《数据结构与算法Python语言描述》裘宗燕 笔记 第三章 线性表_数据结构与算法裘宗燕答案

 

《数据结构与算法Python语言描述》裘宗燕 笔记系列
该系列笔记结合PPT的内容整理的，方便以后复习，有需要的朋友可以看一下。

源码重新整理了

 

地址：https://github.com/StarsAaron/DS/tree/master

要理解数据结构处理的问题，需要对计算机内存、存储管理方面重要基本问题有一些了解。

线性表是一种元素集合，其中还记录着元素间的一种顺序关系

 

作为一种包含元素（可以没有，也可以有许多）的数据结构，通常都需要提供一些“标准”操作，例如：

（1）创建和销毁这种数据结构（的实例）

（2）判断一个数据结构是否空（没有元素）。如果数据结构的容量有限制，还需判断它是否满（不能再加入新元素）

（3）向结构中加入元素或从中删除元素

（4）访问结构里的元素

 

两种实现线性表的方式：顺序表和链接表

 

顺序表的基本实现方式

（1）元素顺序存放在一片足够大的连续存储区里。表中首元素存入存储区开始的位置，其余元素依次顺序存放

（2）通过元素在存储区里的“物理位置”表示元素之间的逻辑顺序关系（隐式表示元素间的关系）

 

元素大小通常可以静态确定（如元素是整数，实数，或包含若干大小确定的元素的复杂结构）

基于各方面考虑，人们提出了两种基本实现模型

（1）将表元素顺序存放在的一大块连续的存储区里，这样实现的表也称为顺序表（或连续表），元素顺序有自然的表示

（2）将表元素存放在通过链接构造起来的一系列存储块里（链接表）

 

一些操作的复杂性是常量 O(1)。现在特别考虑定位加入和删除操作的复杂性（首端加入删除是它们的特例）

在 n 个元素的顺序表里下标 i 处加入元素，需要移动 n - i 个元素；删除下标为 i 的元素需要移动 n - i - 1个元素

设在位置 i 加入和删除元素的概率分别是 pi 和 pi’

加入操作平均移动次数 

删除操作平均移动次数

考虑平均复杂性时要考虑实例分布，依赖于实际情况

如果各种情况平均分布，要维持顺序，平均时间复杂性是 O(n) 坏情况是首端加入/删除，要求维持顺序时复杂性也是 O(n)

 

访问操作

(1)不需要扫描表的操作，复杂性都是 O(1)

(2)扫描表内容操作复杂性 O(n)。如根据元素值检索，累计元素值等

 

顺序实现（顺序表）总结

优点：

(1) O(1) 时间（随机，直接）按位置存取元素

(2) 元素存储紧凑，除表元素存储外只需 O(1) 空间存放辅助信息

 

顺序表的模型包括两部分内容

(1) 一个元素存储区，存放表中的实际元素

(2) 若干单元，存放一个表的全局信息（容量，表元素个数）

 

一个数据结构应该具有一个对象的整体形态。对顺序表，就是要把这两块信息组织关联起来。表的全局信息只需常量存储，存在两种组织方式

一体式实现:

分离式实现:通过链接联系

缺点： 

(1) 需要连续的大块存储区存放表中的元素，可能有大量空闲单元 

(2) 加入删除操作时通常要移动许多元素

(3) 需要考虑元素存储区的大小（有时事先很难估计）

 

链接表：单链表，双链表

实现线性表的另一方式是基于链接结构，用链接显式地表示元素之间的顺序关联。基于链接技术实现的线性表称为链接表或链表

 

实现链接表的基本想法：把表元素分别存储在一批独立的存储块（称为结点）里

   o 保证从一个元素的结点可找到与其相关的下一个元素的结点

   o 在结点里用链接的方式显式记录元素（结点）之间的关联

 

这样，只要知道表中第一个结点，就能顺序找到表里其他元素

 

链接表有多种不同的组织方式。

 

单链表（下面简称链表）结点的形式（链接域保存下一结点的标识）

在单链表里，与表里的 n 个元素对应的 n 个结点通过链接形成一条结点链。从表里的任一个结点都可以找到保存下一个元素的结点

 

基本操作：

创建空表： O(1)

删除表：在 Python 里是 O(1)。当然存储管理也需要时间

判断空表： O(1)

 

加入元素（都需要加一个 T(分配) 的时间）：

首端加入元素： O(1)

