python一个总体参数的区间估计（总体均值）_一家保险公司收到36人投保人组成的随机样本，已知样本均值39.5

正态总体，$\sigma$已知

公式：

$\bar{x}\pm z_{a/2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$

例:

一家食品生产企业以生产袋装食品为主，每天的唱片大约为8000袋。按规定每袋的重量应为100克。为对产品重量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求，现从某天生产的一批食品中随机抽取25袋，测得每袋重量如下：

import pandas as pd
import numpy as np
import scipy as sp
from scipy import stats

lst = [112.5,102.6,100,116.6,136.8,101,107.5,123.5,95.4,102.8,103,95,102,97.8,101.5,102,108.8,101.6,108.6,98.4,100.5,115.6,102.2,105,93.3]
data = pd.Series(lst)

1
2
3
4
5
6
7
8

已知产品重量服从正态分布，且总体标准差为10克，试估计该天产品平均重量的置信区间，置信水平为95%

# 已知 标准差sigma=10，样本量 n = 25, 置信水平 1-a=95%
sigma = 10
n = 25
a = 0.05
# 均值 x_bar = data.mean()

x_bar = data.mean()
1
2
3
4
5
6
7

计算$z_{a/2}$

z_a2 = stats.norm.isf(a/2)
z_a2

1.9599639845400545
1
2
3
4
5
6

带入公式计算：

left = x_bar - z_a2*(sigma/np.sqrt(n))
right = x_bar + z_a2*(sigma/np.sqrt(n))

left,right
1
2
3
4

(101.44007203091988, 109.27992796908009)

print('该批食品平均重量95%的置信区间为（{:.3f}，{:.3f}）'.format(left,right))
1

该批食品平均重量95%的置信区间为（101.440，109.280）

正态总体，$\sigma$未知

公式：

$\bar{x}\pm z_{a/2}\frac{s}{\sqrt{n}}$

例

一家保险公司收集到由36位投保人组成的随机样本，得到每位投保人的年龄数据如下：

lst = [23,36,42,34,39,34,35,42,53,28,49,39,39,46,45,39,38,45,27,43,54,36,34,48,36,31,47,44,48,45,44,33,24,40,50,32]
data = pd.Series(lst)
1
2

设建立投保人平均年龄的90%的置信区间

# 已知 样本量 n = 36, 置信水平 1-a=90%
sigma = 10
n = 36
a = 0.1
# 均值 x_bar = data.mean()

# 样本均值
x_bar = data.mean()

# 样本标准差 s
sigma = data.std()

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

计算$z_{a/2}$

z_a2 = stats.norm.isf(a/2)
z_a2
1
2

1.6448536269514729

left = x_bar - z_a2*(sigma/np.sqrt(n))
right = x_bar + z_a2*(sigma/np.sqrt(n))

left,right
1
2
3
4

投保人平均年龄的90%的置信区间为（37.369，41.631）

正态总体，$\sigma$未知，小样本

公式：

$\bar{x}\pm t_{a/2}\frac{s}{\sqrt{n}}$

例

已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16个，测得其使用寿命如下：

lst = [1510,1480,1450,1510,1480,1530,1460,1470,1520,1500,1480,1520,1490,1510,1460,1470]
data = pd.Series(lst)
1
2

试建立该灯泡平均使用寿命的95%的置信区间。

#置信度
a = 0.05
# 样本均值
x_bar = data.mean()

# 样本标准差
sigma = data.std()
# 样本量
n = 16

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

计算$t_{a/2}$

t_a2 = stats.t.isf(a/2,n-1)
t_a2
1
2

2.131449545559323

left = x_bar - t_a2*(sigma/np.sqrt(n))
right = x_bar + t_a2*(sigma/np.sqrt(n))

left,right
1
2
3
4

(1476.8033606044887, 1503.1966393955113)

print('该种灯泡平均使用寿命的95%的置信区间为（{:.3f}，{:.3f}）'.format(left,right))
1

该种灯泡平均使用寿命的95%的置信区间为（1476.803，1503.197）