【C 数据结构】树

【 1. 基本原理 】

• 树结构是一种 非线性存储结构，存储的是具有 一对多 关系的数据元素的集合。
• 一对多
  如下图中的左图所示，对于数据 A 来说，和数据 B、C、D 有关系；对于数据 B 来说，和 E、F 有关系。这就是“一对多”的关系。
  
• 将具有“一对多”关系的集合中的数据元素按照上面右图的形式进行存储，整个存储形状在逻辑结构上看，类似于实际生活中倒着的树（左图倒过来），所以称这种存储结构为 树型存储结构。
• 树的广义表 表示法
  上图用广义表可以表示为：
  (A , ( B ( E ( K , L ) , F ) , C ( G ) , D ( H ( M ) , I , J ) ) )

1.1 子树、空树

• 子树：上图中，整棵树的根结点为结点 A，而如果单看结点 B、E、F、K、L 组成的部分来说，也是棵树，而且节点 B 为这棵树的根结点。所以称 B、E、F、K、L 这几个结点组成的树为整棵树的子树；同样，结点 E、K、L 构成的也是一棵子树，根结点为 E。
  单个结点也是一棵树，根结点就是它本身。上图中的结点 K、L、F 等都是树，且都是整棵树的子树。
  知道了子树的概念后，树可以这样定义：树是由根结点和若干棵子树构成的。
• 在树结构中， 对于具有同一个根结点的各个子树，相互之间不能有交集。
  例如上图中，除了根结点 A，其余元素又各自构成了三个子树，根结点分别为 B、C、D，这三个子树相互之间没有相同的结点。如果有，就破坏了树的结构，不能算做是一棵树。
• 空树：如果集合本身为空，那么构成的树就被称为空树。 空树中没有结点。

1.2 有序数、无序树

• 如果树中结点的子树从左到右看，谁在左边，谁在右边，是有规定的，这棵树称为 有序树；反之称为 无序树。
  在有序树中，一个结点最左边的子树称为 第一个孩子 ，最右边的称为 最后一个孩子 。
  例如上图中，如果其本身是一棵有序树，则以结点 B 为根结点的子树为整棵树的第一个孩子，以结点 D 为根结点的子树为整棵树的最后一个孩子。

1.3 森林

• 由 m（m >= 0）个互不相交的树组成的集合被称为 森林 。例如上图中，分别以 B、C、D 为根结点的三棵子树就可以称为森林。
• 前面讲到，树可以理解为是由根结点和若干子树构成的，而这若干子树本身是一个森林，所以，树还可以理解为是由根结点和森林组成的。用一个式子表示为：Tree =（root,F），其中，root 表示树的根结点，F 表示由 m（m >= 0）棵树组成的森林。
  除了上图表示树的方法外，还有其他表示方法：

【 2. 结点 】

• 结点：使用树结构存储的每一个数据元素都被称为结点。例如，上图中的数据元素 A 就是一个结点；
• 父结点（双亲结点）、子结点 、兄弟结点：
  对于上图中的结点 A、B、C、D 来说，A 是 B、C、D 结点的父结点（也称为“双亲结点”）；B、C、D 都是 A 结点的子结点（也称“孩子结点”）；
  对于 B、C、D 来说，它们都有相同的父结点，所以它们互为兄弟结点。
• 树根结点（根结点）：每一个非空树都有且只有一个被称为根的结点。上图中的结点 A 就是整棵树的根结点。
  树根的判断依据为： 如果一个结点没有父结点，那么这个结点就是整棵树的根结点 。
• 叶子结点：如果结点没有任何子结点，那么此结点称为叶子结点（叶结点）。例如上图中，结点 K、L、F、G、M、I、J 都是这棵树的叶子结点。

【 3. 度、层次、深度 】

• 对于一个结点， 拥有的子树的数量（结点有多少分支）称为结点的 度（Degree）。例如上图中，根结点 A 下分出了 3 个子树，所以，结点 A 的度为 3。
  一棵树的度 是树内各结点的度的最大值。例如上图中，各个结点的度的最大值为 3，所以，整棵树的度的值是 3。
• 结点的层次：从一棵树的树根开始，树根所在层为第一层，根的孩子结点所在的层为第二层，依次类推。例如上图中，A 结点在第一层，B、C、D 为第二层，E、F、G、H、I、J 在第三层，K、L、M 在第四层。
• 一棵树的 深度（高度）是树中结点所在的最大的层次。例如上图中树的深度为 4。
• 如果两个结点的父结点虽不相同，但是它们的父结点处在同一层次上，那么这两个结点互为 堂兄弟。例如上图中，结点 G 和 E、F、H、I、J 的父结点都在第二层，所以之间为堂兄弟的关系。