尾端加入元素： O(n)，因为需要找到表的最后结点

定位加入元素： O(n)，平均情况和最坏情况

删除元素：

首端删除元素： O(1)；尾端删除： O(n)

定位删除元素： O(n)，平均情况和最坏情况

其他删除通常需要扫描整个表或其一部分， O(n) 操作

其他操作，如果需要扫描整个表或其一部分，都是 O(n) 操作。如

求表的长度（表中元素个数）

定位表中的元素；等等

 

一类典型的表操作是扫描整个表，对表中每个元素做同样的工作（即遍历操作）。例如，输出所有的元素值，将它们累积到一个变量里等。

这种工作可以通过一个循环完成

遍历操作的复杂性应该是 O(n) * T(元素操作)

 

循环单链表

单链表只能支持首端元素加入/删除和尾端加入的 O(1) 实现，如果希望高效实现两端的加入/删除，就必须修改结点的设计

结点间双向链接不仅支持两端的高效操作，一般结点操作也更方便

 

class LCList:  # class of Circular Linked List
    def __init__(self):
        self.rear = None   # 表对象只有一个 rear 域
    def isEmpty(self):
        return self.rear is None
    def prepend(self, elem):  # add element in the front end
        p = LNode(elem, None)
        if self.rear is None:
            p.next = p  # 表中第一个结点建立初始的循环链接
            self.rear = p
        else:
            p.next = self.rear.next  # 链在尾结点之后，就是新的首结点
            self.rear.next = p
    def append(self, elem):  # add element in the rear end
        self.prepend(elem)  # 直接调用前段加入操作
        self.rear = self.rear.next  # 修改 rear 使之指向新的尾结点
    def pop(self):  # pop out head element
        if self.rear is None:
            raise ValueError
        p = self.rear.next
        if self.rear is p:  # rear 等于其 next，说明表中只有一个结点
            self.rear = None  # 弹出唯一结点后 rear 置空
        else:
            self.rear.next = p.next  #一般情况，删去一个结点
        return p.elem
    # 简单输出所有元素的方法
    def printall(self):
        p = self.rear.next
        while True:
            print(p.elem)
            if p is self.rear:
                break
            p = p.next

 

支持首尾端高效操作的双向链接表（双链表）结构：

从任一结点出发，可以直接找到前后的相邻结点。而对单链表，找后面一个结点很方便，而找前一结点就必须从表头开始逐一检查

每个结点需要增加了一个前向引用域，指向前一结点（存储开销），与前面一样，增加了尾结点引用，才能实现高效的尾端操作

 

# 定义一个新结点类
class LDNode(LNode):  # class of Double Linked Nodes
    def __init__(self, prev, elem, nxt):
        LNode.__init__(self, elem, nxt)
        self.prev = prev  # 扩充了一个前一结点指针
# 双链表
class LDList(LList1):  # class of Double Linked List
    def __init__(self):
        LList1.__init__(self)  # 基于带尾结点引用的单链表派生一个双链表类
    # 加入元素的一对操作
    def prepend(self, elem):
        p = LDNode(None, elem, self.head)
        self.head = p
        if self.rear is None:  # insert in empty list
            self.rear = p
        else:  # otherwise, create the prev reference
            p.next.prev = p
    # 加入元素的一对操作
    def append(self, elem):  # 与 prepend 对称
        p = LDNode(self.rear, elem, None)
        self.rear = p
        if self.head is None:  # insert in empty list
            self.head = p
        else:  # otherwise, create the next reference
            p.prev.next = p
    # 弹出（删除）元素
    def pop(self):
        if self.head is None:
            raise ValueError
        e = self.head.elem
        self.head = self.head.next  # 删除当前首结点
        if self.head is None:
            self.rear = None  # 如果删除后表空，把 rear 也置空
        else:
            self.head.prev = None  # 首结点的 prev 链接置空
        return e
    # 与 pop 对称
    def poplast(self):
        if self.head is None:
            raise ValueError
        e = self.rear.elem
        self.rear = self.rear.prev
        if self.rear is None:
            self.head = None  # 删除后表空，把 head 也置空
        else:
            self.rear.next = None
        return e

 

循环双链表

 

让表尾节点的next域指向表首节点，让表首节点的prev域指向尾节点。

首尾两端的元素加入/删除操作O(1)复杂度

链表元素反转

反转一个表顺序的元素，算法通常用两个下标，逐对交换元素位置

- 在双链表上很容易采用该方法实现表元素反转，留作个人练习

- 在单链表上也可以实现，但单链表不支持从后向前找结点，只能每次从头开始找，算法需要 O(n2) 时间。自己想想有别的办法吗？

 

