矩阵空间&秩1矩阵&小世界图

1. 矩阵空间

我们以3X3的矩阵空间 M 为例来说明相关情况。目前矩阵空间M中只关心两类计算，矩阵加法和矩阵数乘。

• 对称矩阵-子空间-有6个3X3的对称矩阵，所以为6维矩阵空间
• 上三角矩阵-子空间-有6个3X3的上三角矩阵，所以为6维矩阵空间
  矩阵M的基础基有9个，表示如下
  $$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ & & \\ 0& 0& 0\\ & & \\ 0& 0& 0\\ & & \end{array}\right];\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ & & \\ 0& 0& 0\\ & & \\ 0& 0& 0\\ & & \end{array}\right];\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ & & \\ 0& 0& 0\\ & & \\ 0& 0& 0\\ & & \end{array}\right];\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ & & \\ 1& 0& 0\\ & & \\ 0& 0& 0\\ & & \end{array}\right];\text{\hspace{1em}(1)}$$
  $$\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ & & \\ 0& 1& 0\\ & & \\ 0& 0& 0\\ & & \end{array}\right];\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ & & \\ 0& 0& 1\\ & & \\ 0& 0& 0\\ & & \end{array}\right];\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ & & \\ 0& 0& 0\\ & & \\ 1& 0& 0\\ & & \end{array}\right];\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ & & \\ 0& 0& 0\\ & & \\ 0& 1& 0\\ & & \end{array}\right];\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ & & \\ 0& 0& 0\\ & & \\ 0& 0& 1\\ & & \end{array}\right];\text{\hspace{1em}(2)}$$

2. 微分方程

• 假设我们有如下微分方程：
  $$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+y=0\text{\hspace{1em}(3)}$$
• 零空间解表示如下：
  $$y_1=\sin (x);y_2=\cos (x)\text{\hspace{1em}(4)}$$
• 通解表示如下：
  $$y=c_1\sin (x)+c_2\cos (x)\text{\hspace{1em}(5)}$$
  以上可以用$\sin (x)$和$\cos (x)$当做解来表示解空间，所以微分方程的解空间为2.

3. 秩为1的矩阵

假设我们有一个秩为1的矩阵A ，表示如下：
A = [ 1 4 5 2 8 10 ] = [ 1 2 ] 2 × 1 [ 1 4 5 ] 1 × 3 (6) A=

$$\begin{bmatrix}1&4&5\\\\2&8&10\end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix}1\\\\2\end{bmatrix}$$ _{2\times1} $$\begin{bmatrix}1&4&5\end{bmatrix}$$ _{1\times3}\tag{6} A= ​12​48​510​ ​= ​12​ ​2×1​[1​4​5​]1×3​(6)

• 所有的秩为1的矩阵均可以分解为列向量乘以行向量。
• 小结：
  我们可以通过组合秩为1的矩阵来构造我们想要的秩的矩阵。

4. 图

我们知道一个图可以有节点和边组成
$$Graph=[nodes,edges]\text{\hspace{1em}(7)}$$