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线性代数第二章矩阵及其运算详解_线性代数矩阵运算

线性代数矩阵运算

一.线性方程组和矩阵

1.概念

如图所示,该矩阵称为m行n列矩阵

若行数和列数都等于n,则该矩阵称为n阶方阵

两个矩阵的行数相等,列数也相等,就称它们为同型矩阵

若A=(aij)和B=(bij)是同型矩阵,且aij=bij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n),则称矩阵A与矩阵B相等,记作A=B

2.特殊矩阵

行矩阵:只有一行的矩阵

列矩阵:只有一列的矩阵

零矩阵:元素为0的矩阵

单位矩阵:主对角线上元素为1,其余元素为零的矩阵

对角矩阵:不在主对角线上的元素都为零 A=diag(λ1λ2,...,λn)

3.线性方程组

线性方程组分为非齐次线性方程组齐次线性方程组

非齐次线性方程组,系数矩阵和增广矩阵

齐次线性方程组,系数矩阵

4.线性变换

如图所示,称为从变量xxx到变量yyy的线性变换,它们的关系是一一对应,系数矩阵如图

二.矩阵的运算

1.矩阵的运算

矩阵的加法:A+B=B+A,(A+B)+C=A+(B+C),A-B=A+(-B),只有同型矩阵才能相加减

数与矩阵相乘:(λμ)A =λ(μA),(λ+μ)A=λA+μA,λ(A+B)=λA+λB,一个数乘矩阵要将这个数与该矩阵的每一个元素相乘

矩阵的乘法:C=AB,(AB)C=A(BC),λ(AB)=(λA)B=A(λB),A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA

一般来说,AB=BA不成立,当A的列数与B的行数相等时,才能进行AB运算

A!=O,B!=O,但是AB可能为O

由Ax=0不能推断出x=0

矩阵的转置AT,(AT)T=A,(A+B)T=AT+BT,(λA)T=λAT,(AB)T=BTAT

一般AT!=A,当AT=A时,A为对称矩阵

方阵的行列式:|A|=detA

运算规律:|AT|=|A|,(λA)=λn|A|,|AB|=|A||B|

矩阵是一个数表,而行列式是一个数,方阵才能求行列式

2.特殊矩阵

伴随矩阵:行列式|A|的每一个元素的代数余子式Aij构成的矩阵

A*A=AA*=|A|E,(A*)T=(AT)*,|A*|=|A|n-1

(A*)*=|A|n-2*A,(AB)*=B*A*,(kA)*=kn-1A*

数量矩阵:单位矩阵E与数k相乘所得的矩阵

|kE|=kn
对称矩阵:满足AT=A的矩阵

aij=aji,i,j=1,2,...,n

反称矩阵:满足AT=-A的矩阵

aij=-aji,且aii=0,i,j=1,2,...,n

3.习题

题型一:与矩阵加法相关的问题

证明任何一个n阶方阵都可以表示为一对称矩阵与一反对称矩阵之和

证明:

设A可分解为一对称矩阵B与一反对称矩阵C之和,则A=B+C,且BT=B,CT=-C

所以AT=(B+C)T=BT+CT=B-C

解得B=1/2(A+AT),C=1/2(A-AT)

A=B+C有解,所以原命题成立

题型二:与矩阵乘法相关的问题

|A+AB|=0可以推出|A|=0或者|E+B|=0

注意提出公因式A后,不是1+B,而是E+B

题型三:与矩阵乘法交换性相关的问题

设A,B为n阶方阵,且满足A2=A,B2=B,(A+B)2=(A+B),证明AB=BA=O

思路:在证明AB=BA时,可以先证明AB,BA都等于同一个矩阵,注意在(A+B)2!=A2+2AB+B2

证明:

由于A2=A,B2=B,则有(A+B)2=A2+AB+BA+B2

(A+B)2=(A+B),所以AB+BA=O

用A左乘上式可得A2B+ABA=AB+ABA=O,用A右乘上式可得ABA+BA2=ABA+BA=O,

从而得到AB=-ABA=BA,故有AB=BA=O

题型四:与伴随矩阵相关的问题

涉及伴随矩阵的计算或者证明的问题,常用公式

A*A=AA*=|A|E,(A*)T=(AT)*,|A*|=|A|n-1

(A*)*=|A|n-2*A,(AB)*=B*A*,(kA)*=kn-1A*

题型五:与特殊矩阵相关的问题

涉及证明是否为对称矩阵或非对称矩阵的题,先把原式进行转置,看转置后的式子是否符合对称矩阵或者非对称矩阵的定义

例如:
设A为n阶方阵,证明A-AT不是对称矩阵,对A-AT进行转置,即(A-AT)T=AT-A!=A-AT

故该矩阵不是对称矩阵

题型六:求An的问题

已知α=(1,2,3),β=(1,1/2,1/3),设A=αTβ,其中αT是α的转置,求An

解:

αTβ为一个3*3矩阵,而βαT=3为一个数字

An=(αTβ)(αTβ)...(αTβ)=αT(βαT)(βαT)...(βαT)β=αT(βαT)n-1β=3n-1*AαTβ

解题思路:
求矩阵的高次幂时,经常要用到矩阵乘法的结合律

结论:

1.设α=(a1,a2,...,an),β=(b1,b2,...,bn),且A=αTβ,则An=kn-1A,其中k=a1*b1+a2*b2+...+an*bn

2.A=B+C且BC=CB,则An=(B+C)n

题型七:求方阵的行列式

题型八:代数余子式与A*相关的问题

题型九:关于乘法交换性常用结论的证明

解题时,先设出于任意n阶方阵可交换的方阵,并用Eij这些特殊矩阵与其相乘,设法求出此矩阵应满足的条件

三.逆矩阵

1.逆矩阵

定义

对n阶矩阵A,若有n阶矩阵B使AB=BA=E,则称A可逆,且A-1=B

求法

若AB=E(或BA=E),则B=A-1

若|A|!=0,则A可逆,且A-1=A*/|A|

初等变换法:初等行变换

可逆判定

A是可逆矩阵,则|A|!=0

性质

若A可逆,则A-1,A*也可逆,且(A-1)-1=A,(A*)-1=(A-1)*=A/|A|

若A可逆,数λ!=0,则λA也可逆,且(λA)-1=A-1/λ

若A,B为同阶矩阵且可逆,则AB也可逆,且(AB)-1=B-1A-1

若A可逆,则AT也可逆,且(AT)-1=(A-1)T

2.矩阵的多项式

3.习题

题型一:求一般矩阵的逆矩阵

方法一:利用伴随矩阵求A的逆矩阵

方法二:直接利用定义求解

对于高阶矩阵,方法二烦琐且易出错,通常使用方法一

注意在使用方法一时,要先证明该矩阵可逆,即证明该矩阵行列式不等于0

若遇到求(A*)-1,利用公式AA*=|A|E来直接计算(A*)-1,简化了计算过程,此外,若|A|!=0(证明|A|可逆),

则(A*)-1=(|A|A-1)-1=A/|A|

题型二:求抽象矩阵的逆矩阵

设A为n阶方阵且满足条件A2+A-6E=O.求

1.A-1,(A+E)-1

2.(A+4E)-1

解:

1.由于A2+A-6E=O,所以有A(A+E)=6E,从而A*(A+E)/6=E,所以A可逆,并且A-1=(A+E)/6,同理可得,(A+E)可逆,并且(A+E)-1=A/6

2.由A2+A-6E=O可得(A+4E)(A-3E)+6E=O,可得(A+4E)(A-3E)=-6E,即(A+4E)(A-3E)/-6=E,因而A+4E可逆,并且(A+4E)-1=-(A-3E)/6

解题思路:

解题时,通过矩阵的运算找到一个形如AB=E的等式,利用矩阵的定义得出A-1=B或B-1=A,该解法的关键是等式AB=E的寻找,并结合已知和所求的特点仔细观察

若方阵A可分解成多个可逆矩阵乘积的形式,则A可逆,可通过两边取行列式或直接求用乘积形式表示的逆矩阵来证明

题型三:矩阵可逆性判定

设A,B均为n阶方阵,则必有A或B不可逆,必有AB不可逆

|AB|=|A||B|!=0,必有|A|!=0,|B|!=0

即,若AB可逆,必须要求A,B同时可逆,若AB中有一个不可逆,则AB必定不可逆

设n阶矩阵A和B满足条件A+B=AB,证明A-E为可逆矩阵,其中E是n阶单位矩阵

由A+B=AB可得AB-A-B=O,所以AB-A-B+E=E

从而可得(A-E)(B-E)=E,所以(A-E)可逆

题型四:解矩阵方程

解题思路:先求出A-1,然后代入题目要求的式子中求解

在用到某一个矩阵的逆矩阵时,要先说明其逆矩阵存在的合理性

题型五:矩阵多项式的运用

解题时,先将矩阵方程进行整理,然后把矩阵B用矩阵A和单位矩阵E表示出来,再求B的行列式,注意矩阵与其逆矩阵这两者的行列式的关系

若A是对角矩阵,直接对其矩阵取逆,讲矩阵B用A-1和E表示出来

在化简矩阵方程时,主要利用关系式(AB)T=BTAT

注意使用|A*|=|A|n-1,若一致伴随矩阵,可用伴随矩阵行列式求出原矩阵行列式的值

该结论的证明过程为:

因为|A*||A|=|A*A|=||A|E|=|An|E=|A|n,所以|A*|=|A|n-1

题型六:利用逆矩阵求伴随矩阵

设A是n阶可逆矩阵,证明(A*)*=|A|n-2A,并求|(A*)*|

证明:

有公式AA*=|A|E可得A*(A*)*=|A*|E,所以(A*)*=|A*|(A*)-1

又因为|A*|=|A|n-1和(A*)-1=(A-1)*=A/|A|,所以(A*)*=|A|n-2A

所以|(A*)*|=||A|n-2A|=|A|(n-2)n|A|=|A|(n-2)n+1

求逆矩阵与伴随矩阵的行列式时,通常要用到以下几个公式

1.|AB|=|A||B|

2.AA*=|A|E

3.|A*|=|A|n-1

4.|A-1|=|A|-1

5.|λA|=λn|A|

题型七:利用矩阵求数的关系

四.克拉默法则

1.克拉默法则

2.克拉默法则的应用

线性方程组,若系数行列式D!=0,则有唯一解,若无解或有两个不同的解,则D=0

齐次线性方程组,若系数行列式D!=0,则只有零解,若有非零解,则D=0

3.习题

题型一:应用克拉默法则求方程组的解

题型二:已知线性方程组及其解的情况,求方程组的系数

题型三:讨论行列式与方程组解的关系

五.矩阵分块法

1.分块矩阵

将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵

2.常用分块方法

按行分块

按列分块

对角块矩阵

2*2矩阵

如图所示:

3.分块矩阵的运算规则

分块矩阵的加法

分块矩阵的数乘

分块矩阵的乘法

分块矩阵的转置

分块对角矩阵

分块矩阵的逆矩阵

4.习题

题型一:分块矩阵的运算

加法:将A,B分块后,对应子块分别相加,在对A,B分块时应注意分块后对应的子块应是行数和列数相同的矩阵

乘法:将矩阵A和矩阵B进行适当分块,再利用分块矩阵的乘法进行运算,在进行运算时,要保证A的列与B的行的分法相同

题型二:利用分块矩阵求逆矩阵

对矩阵进行分块时一定要注意观察,分开后各块的逆矩阵应更易求,最好是有对角矩阵存在

题型三:分块矩阵常用结论的证明

本章知识总结

定义:当m=n时,Am*n也称为n阶矩阵

运算:

矩阵的加法:A+B

数与矩阵相乘:λA

矩阵的乘法:AB

矩阵的转置:AT

方阵的行列式:|A|

逆矩阵A-1

求逆矩阵

A可逆==|A|

证明矩阵可逆

特殊矩阵:

零矩阵O

对角矩阵A

单位矩阵E

对称矩阵AT=A

反对称矩阵AT=-A

克拉默法则

分块矩阵

1.关于矩阵运算的小结

矩阵相加时,两矩阵必须是同型矩阵才能相加,而矩阵的乘法运算更特殊,要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数,并且矩阵的乘法通常不满足交换律,而且若A!=O,A!=O,则有AB=O

2.关于分块矩阵的小结

高阶矩阵运算时分块更有利于计算,分成一些低阶子矩阵后再作运算会大大简化计算,矩阵在分块时尽量使子块称为对角矩阵、零矩阵或者特殊矩阵,并且两高阶矩阵运算时,要使两矩阵分块后的子块符合矩阵的运算规则

3.关于求逆矩阵的小结

求逆矩阵的方法主要有伴随矩阵法、定义法、分块矩阵法,伴随矩阵求逆矩阵主要利用公式A-1=A*/|A|,定义法是先设出矩阵A的逆矩阵B,利用等式AB=BA=E,求出B,分块矩阵法主要用于求高阶矩阵的逆矩阵

4.关于求矩阵方程的小结

常见的矩阵方程有一下形式:

AX=C

XB=C

AXB=C

若AB可逆,方程的解围X=A-1C,X=CB-1,X=A-1CB-1

5.关于克拉默法则的小结

克拉默法则是线性方程组求解的基础,它提供了线性方程组是否有解的判定标准,并给出了求解的方法,用克拉默法则求解方程组是进行行列式的计算

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