- 1Linux PC OpenSSL加解密方法（附代码）_linux rsa_private_decrypt使用方法
- 2Database Management Systems (Database Design and Tuning)_dynsql: stateful fuzzing for database management s
- 3pytorch 中 nn.ModuleList()使用说明
- 4全面了解大型语言模型（LLM），以及如何更好地利用它_使用大型语言模型 (llm)对您最有利的方式是什么
- 5厉害了，一家6人都来黑马！表姐月薪3万，还是单身哦~
- 6restTemplate发送请求时出现415问题解决_org.springframework.web.client.httpclienterrorexce
- 7PatchCore原理与代码解读
- 8基于机器学习的木马检测模型的设计与实现(论文)_kaic
- 9如何用大模型推动学术知识图谱挖掘任务？ | OAG-Challenge @ KDD Cup 2024 邀你来赛！...
- 10噪音标签工作总结_噪声标签
三角函数泰勒公式推导_cot的泰勒展开推导
赞
踩
第一部分三角函数模拟计算机电路介绍
第二部分使用六分仪测量经纬度的三角函数法
https://115.com/s/swnr60y36zv?password=y110#
三角函数模拟计算机访问码：y110复制这段内容，可在115App中直接打开！
链接：https://pan.baidu.com/s/1YK7Wi8NCDCvK4ALDx9FeYg
提取码：kprc,
https://share.weiyun.com/gUP1oT2A,
https://share.weiyun.com/NUY0gxRg,
链接：https://www.aliyundrive.com/s/7K5XqziKDae
第三部分，模拟三角函数计算机公式介绍
函数为常数的条件 推导出反三角函数的计算公式
用模拟计算机计算开方，看参考拉格郎奇公式中的近似公式的推导
计算三角函数的公式1
通过无穷小及无穷大的分级中的应用题3)，我们得到。在角度不太大时，
1-cos ψ=4(1- 1+cos ψ ) (90)
2
2
2 1+ 1- (sin ψ)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
1- 1- (sin ψ) = 4 (1- ) (90)
2
- 1
由上面的式子组成模拟计算机的计算电路。
计算方程式的解，可见计算方程式的近似解页 比例法则，或称弦线法，依据波查诺-柯西第一定理
牛顿法则，或称切线法则
联合法
下面的公式可以用于模拟计算机的计算电路
计算三角函数的公式2
通过127. 近似公式中的例题4)，我们得到。设s是弧长，d是对应于它的弦，而δ是对应于半弧的弦（图53）。最后得到关于x,cos x,d,δ的四元一次方程组
2 3d*x 2
- 1
(cos x) =1-( 8δ-d ) (202a)
2
(d*δ)
- 1
- 2
- 3
cos x = -1 (202b)
2
- 1
2
d 4δ d 2 2 2
( )+( - ) (1-cos) =δ (202c)
2 3x 6x
- 1
- 2
- 3
d 4δ d 1-cos x 2 4δ d 2
( )+( - - *6 ) =( - ) (202d)
2 3x 6x 2 3x 6x
- 1
- 2
- 3
计算三角函数的公式3, 最后得到关于x,cos x,d,δ的四元一次方程组
2 2
- 1
2 d *x
cos x =1- (203a)
16 2 2
f +d
3
2
2 2 d
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
d *(f + )
4
- 1
cos x= -1 (203b)
2
2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
d 2 d
( ) + f = (203c)
2 2(cos x+1)
(203d)
2 2 2 2
2 4 f + 1 d 4 f + 1 d
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
d 2 3 4 3 4
( ) + cos x * =
2 2 2
x x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
计算三角函数的公式4,详细推导过程可参见戴劳公式125例题
3 5 2m-1
x x m-1 x 2m
+ -…+(-1) +o(x )
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
3! 5! (2m-1)!
tan x=sin x/cos x=
2 4 2m
x x m x 2m+1
1- + -…+(-1) +o(x )
- 1
- 2
- 3
2! 4! (2m)!
m-1
2*2! 2*4! 2*6! (-1) (2m)! (2m)!
= - + -…+( -
m
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
x 3!x 5!x (2m)!x (-1) (2m-1)!x
2 4 2m
x x m x 2m+1
cos x= 1- + -…+(-1) +o(x )
- 1
- 2
- 3
2! 4! (2m)!
3 5 2m-1
x x m-1 x 2m
sin x=x- + -…+(-1) +o(x )
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
3! 5! (2m-1)!
详细推导见初等函数的展开
3 5 2m-1
x x m-1 x 2m
sh x=x+ + + …+(-1) +o(x )
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
3! 5! (2m-1)!
2 4 2m
x x m x 2m+1
ch x= 1+ + +…+(-1) +o(x )
- 1
- 2
- 3
2! 4! (2m)!
计算三角函数的拉格朗奇插值法，详细推导过程可见计算三角函数的插值法, 例如
ω(x) π
- 1
sin ( 31°)≈ sin ( )
ω`(x )(x-x ) 6
m m
m! π
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
= sin( )
[m![(m-1)!((m-2)!(…(1!+0))+(m-2))+(m-1)]+m!]m 6
(m-1)! π
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
= sin( )
[m![(m-1)!((m-2)!(…(1!+0))+(m-2))+(m-1)]m 6
1*2*3…30 π
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
= sin( )
31!(30!(29!(28!(…1!+1)+28!)+29!)+30!)+31! 6
ω(x) π
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
cos ( 31°)≈ cos ( )
ω`(x )(x-x ) 6
m m
1*2*3…30 π
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
= cos( )
31!(30!(29!(28!(…1!+1)+28!)+29!)+30!)+31! 6
21 ω(x) 20
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
e ≈ e
ω`(x )(x-x )
m m
1*2*3…21 20
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
= e
21!(20!(19!(18!(…1!+1)+18!)+19!)+20!)+21!
- 1
计算三角函数的带余项的拉格朗奇插值法，详细推导过程可见计算三角函数的插值法, 例如.
(m+1) π
sin ( )
ω(x) π 6
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
sin ( 31°)≈ * sin( )+ w(x)
ω`(x )(x-x ) 6 (m+1)!
m m π cos ( ) m! π 6 = * sin( )+ m! [m![(m-1)! ((m-2)! (...(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m!]m! 6 (m+1)! π cos ( ) (m-1)! π 6 = * sin( )+ m! [(m-1)! ((m-2)! (...(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m! 6 (m+1)! π cos( ) 1*2*3...*29 π 6 = * sin( ) + 30! 30!(29!(28!(...1!+1)+28!)+29!)+30! 6 31! (m+1) π cos ( ) ω(x) π 6
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
cos ( 31°)≈ * cos( )+ w(x)
ω`(x )(x-x ) 6 (m+1)!
m m π sin( ) 1*2*3...*29 π 6 = * sin( ) + 30! 30!(29!(28!(...1!+1)+28!)+29!)+30! 6 31! 20 (m+1)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
21 ω(x) 20 (e )
e ≈ * e + w(x)
ω`(x )(x-x ) (m+1)!
m m 20 (m+1) m! 20 (e ) = *e + m![(m-1)! ((m-2)! (...(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m! (m+1)! 20 1*2*3...*21 20 e = *e + m! 21!(20!(19!(18!(...1!+1)+18!)+19!)+20!)+21! (m+1)!
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
计算三角函数的埃尔密特公式插值法，详细推导过程可见计算三角函数的插值法, 例如。
(n)
tg`(60°) tg``(60°) tg (60°)
- 1
- 2
- 3
tg ( 61°)≈tg(60°)+ (61°-60°)+ (61°-60°) +… (61°-60°)
1! 2! n! (N) tg (60°) n +1 n +1 n +1 0 1 m + (x-x ) (x-x ) … (x-x ) m! 0 1 m (n) tg`(π/3) tg``(π/3) tg (π/3)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
=tg(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +… (180π/61-π/3)
1! 2! n!