注意：对顺序表，修改表元素顺序的方法只有一种：在表中搬动元素；而对链表却有两种方法：在结点之间搬动元素，或修改链接关系

- 在单链表里通过搬元素方式实现元素反转，不方便，且效率低

- 下面考虑基于修改链接的方法，看看有什么可能性

 

首先：表前端加入和删除元素或结点是最方便的操作， O(1)

- 如果不断在前端加入结点，最早放进去的结点在最后（是尾结点）

- 从表的前端取下结点，最后取下的是尾结点

- 结合这两个过程，很容易做出一个高效的反转算法

 

def rev(self):
    p = None
    while self.head is not None:
        q = self.head
        self.head = q.next  # 摘先原来的首结点
        q.next = p
        p = q  # 将刚摘下的结点加入 p 引用的结点序列
    self.head = p  # 反转后的结点序列已经做好，重置表头链接

 

链表元素排序

把一组物品按顺序排列是在真实世界里经常需要做的工作

- 数据处理中也经常需要将数据排序

- 如 lst 的值是 list 对象， lst.sort() 完成 lst 对象中元素的排序工作；

sorted(lst) 生成一个新表，其元素是 lst 元素的排序结果

 

用链接表存储数据，也常需要考虑其中元素的排序问题

- 排序是重要的数据处理问题，人们提出了许多算法（后面考虑）

- 下面考虑一种简单的排序算法：插入排序

 

插入排序的基本想法：

- 操作中维护一个排好序的片段，初始时该段只包含一个元素

- 每次从未排序部分取出一个元素，加入已排序片段中正确位置，保持该片段的正确排序状态；所有元素都加入排序片段时工作完成

- 通常在表的前部积累排好序的片段

 

一个对 list 的元素排序的函数

 

def listSort(lst):
    for i in range(1, len(lst)):  # seg [0:0] is sorted
        x = lst[i]
        j = i
        while j > 0 and lst[j - 1] > x:  # moving one by one
            lst[j] = lst[j - 1]  # in reversed-order
            j -= 1
        lst[j] = x

 

 

单链表排序

下面考虑单链表元素的排序

- 注意：只有 next 链接，不能从后向前找结点（找元素）

- 存在完成排序的两种可能做法：移动元素，或调整链接

- 下面分别考虑采用这两种技术实现的算法

 

先考虑基于移动元素的单链表排序

注意，为有效实现，算法中只能按从头到尾的方向检查和处理，做法仍然是每次拿出一个元素，在已排序序列中找到正确位置插入

 

def sortm(self):
    if self.head is None:
        return
    crt = self.head.next  # 从首结点之后开始处理
    while crt is not None:
        x, p = crt.elem, self.head
        while p is not crt and p.elem <= x:   # 跳过小元素
            p = p.next
        while p is not crt:   # 倒换大元素，完成元素插入的工作
            y = p.elem
            p.elem = x
            x = y
            p = p.next
        crt.elem = x  # 最后的回填
        crt = crt.next

 

 

通过调整链接关系完成排序工作

基本的处理模式与前一算法类似，但这里不在结点之间移动表元素，而是把被处理结点取下来接到正确位置，逐步完成排序工作

 

# 通过调整链接关系完成排序
def sort(self):
    if self.head is None:
        return
    last = self.head  # 初始，排序段只有一个结点
    crt = last.next
    while crt is not None:  # 循环，一次处理一个结点
        p = self.head
        q = None  # 设置扫描指针初值
        while p is not crt and p.elem <= crt.elem:
            q = p
            p = p.next  # 顺序更新两个扫描指针
        if p is crt:  # p 是 crt 时不用修改链接，设置 last 到下一结点 crt
            last = crt
        else:
            last.next = crt.next  # 取下当前结点
            crt.next = p # 接好后链接
            if q is None:
                self.head = crt   # 作为新的首结点
            else:
                q.next = crt  # 或者接在表中间
        crt = last.next  # 无论什么情况， crt 总是 last 的下一结点
    # end of class LList

 

实例： Josephus问题

问题：设有 n 个人围坐一圈，现在从第 k 个人开始报数，报到第 m 的人退出。然后继续报数，直至所有人退出。输出出列人顺序编号

 

下面考察基于几种想法和数据结构的解决方法

 

方法1：Josephus问题：数组算法

基于 Python list 和固定大小的“数组”

