交叉熵信息学解释及其在机器学习中的应用_交叉熵对称吗

交叉熵是机器学习、深度学习中非常常用的损失函数。本文梳理整合了关于交叉熵的比较好的解释资料。

交叉熵的基本定义

首先给出交叉熵的维基百科定义：

交叉熵与相对熵（KL散度）

相对熵又称为KL散度（Kullback-Leibler Divergence），用来衡量两个分布之间的距离，记为：
$$D_{KL}=（p||q）$$

这里H( p )是p的熵。
假设有两个分布p和q，它们在给定样本集上的交叉熵定义为：

从这里可以看出，交叉熵和相对熵相差了H( p )，而当p已知的时候，H( p )是个常数，所以交叉熵和相对熵在这里是等价的，反映了分布p和q之间的相似程度。

交叉熵的信息学解释

一句话概括的话，交叉熵描述了两个不同的概率分布p和q的差异程度。 交叉熵是不对称的，也就是说Hp( q ) 不等于 Hq( p )。两个分布差异越大，则两个交叉熵的差异越大。
关于交叉熵的信息学理解，下面这篇博客解释的很好，通俗易懂：
看得见的信息论-为什么用交叉熵作为逻辑回归的代价函数

交叉熵损失函数（机器学习/深度学习应用）

交叉熵来自香农的信息论，简单来说，交叉熵是用来衡量在给定的真实分布p(k)下，使用非真实分布q(k)所指定的策略 f(x) 消除系统的不确定性所需要付出的努力的大小。交叉熵的越低说明这个策略越好，我们总是minimize交叉熵，因为交叉熵越小，就证明算法所产生的策略越接近最优策略，也就间接证明我们的算法所计算出的非真实分布越接近真实分布。交叉熵损失函数从信息论的角度来说，其实来自于KL散度。

Cross Entropy Error Function（交叉熵损失函数）

二分类

在二分的情况下，模型最后需要预测的结果只有两种情况，对于每个类别我们的预测得到的概率为p和1-p。此时表达式为：

其中：

• y——表示样本的label，正类为1，负类为0
• p——表示样本预测为正的概率
  多分类
  多分类的情况实际上就是对二分类的扩展：

其中：

• M——类别的数量；
• y——指示变量（0或1）,如果该类别和样本的类别相同就是1，否则是0；
• p——对于观测样本属于类别c的预测概率。

这个表达式其实就是逻辑回归的损失函数，逻辑回归的损失函数就是交叉熵函数。

多分类

多分类的情况实际上就是对二分类的扩展：

其中：

• M——类别的数量；
• y——指示变量（0或1）,如果该类别和样本的类别相同就是1，否则是0；
• p——对于观测样本属于类别c的预测概率。

pytorch中关于交叉熵损失函数的描述

pytorch 中的交叉熵其实已经集成了softmax计算，所以我们的输出不需再手动添加softmax层。pytorch的交叉熵函数中允许我们对不同的类别给予不同的权重。

参考资料：
1.维基百科
2.Softmax函数与交叉熵
3.看得见的信息论-为什么用交叉熵作为逻辑回归的代价函数
4.损失函数——交叉熵损失函数
5.pytorch官网-交叉熵