(3)
tg (π/3) π/3 +1 π/3 +1+1 π/3 +1+1+1
+ (180π/61-π/3) (180π/61-π/3) (180π/61-π/3)
3!
tg`(π/3) tg``(π/3)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
≈tg(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +…
1! 2!
(1)
tg (π/3) π/3 +1
+ (180π/61-π/3)
1!
tg`(π/3) tg``(π/3)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
≈tg(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +…
1! 2! 2 sec (π/3) π/3 +1 + (180π/61-π/3) 1! (n) sin`(60°) sin``(60°) sin (60°)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
sin ( 61°)≈sin(60°)+ (61°-60°)+ (61°-60°) +… (61°-60°)
1! 2! n! (N) sin (60°) n +1 n +1 n +1 0 1 m + (x-x ) (x-x ) … (x-x ) m! 0 1 m (n) sin`(π/3) sin``(π/3) sin (π/3)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
=sin(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +… (180π/61-π/3)
1! 2! n!
(3)
sin (π/3) π/3 +1 π/3 +1+1 π/3 +1+1+1
+ (180π/61-π/3) (180π/61-π/3) (180π/61-π/3)
3!
sin`(π/3) sin``(π/3)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
≈sin(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +…
1! 2!
(1)
sin (π/3) π/3 +1
+ (180π/61-π/3)
1!
sin`(π/3) sin``(π/3)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
≈sin(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +…
1! 2!
cos (π/3) π/3 +1
+ (180π/61-π/3)
1!
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
推导过程见三角函数泰勒级数计算电路中的二项式级数, 计算三角函数的近似公式8
设set n=10
2
∞ x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
sin x=x*∏ (1- )
n=1 2 2 n π 2 x 2 2 1- x x n -n 2 2 =x* 2π(1- ) ( 1- ) e n π 2 2 2 2 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
n π n π x
1-
2
π
- 1
- 2
- 3
设set n=10
2
∞ x
- 1
- 2
- 3
sin x=x*∏ (1- )
n=1 2 2 n π 2 x 2 2 1- x x 10 -10 2 2 =10* 2π(1- ) ( 1- ) e 10 π 2 2 2 2 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
10 π 10 π x
1-
2
π
2
∞ 4x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
ch x= ∏ (1+ )
n=1 2 2 (2n-1) π 2 4x 2 2 1+ 4x 4x n -n 2 2 = 2π(1+ ) ( 1+ ) e (2n-1) π 2 2 2 2 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
(2n-1) π (2n-1) π 4x
1+
2
π
- 1
- 2
- 3
设set n=10
2
∞ 4x
- 1
- 2
- 3
ch x= ∏ (1+ )
n=1 2 2 (2n-1) π 2 4x 2 2 1+ 4x 4x 10 -10 2 2 = 2π(1+ ) ( 1+ ) e 19 π 2 2 2 2 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
19 π 19 π 4x
1+
2
π
2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
π√π=
1
1-
1 1 n -n 2
2(1- ) (1- ) e 4n
2 2 1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
4n 4n 1-
4
2
∞ 4x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
cos x= ∏ (1- )
n=1 2 2 (2n-1) π 2 4x 2 2 1- 4x 4x n -n 2 2 = 2π(1- ) ( 1- ) e (2n-1) π 2 2 2 2 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
(2n-1) π (2n-1) π 4x
1-
2
π
- 1
- 2
- 3
设set n=10
2
∞ 4x
- 1
- 2
- 3
cos x=∏ (1- )
n=1 2 2 (2n-1) π 2 4x 2 2 1- 4x 4 x 10 -10 2 2 = 2π(1- ) ( 1- ) e 19 π 2 2 2 2 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
19 π 19 π 4x
1-
2
π
2
∞ x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
sh x=x*∏ (1+ )
n=1 2 2 n π 2 x 2 2 1+ x x n -n 2 2 = x* 2π(1+ ) ( 1+ ) e (2n-1) π 2 2 2 2 2 n π n π x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
1+
2
π
- 1
- 2
- 3
设set n=10
2
∞ x
- 1
- 2
- 3
sh x=x*∏ (1+ )
n=1 2 2 n π 2 x 2 2 1+ x x 10 -10 2 2 = 2π(1+ ) ( 1+ ) e 10 π 2 2 2 2 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
10 π 10 π x
1-
2
π
- 1
- 2
- 3
计算开方的模拟计算机电路, 推导过程见三角函数泰勒级数计算电路中的二项式级数
2
2z 1 2z 2 1 2z 4 1 2z 6
- 1
- 2
- 3
1+ ( ) =1+ ( ) - ( ) + ( )-
2 2 2 8 2 16 2
- 1
1+ z 1+ z 1+ z 1+ z
5 2z 8 n-1 (2n-3)!! 2z 2n-1
- ( ) +…+(-1) ( ) +… (-1≤x≤1)
- 1
128 2 2n!! 2
1+z 1+z
∞ (2n-3)!! 2z 2n-1
=∑ ( )
n=1 2n!! 2
- 1
1+z
z,如果｜z｜≤1
={ 1/z,如果if｜z｜≥1
- 1
- 2
- 3
其中：
2
2z
- 1
- 2
- 3
1+ ( ) =x
2
- 1
1+ z
1
=
2
2z
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
1+ ( )
2
- 1
1+ z
1 2z 2 3 2z 4 5 2z 6
- 1
=1- ( ) + ( ) - ( )+
2 2 8 2 16 2
1+ z 1+ z 1+ z
- 1
- 2
- 3
5 2z 8 n-1 (2n-3)!! 2z 2n-1
- ( ) +…+(-1) ( ) +… (-1≤x≤1)
- 1
128 2 2n!! 2
1+z 1+z
∞ (2n-3)!! 2z 2n-1
=∑ ( )
n=1 2n!! 2
- 1
1+z
z,如果if｜z｜≤1
={ 1/z,如果if｜z｜≥1
- 1
- 2
- 3
其中：
2
2z
- 1
- 2
- 3
1+ ( ) =x
2
- 1
1+ z
1
=
2
2z
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
1+ ( )
2
- 1
1+ z
2z 2 2z 4 2z 6
- 1
=1- ( ) + ( ) - ( )+
2 2 2
1+ z 1+ z 1+ z
2z 8 n 2z 2n-1
- ( ) +…+(-1) ( ) +… (-1≤x≤1)
2 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
1+z 1+z
∞ 2z 2n-1
=∑ ( )
n=1 2
- 1
1+z
z,如果if｜z｜≤1
={ 1/z,如果if｜z｜≥1
- 1
- 2
- 3
其中：
2
2z
- 1
- 2
- 3
1+ ( ) =x
2
- 1
1+ z
推导可以见级数的计算页, 由数学归纳法可得
a 1 1 n-1 1
=1- + -…+(-1) +…
- 1
b a a² a
其中。a>0,b>0,b-a=1
模拟计算机可以调用这个公式计算除法, 由数学归纳法可得
a c/2 1 n-1 1
=1+ + -…+(-1) +…
- 1
b a+b a
a
其中。a>0,b>0,b-a=c
由数学归纳法可得
b 1 1 n 1
=1+ - -…+(-1) +…
- 1
a b b² a
其中。a>0,b>0,b-a=1
模拟计算机可以调用这个公式计算除法, 由数学归纳法可得
b c/2 c c n-1 1
=1+ - + -…+(-1) +…
- 1
a a+b b b² b
其中。a>0,b>0,c>0,b-a=c
推导过程可见无穷级数欧拉常数页
1 1 1
- 1
e=1+ + +…+ +…
1! 2! n!