- 初始：建立一个包含 n 个人（的编号）的 list

- 找到第 k 个人，从那里开始，处理过程中，通过把相应表元素修改为 0 表示人已不在位

- 反复做：

    o 数 m 个（尚在坐的）人

    o 把表示第 m 个人的元素修改为 0

    注意：数到 list 最后元素之后转到下标为 0 的元素继续

 

def JosephusA(n, k, m):
    people = list(range(1, n + 1))
    num, i = 0, k - 1
    for num in range(n):
        count = 0
        while count < m:
            if people[i] > 0:
                count += 1
            if count == m:
                print(people[i], end="")
                people[i] = 0
            i = (i + 1) % n
        if num < n - 1:
            print(", ", end="")
        else:
            print("")
    return

 

这里的主要麻烦是表下标的计数和元素计数脱节

复杂度不容易分析，内循环的总迭代次数是i加1，与m和n有关，m影响找到下一个元素得到操作步数。

 

方法2：Josephus问题：连续表算法

现在考虑另一算法：将保存人员编号的 list 按照表的方式处理

-  算出应该退出的人之后，将其从表里删除

-  计算过程中表越来越短，用 num 表示表的长度，每退出一人，表长度 num 减一

-  至表长度为 0 时工作结束

 

由于表里全是有效元素

-  元素计数与下标计数统一了

-  下标更新可以用 i = (i + m - 1) % num 统一描述

 

def JosephusL(n, k, m):
    people = list(range(1, n + 1))
    if k < 1 or k > n:
        raise ValueError
    num, i = n, k - 1
    for num in range(n, 0, -1):
        i = (i + m - 1) % num
        print(people.pop(i), end="")
        if num > 1:
            print(", ", end="")
        else:
            print("")
    return

 

貌似线性时间算法，但不是

- pop 操作需要线性时间 O(n)

- 算法复杂性是 O(n^2)

 

方法3：Josephus问题：循环链表算法

考虑基于循环单链表实现一个算法

- 从形式看，循环单链表很好地表现了围坐一圈的人

- 顺序地数人头，可以自然地反映为在循环表中沿 next 链扫描

- 一个人退出，可以用删除相应结点的操作模拟。这样做之后，就可以沿着原方向继续数人头

 

算法应分为两个阶段：

- 建立包含指定个数（和内容）的结点的循环单链表，可以通过从空表出发逐个在尾部加入元素的方式完成

- 循环计数，并删去需要退出的结点

 

具体实现可以有多种方式，例如：为原循环单链表增加一个循环数数的函数，然后写一段程序建立所需的循环单链表，并完成操作

 

下面实现基于循环单链表类，派生出一个专门的类，用其初始化方法完成全部工作

 

class Josephus(LCList):
    def turn(self, m):
        for i in range(m):
            self.rear = self.rear.next
    def __init__(self, n, k, m):
        LCList.__init__(self)
        for i in range(n):
            self.append(i + 1)
        self.turn(k - 1)
        while not self.isEmpty():
            self.turn(m - 1)
            print(self.pop(), end="")
            if not self.isEmpty():
                print(", ", end="")
            else:
                print("")

 

这里采用另一种实现方法

- 从 LCList 派生出一个类

- 用这个类的初始化函数完成所有工作

 

派生类 Josephus 增加了新方法 turn，它将循环表对象的 rear 指针沿 next 移 m 步

初始化函数调用基类 LCList的初始化函数建立一个空表

第一个循环建立包含 n 个结点的循环表,复杂度为O(n)

最后的循环逐个弹出结点并输出结点里保存的编号，移动m位置复杂度为O(1)

 

算法复杂性 O(m*n)

 

链接表：优点和缺点

优点：

- 表结构是通过一些链接起来的结点形成的，结构很容易调整修改

- 不修改结点里的数据元素，只通过修改链接，就能灵活地修改表的结构和内容。如加入/删除一个或多个元素，翻转整个表，重排元素的顺序，将一个表分解为两个或多个等

- 整个表由一些小存储块构成，较容易安排和管理（不是我们的事）

 

缺点，一些操作的开销大：

- 基于位置找到表中元素需要线性时间

- 尾端操作需要线性时间（增加尾指针可以将尾端加入元素变为常量操作，但仍不能有效实现尾端删除）

- 找当前元素的前一元素需要从头扫描表元素（双链表可以解决这个问题，但每个结点要付出更多存储代价），应尽量避免

 

每个元素增加了一个链接域（存储代价），双链表增加两个链接域