数据结构--知识点16--搜索算法(二叉树)_将英文字母按序储存在二叉树中。请设计一个针对上述数据结构的搜索算法,完成在指

一、树的概念

树是一种抽象数据类型(ADT)或是视作这种抽象数据类型的数据结构

1、特点

• 每个节点有零个或多个子节点
• 没有父节点的节点称为根节点
• 每一个非根节点有且只有一个父节点
• 除了根节点外，每个子节点可以分为**多个不相交(因为都只有一个父节点)**的子树

2、树的术语

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度
• 叶节点或终端节点：度为零的节点
• 父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点
• 节点的层次：从根节点开始定义，根为第一层，根的子节点为第二层，以此类推
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次
• 堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有结点
• 子孙：以某节点为根的子树中任一结点都称为该节点的子孙
• 森林：由m(m>=0)棵互不相交的树的集合称为森林

3、树的种类

• 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树
• 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树
  • 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树
    • 完全二叉树：对于一颗二叉树，假设其深度为d(d>1).除了第d层外，其他各层的节点数目均已达到最大值，且第d层所有节点从左向右连续的紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树，其中满二叉树的定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树
    • 平衡二叉树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树
    • 排序二叉树（二叉查找树，也称二叉搜索树、有序二叉树）：
  • 霍夫曼树（用于信息编码）：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树
  • B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多余两个子树

4、树的存储与表示

顺序存储：将数据结构存储在固定的数组中，在遍历速度上有一定的优势，但因所占空间比较大，是非主流二叉树。二叉树通常以链式存储

链式存储：可以存储，但是子节点个数无法掌握，因此通常把多叉树转换为二叉树，子节点个数最多为2

5、常见的树的应用场景

1. xml,html等
   
2. 路由协议使用了树的算法
3. MySQL数据库索引
4. 文件系统的目录结构
5. 很多经典的AI算法，机器学习中的decision tree

二、二叉树

1、概念

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构，通常子树被称作‘左子树’和‘右子树’

2、性质

1. 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个节点，i>0
2. 深度为k的二叉树至多有2^k-1个节点，k>0
3. 对于任意一棵二叉树，如果其叶节点树为N0，而度数为2的节点总数为N2，则N0=N2+1
4. 具有n个节点的完全二叉树的深度必为log2(n+1)
5. 对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i的节点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i+1，其双亲的编号必为i/2(i=1时为根，除外)

3、python实现二叉树的构建

# 定义节点
class Node(object):
    def __init__(self,item):
        self.elem=item
        self.lchild=Node
        self.rchild=Node
# 构建树
class Tree(object):
    # 二叉树
    def __init__(self):
        self.root=None
    def add(self,item):
        node=Node(item)
        if self.root is None:
            self.root=node
            return
        # 因为要将新节点插入树中，树上的元素可以按照队列的方式操作，
        # 那么就在树中构建一个队列，先遍历元素，然后再将元素放入队列，再进行元素的添加删除等
        # 通过队列的方式查找新节点应该放在哪里
        # queue=[] queue.append(self.root)
        # 先将根节点放入队列中
        queue=[self.root]
        # 每次取出的元素都进行相同的操作，直到队列中无元素
        # 这里使用列表的逻辑值判断，若为空返回False,只要有元素就返回True,即使是None
        while queue:
            # 创建一个游标从根节点开始遍历,此时队列中只有一个刚放进去的根节点，因此弹出的就是根节点
            cur_node=queue.pop(0)
            # 判断是否为空，为空时将新的元素挂到树上
            if cur_node.lchild is None:
                cur_node.lchild=node
                return  # 这里必须加，否则没有返回值
            else:
                # 不为空时，将此时左子树的元素放入队列
                queue.append(cur_node.lchild)
            if cur_node.rchild is None:
                cur_node.rchild=node
                return
            else:
                queue.append(cur_node.rchild)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38

4、二叉树的广度遍历

广度遍历（层次遍历）为从根节点，从上到下，从左到右进行遍历

def breath_travel(self):
    """广度遍历"""
    if self.root is None:
        return
    queue=[self.root]
    while queue:
        cur_node=queue.pop(0)
        print(cur_node.elem)
        if cur_node.lchild is not None:
            queue.append(cur_node.lchild)
        if cur_node.rchild is not None:
            queue.append(cur_node.rchild)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

使用队列添加和遍历元素，所以元素的输出和输入特点是先进先出
测试及结果：

if __name__ == '__main__':
    tree=Tree()
    tree.add(1)
    tree.add(2)
    tree.add(3)
    tree.add(4)
    tree.add(5)
    tree.breath_travel()
1
2
3
4
5
6
7

1
2
3
4
5
1
2
3
4

5、深度优先搜索

深度优先搜索是沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深的搜索树的分支。
三种访问树的节点的方式：

• 先序遍历：根左右；先访问根节点，然后递归使用先序遍历访问左子树，再递归使用先序遍历访问右子树
• 中序遍历：左根右；递归使用中序遍历访问左子树、根节点、右子树
• 后序遍历：左右根；递归使用后序遍历访问左子树、右子树、根节点

def preoder(self,node):
    """先序遍历：根左右"""
    if node is None:
        return
    print(node.elem,end=' ')
    self.preoder(node.lchild)
    self.preoder(node.rchild)

def midorder(self,node):
    """中序遍历，左根右"""
    if node is None:
        return
    self.midorder(node.lchild)
    print(node.elem, end=' ')
    self.midorder(node.rchild)

def behind(self,node):
    """后序遍历；左右根"""
    if node is None:
        return
    self.behind(node.lchild)
    self.behind(node.rchild)
    print(node.elem,end=' ')

if __name__ == '__main__':
    tree=Tree()
    tree.add(0)
    tree.add(1)
    tree.add(2)
    tree.add(3)
    tree.add(4)
    tree.add(5)
    tree.add(6)
    tree.add(7)
    tree.add(8)
    tree.add(9)
    tree.breath_travel()
    # 由于使用队列添加和遍历元素，所以是先进先出
    print(' ')
    tree.preoder(tree.root)
    print(' ')
    tree.midorder(tree.root)
    print(' ')
    tree.behind(tree.root)
    print(' ')
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44

结果：

0 1 3 7 8 4 9 2 5 6  
7 3 8 1 9 4 0 5 2 6  
7 8 3 9 4 1 5 6 2 0  
1
2
3

6、由遍历确定一棵树

给出遍历序列，确定树的结构

• 首先给出的序列，依据先序(根左右)、中序(左根右)、后序(左右根)的原则，找出根；
• 然后分出左右子树，再在此基础上，使用同样的方法；
• 分别找出左右子树的根，再继续向下找；
• 以此类推确定树；