∞
- 1
- 2
- 3
=1+∑
n
- 1
=1+ +C+γ
n+1 n
- 1
其中C=0.57721566490…
用对数函数计算sinx,cosx的公式。推导过程可见无穷级数欧拉常数页
2n-1
- 1
x
sin x=∑ （-1） =log(2/π)*x+(2/π)x0.001+1+C+γ (0<x<π/2)
(2n-1)!
公式(4c)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的： C=0.01
2n-1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
x
sin x=∑ （-1） =log(2/π)(π-x)+(2/π)(π-x)*0.001+1+C+γ (π/2<x<π)
(2n-1)!
公式(4c)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的： C=0.01
2n-1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
x
sin x=∑ （-1） =-log(2/π)(x-π/2)-(2/π)(x-π/2)*0.001-1+C+γ (π<x<3π/2)
(2n-1)!
公式(4c)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的： C=0.01
2n-1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
x
sin x=∑ （-1） =-log(2/π)(2π-x)-(2/π)(2π-x)*0.001-1+C+γ (3π/2<x<2π)
(2n-1)!
公式(4c)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的： C=0.01
2n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
x
cos x=∑ （-1） =-log(2/π)(π/2-x)+(2/π)(π/2-x)*0.001+1+C+γ (0<x<π/2)
(2n)!
公式(5c)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的： C=0.01
2n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
x
cos x=∑ （-1） =-log(1/π)(x-π/2)-(1/π)(x-π/2)*0.001-1+C+γ (π/2<x<π)
(2n)!
公式(4c)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的： C=0.01
2n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
x
cos x=∑ （-1） =-log(2/π)(3π/2-x)-(2/π)(3π/2-x)*0.001-1+C+γ (π<x<3π/2)
(2n)!
公式(5a)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的： C=0.01
2n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
x
cos x=∑ （-1） =log(2/π)(x-3π/2)+(2/π)(x-3π/2))*0.01-0.01+1+C+γ (3π/2<x<2π)
(2n)!
公式(5a)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的： C=0.01
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
计算tgx ,ctgx的公式, 推导过程可见级数的乘法页
tg x=sin x/cos x
(2k)!
x x (∑ (-1) ) - ∏(-1)
- 1
- 2
- 3
=∑(-1) [ ∑ (-1) -
(2k-1)! (2k-1)!
∏(-1) ∑ (-1)
2 4 2k
x x x x x k x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
=(x- + -…+(-1) +…)[1- + -…+(-1)
3! 5! (2k-1)! 2! 4! (2k)!
2! 4! k (2k)! 2 2! 4! k (2k)!
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
(1- + -…+(-1) +…) -1*(- )( )(…)(-1)
2 4 2k 2 4 2k
- 1
x x x x x x
-…+
2! 4! k (2k)! 2! 4! k (2k)!
1*(- )*( )*(…*)((-1) )(1- + -…+(-1) +…)
2 4 2k 2 4 2k
x x x x x x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
tg x=sin x/cos x
x x
- 1
=∑(-1) *∑ (-1) -
(2k-1)! (2k-1)! (2k)! ∑ (-1) ( ∑ (-1) ) - ∑(-1) *∏(-1) (2k-1)! (2k-1)! x ∏(-1) ∑ (-1) 1 1 1 1 1 1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
=1+(- + )x+( + * + ) x +…-
2! 3! 4! 2! 3! 5!
(2k)! ∑ (-1) ( ∑ (-1) ) - ∑(-1) *∏(-1)
(2k-1)! (2k-1)! x
∏(-1) ∑ (-1)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
计算tgx ,ctgx的公式
ctg x=sin x/cos x
(2k-1)!
x x (∑ (-1) ) - ∏(-1)
- 1
- 2
- 3
=∑(-1) [ ∑ (-1) -
(2k)! (2k-1)!
∏(-1) ∑ (-1)
3 5 2k-1
x x x x x k-1 x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
=(1- + -…+(-1) +…)[1- + -…+(-1)
2! 4! (2k)! 3! 4! (2k-1)!
3! 5! k-1 (2k-1)! 2 3! 5! k-1 (2k-1)!
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
(x- + -…+(-1) +…) -x*(- )( )(…)(-1)
3 5 2k-1 3 5 2k-1
- 1
x x x x x x
-…+
3! 5! k-1 (2k)! 3! 5! k-1 (2k-1)!
x*(- )*( )*(…*)((-1) )(x- + -…+(-1) +…)
3 5 2k-1 3 5 2k-1
x x x x x x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
计算tgx ,ctgx的公式
ctg x=cos x/sin x
2k 2k-1
x x
- 1
- 2
- 3
=∑(-1) *∑ (-1) -
(2k)! (2k-1)! (2k-1)! ∑ (-1) ( ∑ (-1) ) - ∑(-1) *∏(-1) (2k)! (2k)! x ∏(-1) ∑ (-1) 1 1 1 1 1 1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
=1+(- + )x+( + * + ) x +…-
2! 3! 4! 2! 3! 5! (2k-1)! ∑ (-1) ( ∑ (-1) ) - ∑(-1) *∏(-1) (2k-1)! (2k)! x ∏(-1) ∑ (-1)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
推导过程见无穷级数欧拉常数页, 计算三角函数tg x,ctg x的公式
(2k)!
x x (∑ (-1) ) - ∏(-1)
- 1
- 2
- 3
∑(-1) [∑ (-1) - ]*
(2k-1)! (2k)!
∏(-1) ∑ (-1)
(2k-1)!
x x (∑ (-1) ) - ∏(-1)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
∑(-1) [∑ (-1) - ]=1
(2k)! (2k-1)!
∏(-1) ∑ (-1)
- 1
- 2
- 3
推导见拉格朗奇公式, 可以由下面的式子组成模拟计算机的电路计算幂函数。也可以使用模
计算开方的模拟计算机电路
1/2 1 (1/2)(1/2-1) 2 (1/2)(1/2-1)...(1/2-n+1) n
- 1
(1+x) =1+ x+ x +…+ x +…
2 1*2 1*2*...n
1 1 2 1 3 5 4 n-1 (2n-3)!! n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
1+x =1+ x- x + x - x +…+(-1) x +…
2 8 16 128 2n!!
- 1
(-1≤x≤1) (23)
与
-1/2 1 (-1/2)(-1/2-1) 2 (1/2)(1/2-1)...(1/2-n+1) n
- 1
(1+x) =1- x+ x +…+ x +…
2 1*2 1*2*...n
1 1 3 2 5 3 35 4 n-1 (2n-1)!! n
=1+ x- x + x - x +…+(-1) x +…
2 8 16 128 2n!!
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
1+x (-1<x≤1) (24)
拟计算机用下面的方法计算一个数的开方。
μ μ μ
- 1
(1+x) ≈(1+0) +f`(1+0) x=1+μx
μ*3
μ 3 3 μ*3
- 1
- 2
- 3
(1+x) =(1+x) =( (1+x) )
1 μ*（μ+1） 1 μ μ+1 ≈(1+ *x) =(（1+ *x） ) μ+2 μ+2 1 μ+1 ≈(1+ *μx) μ+2 1 1*10 2 1 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
(1+x) ≈(1+ *x)
10
1 1*3
2 1 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
(1+1) ≈(1+ *1) 161051
3
3
1 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
=(1+ )
3
3 3
1 4 1 4
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
=(1+ ) * (1+ )
3 3
1 3 1 3
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
=(1+ * ) * (1+ * )
3 4 3 4
5 5
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
= *
4 4
25
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
≈
16
≈1.787
1 1*3
2 1 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
(1+1) ≈(1+ *x)
3
3
1 2
=(1+ )
3
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
推导过程见戴劳常数页
3 5 2m-1
x x m-1 x 2m
- 1
- 2
- 3
arc tg x=x- + -…+ (-1) +o(x )
3 5 2m-1
3 5 2m-1
x x m x 2m
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
arcc tg x=-x+ - -…+ (-1) +o(x )
3 5 2m-1
3 5 2m-1
2!! x 4!!x m-1 (2m-2)!! x 2m
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
arc sin x=x- + -…+（-1） +o(x )
3!! 5!! (2m-1)!!
