机械臂动力学建模

多体动力学是目前力学研究的热点之一，人类早期对机械系统的研究集中在单刚体上，我们将由多个物体通过运动副连接的机械系统称为多刚体系统。由于对多刚体系统的研究可以更好的分析实际机械系统的运动机理，十八世纪以来，人类将研究延伸至即为多刚体系统，甚至柔性多体系统，如航天器，空间机器人等。

多刚体动力学就是研究多刚体系统运动和受力之间的关系，它的的动力学研究问题可以分为动力学正问题、逆问题以及正逆混合问题。动力学正问题即已知驱动力（力矩）求解多刚体系统运动，动力学逆问题则已知多刚体系统的运动学量求解作用在运动副上的驱动力（力矩），正逆混合问题则是系统部分运动副的运动情况和部分运动副的作用力已知而求解其它运动副的运动情况以及驱动力（力矩）的问题。

多刚体的建模方法可以分为数值计算方法、符号计算方法以及符号和数值相结合的动力学算法。一般地说，基于数值计算的动力学算法中间的大量计算都被避免，计算任务量更小，但是难以得到通用的表达式，且由于数值计算过程中累积误差很大，因此数值计算的精度较低。基于符号计算的方法初期有着较大的计算量，虽然能得到通用表达式但是许多多体系统的动力学符号表达式繁琐，导致目前的计算机无法针对其进行有效的符号运算。

机械臂动力学模型的推导对运动仿真、机械臂结构分析和控制算法设计都具有重要作用。根据多刚体系统建模原理划分，大致有以下几类方法：

基于牛顿-欧拉法（Newton-Eulerformulation）的多刚体动力学建模方法，是以递归方式建立模型，效率更高。首先将多刚体系统的运动分解为分别基于牛顿方程和欧拉方程的平动和转动。基于牛顿-欧拉方程的多体动力学建模含有较多的理想约束力，有效消除理想约束力是该建模方法的关键。为了消去完整约束系统动力学计算过程中的约束力，Schehlen等人利用D’Alembert原理进行求解，而利用Jourdain原理能消去非完整多刚体系统约束力。

基于拉格朗日公式（Lagrange formulation）研究机械多体系统动力学的建模方法，这种方法概念简单且系统，需要同时列写在基于拉格朗日列的多体系统运动方程和约束方程。这种基于笛卡尔广义坐标的动力学方法得到系统的微分-代数方程，一般方程属于刚性的。且对于该种建模原理，微分-代数方程的数值求解应用更广，如Chace等人应用Gear积分器编写了多体动力学计算软件Adams。两如果是两自由度平面机械臂等的这种简单的多体系统，可以采用第二类拉格朗日方程进行建模，这样的得到的动力学方程是系统的一般式，动力学正问题和解决逆问题都可以得到解决，在控制系统研究中可以应用多体系统的通式。

罗伯特-维登伯格方法是将关联矩阵和通路矩阵等结合起来描述机器人系统的拓扑构型，并根据牛顿-欧拉方法建立纯转动铰链系统的动力学方程，且根据达朗贝尔原理建立具有完整约束铰链的动力学方程。基于这种方法的多刚体体系统建模应用广泛，计算量小且易与编程，有较强的通用性。

凯恩(Kane)方法是针对多自由度离散系统来说的，是一种普遍动力学方法，它是引入伪速度作为广义坐标来描述系统的运动，并利用D’Alembert建立动力学方程。该算法的推导过程规范，且分析力学和矢量力学的优点兼具，方程为一阶微分方程组，计算机编程计算相对简单。

基于高斯最小约束原理方法进行多体系统建模，这种方法是基于变分原理的分析运动，其并不根据描述运动的具体原理进行动力学建模，最后通过泛函求极值的方法求出机械臂系统的运动规律。

详细参见

Robot-走近机器人动力学建模与仿真

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