薄板样条插值---Thin plate spline (TPS)_tps薄板样条插值

薄板样条插值—Thin plate spline (TPS)

由于研究内容原因，最近在研究空间数据插值方法，TPS作为一种非常鲁棒的空间数据插值方法，由Duchon等人[1]引入几何设计。

• 简而言之，薄板样跳插值（TPS）是基于样条线的数据插值和平滑技术。
• 另外TPS具有明确的物理意义，描述了类似金属薄片的刚性变换，例如：给定n个控制点{Ci},i=1,2.,…,n，找到一个穿过所有控制点的“最小弯曲”平滑表面。TPS的3个控制点是一个平面，大于3的通常是曲面，小于3的不确定。
• TPS的的平滑度量，由一个能量函数定义：
  
  其中，{xi},{yi},i=1,2,…,n是对应点对，f(.)是一个映射函数，λ是一个刚性控制系数，等式右端积分：考虑二阶导数平方的积分的，将平面坐标离散化分为x1,x2，涉及变分问题的有限元离散化，主要是为了将平滑度与最优拟合解之间达到平衡态。

公式

给定p 个3D控制点，

其中Ci(xi,yi,zi),i=1,2,…,n为控制点坐标.
再给定正则化参数λ，求解未知的TPS权重w和线性方程组中的a

其中K，P和O是子矩阵，w，a，v和 o是列向量，由下式给出：

然后，一旦知道w和a的值，就可以从以下位置对z插值任意点 （x，y）：

TPS的弯曲能量（标量）由下式给出：

样条插值示例

编程实现基于网格的TPS插值，可以看出其平滑度较好

未来工作

• 用来对DEM进行插值
• 对比克里金插值、反距离权重(IDW)、最近邻插值的效果

[1] J. Duchon, 1976, Splines minimizing rotation invariant semi-norms in Sobolev spaces. pp 85–100, In: Constructive Theory of Functions of Several Variables, Oberwolfach 1976, W. Schempp and K. Zeller, eds., Lecture Notes in Math., Vol. 571, Springer, Berlin, 1977. doi:10.1007/BFb0086566