- 1
注note;5!!=135,6!!=246
注note;5!!=135,6!!=246
2 3 5 2m
x 3!! x 5!!x m (2m-1)!! x 2m+1
- 1
- 2
- 3
arc cos x=1- + - -…+（-1） +o(x )
2!! 4!! 6!! (2m)!!
- 1
注note;5!!=135,6!!=246
根据戴劳公式（120a）
3
x 4
- 1
- 2
- 3
tg x=x+ +o(x )或
3
3 5 7 2m-1
2x 4x 6x m-1 (2m) x n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
tg x=x- + - +…-(-1) + o(x ) (-π/2<x<π/2)
3 5 7 2m-1
3
x 4
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
ctg x=x- +o(x )或
3
3 5 7 2m-1
2x 4x 6x m-1 (2m) x n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
ctg x=x- + - +…-(-1) + o(x ) (0<x<π)
3 5 7 2m-1
- 1
第四部分，泰勒级数推导过程数学流程图
计算三角函数调用泰勒公式
说明泰勒级数 引用瓦利斯公式 推导二项式系数
- 1
初等函数的展开，推导泰勒公式的前提 最后得到计算三角函数的近似公式8
调用戴劳公式和有限差分法 最后得到计算三角函数的近似公式9
. (注：有限差分法是推导泰勒公式所使用的的方法)
模拟计算机计算开方公式
- 1
戴劳公式的推导 首先调用拉格郎奇公式 引用单方导数概念 推导出近似公式
其次调用增量公式 再调用任意阶导数的普遍公式和莱布尼兹公式 推导出计算三角函数的插值法（模拟计算机用） 推导出计算三角函数的公式4 推导出惠更斯公式 推导出计算三角函数的公式2 推导出插值法 调用数e的近似计算法 推导出契贝塞夫(П.Л.Чебышев)法则 推导出计算三角函数的公式3 推导出插值法 推导出计算三角函数的拉格朗奇插值法 推导出计算三角函数的带余项的拉格朗奇插值法 推导出计算三角函数的埃尔密特公式插值法
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
莱布尼兹公式的推导 推导任意阶导数的普遍公式 推导莱布尼兹公式
引用求导数的简单法则
- 1
拉格郎奇公式的推导 调用微分是近似公式的来源中的近似公式
推导出计算幂函数的近似方法。模拟计算机用
- 1
增量公式的推导 调用无穷小及无穷大的分级中的无穷小的比较
微分是近似公式的来源中的近似公式的推导
调用无穷小及无穷大的分级中的等价无穷小
调用可微性与导数存在之间的关系
最后得到计算函数的近似公式
无穷小及无穷大的分级的推导 先推导无穷小的比较 再推导无穷小的尺度
再调用极限理论的推广
再推导等价无穷小 再推导主部的分出 最后的到计算函数的近似公式
- 1
- 2
- 3
微分的定义 推导出可微性与导数存在之间的关系
调用无穷小及无穷大的分级中的等价无穷小和主部的分出
推导出计算三角函数的公式1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
无穷级数欧拉常数 推导出用对数函数计算sinx,cosx的公式
级数的乘法 推导出用sinx,cosx级数计算tgx,ctgx的公式
.
第四部分，泰勒级数数学理论描述
1.上面电路实现的功能是表示任意角度的正弦值。
2.正弦值等于直角三角形的角对应的直角边和斜边的比值。
sinα=y/r
余弦值等于直角三角形的角相邻的直角边和斜边的比值
cosα=x/r
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
正切值等于直角三角形的角所对的直角边和相邻的直角边的比值
tanα=y/x
- 1
正割值等于斜边和直角三角形的角相邻的直角边的比值
secα=r/x
- 1
余割值等于直角斜边和直角三角形的角对应的直角边的比值
cscα=r/y
- 1
余割值等于直角斜边和直角三角形的角对应的直角边的比值
cscα=r/y
- 1
余切值等于直角三角形的角相邻的直角边和所对的直角边的比值
cotα=x/y
- 1
3.在直角三角形中，两个直角边x,y的平方和等于斜边的平方
2 2 2
x +y =r
- 1
- 2
- 3
4.所以正弦值可以表示为
2 2
sinα=y/ x +y
- 1
- 2
- 3
5.如图1所示，h是垂直于三角形斜边的高，它把斜边分成r1,r2
2 2 2 2 2 2 2 2
h +r1 =y r1 =y -h r1= y -h
2 2 2 2 2 2 2 2
h +r2 =x r2 =x -h r2= x -h
∵r1+r2=r
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
∴x +y =(r1+r2) x + y =( y -h + x -h ) (1)
∵sinα=h/x
∴
2 2
h/x=y/ x +y
- 1
- 2
- 3
∴
2 2 h/x=y*x/ x +y (2) 图1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
6.将⑵代入⑴得
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x +y = y -y *x /(x +y ) + x -y *x /(x +y )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
r = y -y *x /(x +y ) + x -y *x /(x +y ) (3)
4.在单位圆中，直径是1，也就是上面的斜边是1，所以⑶可以表示为
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
- 1
y -y *x /(x +y ) + x -y *x /(x +y ) =1
{
2 2
x +y =1
sinα=y, cosα=x, tanα=y/x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
5.用直流电压DCXV，100mA表示X，用直流电压DCYV，100mA表示Y，用加法器，减法器，开方，乘法器，电压跟随器可以表示上式。
6.在上面二元二次方程中，知道x，就会得到y值，知道y，就会得到x值。
7.上面电路中，x值不断变化，它是余弦值，查《数学用表》，可以得到它的余弦角角度。
上面电路中，y值不断变化，它是正弦值，查《数学用表》，可以得到它的正弦角角度。
上面电路中，y/x值不断变化，它是正切值，查《数学用表》，可以得到它的正切角角度。
上面电路中，1/x值不断变化，它是正割值，查《数学用表》，可以得到它的正割角角度。
上面电路中，1/y值不断变化，它是余割值，查《数学用表》，可以得到它的余割角角度。
上面电路中，x/y值不断变化，它是余切值，查《数学用表》，可以得到它的余切角角度。
8.已知一个角的角度，计算这个角的三角函数可以采用微积分里面的泰勒级数。泰勒展开式的推导详细情况可见初等函数的展开。根据泰勒展开式，可得下面的公式
(n)
f`(x ) f``(x ) 2 f (x ) n
- 1
- 2
- 3
f(x)=f(x )+ 0 (x-x )+ 0 (x-x ) +…+ 0 (x-x ) +r (x) (3)
0 1! 0 2! 0 n! 0 n
- 1
这个展开式描述的一个函数f(x)等于
2 (n)
x x x x n
- 1
- 2
- 3
e =1+ + +…+ + o(x ) (11)
1! 2! n!
3 2 2m-1
x x m-1 x 2m
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
sin x =x- + -…+ (-1) +o(x ) (12)
3! 5! (2m-1)!
2 4 2m
x x m x 2m+1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
cos x =1- + -…+ (-1) +o(x ) (13)
2! 4! (2m)!
m m(m-1) 2 m(m-1)...(m-n+1) n n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
(1+x) =1+mx+ x +…+ x +o(x )
1*2 1*2...n
2 3 n
x x n-1 x n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
ln(1+x) =x- + -…+ (-1) +o(x )
2 3 n
3 5 2m-1
x x m-1 x 2m
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
arc tg x=x- + -…+ (-1) +o(x )
3 5 2m-1
3 5 2m-1
x x m x 2m
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
arc ctg x=-x+ - +…- (-1) +o(x )
3 5 2m-1
3
x 4
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
tg x=x+ +o(x )
3
sin x 1 2 3
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
e =1+x + x + o(x )
2
tg x 1 2 1 3 3
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
e =1+x+ x + x + o(x )
2 2!
