通过激活函数sigmoid得到遗忘门$f^{(t)}$。由于sigmoid的输出$f^{(t)}$在[0, 1]之间，因此这里的输出$f^{(t)}$代表了遗忘上一层隐藏细胞状态的概率。数学表达式为：
$$f^{(t)}=\sigma (W_f{h}^{(t-1)}+U_f{x}^{(t)}+b_f)$$
其中$W_f$，$U_f$，$b_f$为线性关系的系数和偏倚，和RNN中的类似，$\sigma$为sigmoid的激活函数。

2.2 LSTM之输入门

输入门（input gate）负责处理当前序列位置的输入，它的子结构如下图：

从图中可以看到输入门由两部分组成，第一部分使用了sigmoid激活函数，输出为$i^{(t)}$，第二部分使用了tanh激活函数，输出为$a^{(t)}$，两者的结果会在后面相乘再去更新细胞状态，用数学表达式为：
$$i^{(t)}=\sigma (W_i{h}^{(t-1)}+U_i{x}^{(t)}+b_i)$$
$$a^{(t)}=tanh(W_a{h}^{(t-1)}+U_a{x}^{(t)}+b_a)$$

2.3 LSTM之细胞状态更新

在研究LSTM输出门之前，我们要先看看LSTM之细胞状态。前面的遗忘门和输入门的结果都会作用于细胞状态$C^{(t)}$。下面看一下如何从$C^{(t-1)}$得到$C^{(t)}$，如下图所示：

细胞状态$C^{(t)}$由两部分组成，第一部分是$C^{(t-1)}$和遗忘门输出$f^{(t)}$的乘积，第二部分是输入门的$i^{(t)}$和$a^{(t)}$的乘积，即：
$$C^{(t)}=C^{(t-1)}\odot +i^{(t)}\odot a^{(t)}$$
其中，$\odot$是Hadamard积，Hadamard积是矩阵的一类运算，假如$C=A\odot B$，其中A的元素为$a_{ij}$，B的元素为$b_{ij}$，则$C=a_{ij}\ast b_{ij}$，也就是矩阵A和B的每个相同位置相乘。

2.4 LSTM之输出门

有了新的隐藏细胞状态$C^{(t)}$，就可以计算输出门了，子结构如下：

从图中可以看出，隐藏状态$h^{(t)}$的更新由两部分组成，第一部分是$o^{(t)}$，它是由上一序列的隐藏状态$h^{(t-1)}$和本序列的数据$x^{(t)}$，以及激活函数sigmoid得到。第二部分由隐藏状态$C^{(t)}$和tanh激活函数组成，即：
$$o^{(t)}=\sigma (W_o{h}^{t-1}+U_o{x}^{(t)}+b_o)$$
$$h^{(t)}=o^{(t)}\odot tanh(C^{(t)})$$

3、LSTM的前向传播算法

现在我们来总结下LSTM前向传播算法，LSTM模型有两个隐藏状态$h^{(t)}$，$C^{(t)}$，模型参数几乎是RNN的4倍，因为现在多了$W_f{U}_f{b}_f{W}_a{U}_a{b}_{a}Wi{U}_i{b}_i{W}_o{U}_o{b}_o$这些参数。

前向传播过程在每个序列索引位置的过程为：
1）更新遗忘门输出：$$f^{(t)}=\sigma (W_f{h}^{(t-1)}+U_f{x}^{(t)}+b_f)$$
2）更新输入门两部分输出：$$i^{(t)}=\sigma (W_i{h}^{(t-1)}+U_i{x}^{(t)}+b_i)$$ $$a^{(t)}=tanh(W_a{h}^{(t-1)}+U_a{x}^{(t)}+b_a)$$
3）更新细胞状态：$$C^{(t)}=C^{(t-1)}\odot +i^{(t)}\odot a^{(t)}$$

4）更新输出门输出：$$o^{(t)}=\sigma (W_o{h}^{t-1}+U_o{x}^{(t)}+b_o)$$ $$h^{(t)}=o^{(t)}\odot tanh(C^{(t)})$$
5）更新当前序列索引预测输出：$${\hat{y}}^{(t)}=\sigma (V{h}^{(t)}+c)$$