1 2 1 4 1 6 6
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
ln cos x =- x - x - x + o(x )
2 12 45
3 5
2 x 3x 5
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
ln(x+ 1+x ) =x- + +o(x )
6 40
sin x 1 2 1 4 1 6 6
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
ln =- x - x - x + o(x )
x 6 180 2835
3 2 2m-1
x x m-1 x 2m
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
sin x =x- + -…+ (-1) +o(x ) (12)
3! 5! (2m-1)!
2 4 2m
x x m x 2m+1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
cos x =1- + -…+ (-1) +o(x ) (13)
2! 4! (2m)!
- 1
sinh / 双曲正弦：
x -x
e -e
- 1
- 2
- 3
shx=
2
- 1
cosh / 双曲余弦：
x -x
e +e
- 1
- 2
- 3
shx=
2
3 2 2m-1
x x x 2m
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
sh x =x+ + +…+ +o(x ) (12)
3! 5! (2m-1)!
2 4 2m
x x x 2m+1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
ch x =1+ + +…+ +o(x ) (13)
2! 4! (2m)!
- 1
可设
x -x
e + e
- 1
- 2
- 3
y=
2
- 1
得
2x x
e -2y*e +1=0
x 2
e =y± y -1
2
- 1
x =ln(y± y -1 )
可设
x -x
e -e
- 1
- 2
- 3
y=
2
- 1
得
2x x
e -2y*e -1=0
x 2
e =y± y +1
2
- 1
x =ln(y± y +1 )
tanh / 双曲正切：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]
coth / 双曲余切：coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]
sech / 双曲正割：sech(x) = 1 / cosh(x) = [e^x - e^(-x)]/2
csch / 双曲余割：csch(x) = 1 / sinh(x) = [e^x + e^(-x)]/2
tanα= sinα/ cosα ch(x±y)=ch xch y±sh xsh y
secα=1/ cosα sh(x±y)=sh xch y±ch xsh y
cscα=1/ sinα
cotα= cosα/ sinα
x+y -x-y x -x y -y x -x y -y
e +e e + e e + e e - e e - e
= * + *
- 1
2 2 2 2 2
3 5 2m-1
x x m-1 x 2m
- 1
- 2
- 3
arc tg x=x- + -…+ (-1) +o(x ) (15)
3 5 2m-1
2m-1
1 1 m-1 1 2m
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
π/4=arc tg 1=1- + -…+ (-1) +o(x ) (16)
3 5 2m-1
1 1 1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
e=1+ + +…+ +…
1！ 2！ n!
2 3
x x 1 n+1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
ln(1+x)=x- + -…+(-1) x +… (-1<x≤1）
2 3 n+1
m m(m-1) 2 m(m-1)...(m-n+1) n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
(1+x) =1+mx+ x +…+ x +… (-1<x<1）
2! n!
- 1
n 1 1 k-1 1
=1- + -…+(-1) +…
- 1
n+1 n n k-1
n
- 1
第五部分三角函数泰勒级数
9.对数对应的泰勒级数如下
对数泰勒展开式的推导详细情况可见初等函数的展开
泰勒级数推导。展开函数成幂级数，泰勒级数。
我们已知形如
∽ n 2 n
∑ a x =a +a x+a x +…+a x +…
0 n 0 1 2 n
的x的乘幂展开的幂级数。 （1）
（注解：也就是说幂函数数列的从0到正无穷的各项之和等于的一次方，二次方直到n次方的和）如果除去“处处发散”的级数，则对每一个这样的级数说来，存在着以点x=0为中心，从-R到R（这儿收敛半径R>0,但也可以是无穷）的收敛区间。这个区间是否包含端点在内，要看情况怎样来决定。
考虑以二项式x-x （代替x）的乘幂展开的更普遍形状的幂级数：
0
- 1
∽ n 2 n
∑ a (x-x ) =a +a （x-x ） +a (x-x ) +…+a (x-x ) +…
0 n 0 0 1 0 2 0 n 0
这种级数跟形如（1）的级数没有本质上的差别，因为用一个简单的变数替换：
x-x =y（只有变数表示法上的不同）就可把它化成级数（1）。
0
- 1
对于级数（2）说来，如果它不是："处处发散"的，也有收敛区间，
但这次中心是点x -R到x +R。
0 0
- 1
它的端点，跟级数（1）的情况一样，可以属于，但也可以不属于区间内。在以后几节中我们要详细地研究幂级数的性质，它们在许多方面都与多项式相似。多项式是幂级数的段（部分和数），这使幂级数成为近似计算的便利工具。由于这个事实，
把预先给定的函数依x-x 的乘幂（特别情形，依x的乘幂）展开的可能性的问题，
0
- 1
亦即把函数表示成型（2）或（1）的级数和数形状的可能性问题，就获得很大的重要性。在这儿我们要研究初等函数的如此的展开式，并且在[122-124]戴劳公式及有限差分法中，详细研究过泰勒公式给我们打开一条通向解决所提出的问题的道路。
戴劳公式及有限差分法见戴劳公式推导页介绍
事实上，假定所考虑的函数f(x)在区间[x ,x +H]或x -H,x
0 0 0 0
- 1
上具有各级微商。（因而它们都是连续的）。于是像我们在第124目中已经看到的，于是像我们在第124目中已经看到的，对于在这区间上所有的x值，即有公式:
(n)
f`(x ) f``(x ) 2 f (x ) n
- 1
- 2
- 3
f(x)=f(x )+ 0 (x-x )+ 0 (x-x ) +…+ 0 (x-x ) +r (x) (3)
0 1! 0 2! 0 n! 0 n
- 1
其中余项r (x)可以表示成第124目中所指出的形式中的任一个。
n
- 1
同时我们可以取n任意大，既是，把这展开式进行到x-x 的任意高的乘幂。
0
- 1
这就自然地引出无穷展开式的想法：
(n)
f`(x ) f``(x ) 2 f (x ) n
- 1
- 2
- 3
f(x)=f(x )+ 0 (x-x )+ 0 (x-x ) +…+ 0 (x-x ) +r (x) (4)
0 1! 0 2! 0 n! 0 n
- 1
这种级数-它跟收敛与否及是否具有和数f(x)无关-叫做函数f(x)的泰勒级数。它有（2）的形状，并且它的系数:
(n)
f`(x ) f``(x ) f (x )
- 1
- 2
- 3
a =f(x ),a = 0 , a = 0 ,…, a = 0
0 0 1! 2 2! n n!
叫做泰勒级数。因为f(x)与泰勒级数n+1项和数之间的差数，由于（3），恰好是
r (x)
n
所以显然；在某一x值时，展开式（4）实际上成立的必要充分条件是，在这个x值时，泰勒公式的余项r (x)随着n的增大而趋于0；
n
- 1
lim r (x)=0 (5)
n→∞ n
这等式是否成立，以及在怎样的x值时这等式成立，在研究这些问题时，
依赖于n的余项r (x)的各种形式对我们是有用的。
n
- 1
常常要讨论跟x =0与函数f(x)直接依x的乘幂展开成级数
0
(n)
f`(0) f``(0) 2 f (0) n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
f(x)=f(0)+ x + x +…+ x (6)
1! 2! 0 n!
- 1
注;这级数通常叫做马克劳任级数，参看第一卷121目和123目的脚注。的情形；这级数具有（1）的形状，系数为:
(n)
f`(0 ) f``(0) f (0)
- 1
- 2
- 3
a =f(0),a = , a = ,…, a = (7)
0 1 1! 2 2! n n!
现在更详细地写出合适于这一特别假定：
x =0[124]的余项r (x)
0 n
拉格朗日形式：
(n+1)
f (θx) n+1
- 1
- 2
- 3
r (x)= x (8)
n (n+1)!
- 1
歌西形式：
(n+1)
f (θx) n n+1
- 1
- 2
- 3
r (x)= (1-θx) x (9)
n n!
- 1
并且，关于因数θ只知道它包含在0与1之间，但它在x或n改变时（甚至在从这一形式换成另一形式时）可以跟着改变。现在将一些具体的展开式。
392、展开指数函数、基本三角函数及其他函数成为级数。首先证明下面的简单定理，它直接包含了一系列的重要情形。如果函数f(x)在区间[0,H]或-H,0上具有各级微商，并且当x在所给区间上变化时，所有这些微商的绝对值受囿于相同一个数：
n
- 1
｜f (x)｜≤L (10)
(这儿L不依赖于n），则在整个区间上展开式（6）成立。事实上，取拉格朗日形式的余项r (x)[见18]，
n
由于（10），我们有
(n+1) n+1
｜ f (θx) ｜ n+1 H
- 1
- 2
- 3
｜ r (x) ｜= ｜x｜ ≤L*
n (n+1)! （n+1)!
- 1
像我们在35，1）中见过的，当n无限增加时，表达式
n+1
H
- 1
- 2
- 3
（n+1)!
趋于0；但是，这[由于355，6°]也可以从级数。
n+1
∞ H
- 1
- 2
- 3
1+ ∑
n=0 （n+1)!
的收敛性推出[361,2)(a)]。但在这样的情形下，r (x)就具有极限0，这就证明了我们的断言。
n
- 1
(a)可把这定理应用于在任何区间[-H,H]上的下列函数：
x
- 1
f(x)=e ,sin x,cos x
因为它们的微商分别等于
(n) x
f (x)=e ,
π
- 1
sin(x+n* ),
2
π
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
cos(x+n* ),
2
x H
- 1
- 2
- 3
并且在这区间上，函数e 的各级微商的绝对值受囿于数e ,
而函sin x与cos x的各级微商的绝对值受囿于1. 因为在125，1）-3）中我们已经计算过这些函数的泰勒系数，所以可以立即写出展开式：
2 (n)
x x x x n
- 1
- 2
- 3
e =1+ + +…+ + o(x ) (11)
1! 2! n!
3 2 2m-1
x x m-1 x 2m
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
sin x =x- + -…+ (-1) +o(x ) (12)
3! 5! (2m-1)!
2 4 2m
x x m x 2m+1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
cos x =1- + -…+ (-1) +o(x ) (13)
2! 4! (2m)!
m m(m-1) 2 m(m-1)...(m-n+1) n n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
(1+x) =1+mx+ x +…+ x +o(x )
1*2 1*2...n
2 3 n
x x n-1 x n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
ln(1+x) =x- + -…+ (-1) +o(x )
2 3 n
3 5 2m-1
x x m-1 x 2m
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
arc tg x=x- + -…+ (-1) +o(x )
3 5 2m-1
1 3 5 m 2m-1 2m
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
arcc tg x=- + - -…+ (-1) +o(x )
x 3 5 2m-1
x x x
3
x 4
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
tg x=x+ +o(x )
3
sin x 1 2 3
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
e =1+x + x + o(x )
2
tg x 1 2 1 3 3
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
e =1+x+ x + x + o(x )
2 2!
1 2 1 4 1 6 6
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
ln cos x =- x - x - x + o(x )
2 12 45
3 5
2 x 3x 5
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
ln(x+ 1+x ) =x- + +o(x )
6 40
sin x 1 2 1 4 1 6 6
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
ln =- x - x - x + o(x )
x 6 180 2835
3 2 2m-1
x x m-1 x 2m
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
sin x =x- + -…+ (-1) +o(x ) (12)
3! 5! (2m-1)!
2 4 2m
x x m x 2m+1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
cos x =1- + -…+ (-1) +o(x ) (13)
2! 4! (2m)!
由数学递推法可得
3 5 2m-1
x x x
sin x 0 x 3! 5! m-1 (2m-1)! 2m
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
tg x= = + - + -…+(-1) +o(x )
cos x 1 2 4 6 2m x x x x 2! 4! 6! (2m)! sin x 2! 4! 6! 8! m-1 (2m)!
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
tg x= = + - + -…+(-1) (15b)
cos x x 3!x 5!x 7!x (2m-1)!
2 3 5 2m
x x x x
sin x 1 2! 4! 6! m-1 (2m)! 2m
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
ctg x= = + - + -…+(-1) +o(x )
cos x 0 3 5 2m-1
x x x x
3! 5! (2m-1)!
cos x x 3!x 5!x 7!x m-1 (2m-1)!x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
ctg x= = - + - -…+(-1) (15c)
sin x 2! 4! 6! 8! (2m)!
- 1
它们在任意x值时都成立。
（б）不难用类似方式得到基本双曲函数的展开式，但更简单的是回忆一下它们的定义：然后用把级数（11）与下面的级数逐项相加或相减的方法引出这些展开式。这级数是在级数（11）中以-x代替x而得到的。
2 (n)
-x x x n x
- 1
- 2
- 3
e =1- - -…+(-1) +…
1! 2! n!
- 1
用这方法我们找到;
3 5 2m-1
x x x 2m
- 1
- 2
- 3
sh x =x+ + -…+ +o(x ) (12)
3! 5! (2m-1)!
2 4 2m
x x x 2m+1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
ch x =1+ + -…+ +o(x ) (13)
2! 4! (2m)!
- 1
（в）开头所证明的定理就不能用到函数y=arctg x上, 实际上，在116，8）中已求出的这个函数的第n级微商的普遍表达式.
(n) n
- 1
y =(n-1)!cos y*sin n(y+π/2) (14)
(n)
- 1
并不保证所有的y 有共同的界。因为对应的泰勒级数[参看125.6）]
3 2 2m-1
x x m-1 x
- 1
- 2
- 3
x- + -…+ (-1) +r (x) (12)
3 5 2m-1 2m
- 1
只在区间[-1,1]上收敛*，所以在这区间外已经用不着说到用这级数来表示函数arctg x。依[366]达郎伯尔判别法容易确信，如果｜x｜<1，级数（绝对）收敛，当x=±1时级数的（非绝对）收敛性可从[369]莱不尼兹定理推出。反之，对于｜x｜≤1，依拉格朗日公式（8）[考虑到（14）]，我们有
n+1
｜cos y *sin(n+1)(y +π/2)｜
θ θ n+1 1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
r (x)≤ ｜x｜ ≤
n+1 n+1
- 1
其中y =arctg θx
θ
- 1
由此显然可知，r (x)→0，
n
- 1
于是对于在区间[-1,1]上所有的x值有展开式, 参见[125.6]
3 5 2m-1
x x m-1 x 2m
- 1
- 2
- 3
arc tg x=x- + -…+ (-1) +o(x ) (15)
3 5 2m-1
3 5 m-1 2m-1
2*x 4*x m-1 2 x 2m
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
arc sin x=x- + -…+ (-1) +o(x )
3 5 2m-1
- 1
用递推法证明
arcc tg x=1/arctgx
1 1 1
= - 3 + 5 -......+ 2m-1
x x x m-1 x
(-1)
3 5 2m-1
1 3 5 m-1 2m-1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
arc ctg x= - + -…+ (-1) +…
x 3 5 2m-1
x x x
- 1
- 2
- 3
我们再一次强调，虽然arctg x在这区间外具有确定的意义，但展开式（15）在哪儿就是不确定，因为级数没有和数。特别地，当x=1时，从级数（15）可得到著名的莱不尼兹级数.
3 5 2m-1
1 1 m-1 1 2m
- 1
- 2
- 3
π/4=arc tg 1=1- + -…+ (-1) +o(x ) (15)
3 5 2m-1
2m-1
1 1 m-1 1 2m
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
π/4=arc tg 1=1- + -…+ (-1) +o(x ) (16)
3 5 2m-1
- 1
这是给出数π的展开式的第一个级数。
393.对数级数、司特林公式
如果取log(1+x)(x<-1)作为函数f(x)，则对应的泰勒级数是这样的[125.5)]：
3 5 n
x x n-1 x
- 1
- 2
- 3
x- + -…+ (-1) +…
3 5 n
- 1
这级数只对于在区间(-1,1]上的x值收敛*;注：比较上页的脚注；当x=-1时可得到(只要符号上的差别)发散的调和级数。
这就是说，研究余项r (x)的情况仅仅对这些值来说才有意义。
n
- 1
首先取拉格朗日形式（8）的余项。因为
(n+1) n n!
f (x)= (-1) +…
n+1
(1+x)
- 1
- 2
- 3
[109.3)]，所以
1 n+1
- 1
r (x)= (-1) * x (0<θ<1)
n n+1
n+1 (1+θx)
- 1
如果0≤x≤1,则最后的因式不超过1，由此
1
- 1
r (x)= ≤
n n+1
于是
r (x)→0 (当n→∞时)
n
但是，当x<0时，这个因式的情况不明，因而必须采用歌西余项形式[见（9）]。我们有
n n+1 n
- 1
r (x)= (-1) x (1+θx) (0<θ<1)
n n+1
(1+θx)
- 1
于是
n+1
｜x｜ 1-θ n
- 1
- 2
- 3
｜r (x)｜≤ ( )
n 1-｜x｜ 1+θx
- 1
因为当x>-1时，有1+θx>1-θ，所以最后的因式小于1；因而，只要｜x｜<1，就显然有
r (x)→0
n
很有趣地，虽然歌西形式完全解决了在-1与1之间的所有x值的问题，但当x=1时，它什么结果也不能给出；因为在这情形下我们得到
n
- 1
｜r (1)｜≤(1-θ)
n
但由于θ随n而变的可能性，不能确定
n
- 1
(1-θ) →0
所以，总起说来，对于区间（-1，1]上所有的x值，事实上，有
2 3 n
x x n-1 x
- 1
- 2
- 3
ln(1+x)=x- + -…+(-1) +… (17)
2 3 n
- 1
特别地，当x=1时就得到我们熟悉的级数
1 1 n-1 1
- 1
ln2= 1- + -…+(-1) +… (18)
2 3 n
- 1
从级数（17）可以导出另一些有用的展开式。例如，以-x代替其中的x后，从级数（17）中逐项减去所得到的级数（在此我们认定｜x｜<1），就得到下面的级数：
1+x
- 1
ln =ln(1+x)-(1-x)
1-x
2 3 n
x x n-1 x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
=x- + -…+(-1) +…
2 3 n
2 3 n
x x n-1 x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
-(-x- - -…-(-1) )+…
2 3 n
3 4 2n
2x 2x n-1 2x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
=2x+ + -…+(-1) +…
3 5 n
2 4 2m
x x x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
=2x(1+ + -…+ +… ) (19)
3 5 2m+1
(n-m)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
a =a q
n m
a =a q
m m-1
2m 2(m-1)
x x
= q
- 1
m m-1
2m x 2(m-1)+1 q= * m-1 2(m-1) x 1 2 q= x 2m-1 a q- a
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
S = 1 1 (q≠1)
m q-1
当x>-1时
2 3 n
x x n-1 x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
ln(1+x)=x- + -…+(-1) +… (17)
2 3 n
- 1
当x=1时
1 1 n-1 1
- 1
ln2= 1- + -…+(-1) +… (18)
2 3 n
- 1
当｜x｜<1时
1+x
- 1
ln =
1-x
2 4 2m
x x x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
=2x(1+ + -…+ +… ) (19)
3 5 2m+1
- 1
作为应用，我们说明，如何借助于这级数可以导出一根很重要的分析公式——司特林（I.Stirling）公式。在上式（19）中取
1
- 1
x=
2n+1
,其中n是任意自然数，得, 因为在这情形下
1
1+
- 1
- 2
- 3
1+x 2n+1 n+1
= =
- 1
1-x 1 n
1-
2n+1
- 1
- 2
- 3
所以我们得到展开式
n+1 2 1 1 1 1
log = [1+ * + * +…+] (20)
n 2n+1 2 4
3 (2n+1) 5 (2n+1)
- 1
这展开式可以改写成下面的形状：方程左右两边同乘以（2n+1）/ 2
1 n+1 1 1 1 1
- 1
(n+ ) log = 1+ * + * +…
2 n 2 4
3 (2n+1) 5 (2n+1)
- 1
- 2
- 3
这个表达式显然大于1，小于
1 1 1 1
- 1
1+ [ + +…]=1+
3 2 4
(2n+1) (2n+1) 12(n+1)
- 1
- 2
- 3
所以，我们有
1 1 1
- 1
1<(n+ )log(1+ )<1+
2 n 12n(n+1)
- 1
由此，取指数，得到
1 1
n+ 1+
1 2 12n(n+1)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
e<(1+ ) < e
n
- 1
现在引入数串
n
n! e
- 1
- 2
- 3
a =
n 1
( n+ )
2
n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
所以
1
n+
1 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
a (1+ )
n n
=
- 1
- 2
- 3
a
n+1
1
a 1 12n
n 12n(n+1) e
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
1< < e =
a 1
- 1
. n+1 12n(n+1)
e
所以
a > a
n n+1
上面不等式两边分子分母相换，得
1 1
- -
12n 12n(n+1)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
a * e < a * e
n n
由此可见，随着n的增大，数串a 递减，大于0，切越来越小，并且趋于有穷极限a，
n
1
-
12n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
而数串a e 递增，并显示趋于同一极限a
n
- 1
1
-
12n
- 1
- 2
- 3
（因为e →1).因为对任何n，不等式
1
-
12n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
a * e < a < a
n n
成立，所以可以找到包含在0与1之间的这样的数θ，使得
θ θ
-
12n 12n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
a=a * e 或 a =a* e
n n
（我们指出，一般来说，数θ依赖于n。）回忆一下变量a 的定义，我们得到
n
- 1
因为
n
n!e
- 1
- 2
- 3
a =
1
(n+ )
2
n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
所以
n θ n!e 12 =a*e （0<θ<1) 1 (n+ ) 2 n θ n n 12n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
n!=a√n*( ) * e （0<θ<1)
e
- 1
根据瓦里斯公式，可得
θ
n n 12n
- 1
- 2
- 3
n!=a√n*( ) * e （0<θ<1) ㈢
e
- 1
根据瓦里斯公式[305]，上面的公式可以写成下面的形式
π 2n!! 2 1
= lim [ ] ㈣
- 1
2 n→∞ (2n-1)!! 2n+1
将㈣代入㈢中，在括号中的表达式可用下面的方式加以变形
2n 2
- 1
2n!! (2n!!) 2 (n!)
= =
- 1
(2n-1)!! 2n! 2n!
瓦理斯公式如下
设0<x<π/2,即有不等式
2n+1 2n 2n+1
sin x<sin x<sin x
在从0到π/2的区间上积分这些不等式
π π π
2 2n+1 2 2n 2 2n-1
- 1
- 2
- 3
∫ sin xdx< ∫sin xdx< ∫ sin xdx ㈠
0 0 0
下面计算积分
π π
2 m 2 m
- 1
- 2
- 3
J =∫ sin xdx,J` = ∫cos xdx （当m为自然数时）
m 0 m 0
分部积分，得
π π π
2 m-1 m-1 2 2 m-2 2
- 1
- 2
- 3
J =∫ sin xdx(-cosx)=-sin xcosx +(m-1)∫ sin xcos xdx
m 0 0 0
π
m-1 π 2 m-2 2
- 1
- 2
- 3
= -sin x(cos - cos0 ) +(m-1)∫ sin xcos xdx
2 0
2 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
双重替换变为0.以1-sin x代替cos x，得到
J =(m-1) J -(m-1)J （当m为自然数时）
m m-2 m
上面方程式两边同减上J ,得到循环公式
m
m-1
- 1
- 2
- 3
J = J
m m m-2
以这个公式，积分J 依次地化成J0或J1，即，当m=2n时有
π
2 2n (2n-1)(2n-3)....3*1 π
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
J =∫ sin xdx= *
2n 0 2n*(2n-2)…4*2 2
如果m=2n+1，则
π
2 2n+1 2n(2n-2)...4*2
- 1
- 2
- 3
J =∫ sin xdx=
2n+1 0 (2n+1)(2n-1)…3*1
对于J`也恰好得到同样的一些结果, 为了把所得到的表达式写的更简明些，可以利用符号m!!，于是可以写, (注意m!!表示不超过m而又与m有相同的奇偶性的那些自然数的乘积)
π π (m-1)!! * π
2 m 2 m m!! 2 当m是偶数时
- 1
- 2
- 3
∫ sin xdx=∫ cos xdx= { ㈡
0 0 (m-1)!! 当m是奇数时
m!!
- 1
还可推导出
π
2 m
- 1
- 2
- 3
∫ cos cos(m+2)xdx=0
0
π
2 m 1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
∫ cos sin(m+2)xdx=
0 m+1
- 1
把㈡代入㈠式得
2n!! (2n!!) π (2n-2)!!
< * <
- 1
(2n+1)!! 2n! 2 (2n-1)!!
2n!! 2 1 π 2n!! 2 1
[ ] < < [ ]
(2n+1)!! 2n+1 2 (2n-1)!! 2n
把㈡代入㈠式得
2n!! (2n-1)!! π (2n-2)!!
< * <
- 1
(2n+1)!! 2n!! 2 (2n-1)!!
2n!! 1 π 2n!! 2 1
[ ] < < [ ]
(2n+1)!! 2n+1 2 (2n-1)!! 2n
因为在两极端表达式之间的差
1 2n!! 2 1 π
[ ] < *
- 1
2n(2n-1) (2n-1)!! 2n 2
显然当n→∞时趋于零，所以π/2是它们的公共极限。因此
π 2n!! 2 1
=lim [ ] ㈣
- 1
2 n→∞ (2n-1)!! 2n+1
或
π 2244…2n2n
=lim
- 1
2 n→∞ 1335…(2n-1)(2n+1)
这就是瓦利斯公式。作为第一个把数π表示成容易计算的有理数串的极限的形式，它有着历史上的兴趣。在理论上的研究中下面利用它进行计算。对于数π近视值的计算，现在有快的多的方法达到目的。
θ
n n 12n
- 1
- 2
- 3
n!=a√n*（ ） * e （0<θ<1) ㈢
e
- 1
根据瓦里斯公式，上面的公式可以写成下面的形式
π 2n!! 2 1
=lim [ ] ㈣
- 1
2 n→∞ (2n-1)!! 2n+1
将㈣代入㈢中，在括号中的表达式可用下面的方式加以变形
2 2n 2
- 1
2n!! (2n!!) 2 (n!)
= =
- 1
(2n+1)!! 2n! (2n)!!
在这儿用公式㈢中n!的表达式替换n!，而用类似的表达式
θ
2n 2n 24n
- 1
- 2
- 3
n!=a√2n*（ ） * e （0<θ<1)
e
- 1
代替2n！，用初等方法化简后，得到
4θ-θ`
2n!! n 24n
- 1
- 2
- 3
=a * e
(2n-1)!! 2
于是
2θ-θ` 2
- 1
π 1 2 n 12n a
=lim a * * e =
- 1
2 n→∞ 2n+1 2 4
由此
2
- 1
a =2π而a= 2π
把这个a值代入公式㈢，我们就可以得到司特林公式
θ
n n 12n
- 1
- 2
- 3
n!= 2πn ( ) *e （0<θ<1)
e
- 1
这个公式使我们可能估计很大的n值时阶乘n!的数值
m
- 1
二项式级数，最后，取f(x)=(1+x) ,其中m是任何异于0及异于所有自然数的实数。在自然数m时，依牛顿公式可得已知的有穷展开式。在这种情况下，泰勒级数具有下面的形状
m(m-1) 2 m(m-1)...(m-n+1) n
- 1
1+mx+ x +…+ x +…
1*2 1*2...n
- 1
这个级数叫二项式级数，而它的系数叫做二项式系数。这个级数叫二项式级数，而它的系数叫做二项式系数。下面可见三角函数模拟计算机中的二项式级数页描述。
二项式级数
m
- 1
二项式级数，最后，取f(x)=(1+x) , 其中m是任何异于0及异于所有自然数的实数。在自然数m时，依牛顿公式可得已知的有穷展开式。在这种情况下，泰勒级数具有下面的形状[123.4)]。
m(m-1) 2 m(m-1)...(m-n+1) n
- 1
1+mx+ x +…+ x +…
1*2 1*2...n
- 1
这个级数叫二项式级数，而它的系数叫做二项式系数。 在对m所做的假定下，这些系
数中任何一个都不是0。
m+1
- 1
（反之，如果m是自然数，则 x 及所有在它后面的系数都变为0）。 利用达郎伯尔判别法容易确定，当｜x｜＜时，二项式级数（绝对）收敛，而当｜x｜>1时级数发散。
我们将在｜x｜<1的假定下来做余项r （x)的研究，
n
- 1
并且一开始就取它的歌西形式（拉格朗日形式在这儿给出的答案不是对所有的x值的）。
因为
(n+1) m-n-1
f (x)= m(m-1)…(m-n+1)(m-n)(1+x)
所以就有
m(m-1)...(m-n)(1+θx) n n+1
- 1
r (x)= (1+θ) x
n x
1*2...n
- 1
重新配置因数之后，把它表示成下面的形状：
m(m-1)...( m-1 -n+1) n m-1 1-θ n
- 1
r (x)= x mx (1+θx) ( )
n x 1+θx
1*2...n
- 1
这三个表达式中的第一个是二项式级数的普遍项，但对应于指数m-1；因为当｜x｜<1时二项式级数收敛，不管指数是怎样的，所以这个表达式当n→∞时趋于0，至于其他两个表达式，则第二个的绝对值包含在与n无关的界。
m-1 m-1
- 1
｜mx｜*(1-｜x｜) 与｜mx｜*(1+｜x｜) 之间；
而第三个。与393中一样，小于1. 这样一来，
r (x)→0
n
亦即对于｜x｜<1说来，有展开式
m m(m-1) 2 m(m-1)...(m-n+1) n
- 1
(1+x) =1+mx+ x +…+ x +… （22）
1*2 1*2*...n
- 1
它也是跟牛顿的名字联系着的。我们还没有考虑过在值x=±1时展开式的适合的问题。容易想出，二项式级数是超越几何级数的特殊情形，并且可从后者当a=-m,β=γ时，以-x代替x而得出。由于这点，按照390，7）中的表，容易作为二项式级数在它的收敛区间的端点x=±1上特征的敛散情况的表。
x=1 m>0
0>m>-1
m≤-1 绝对收敛
非绝对收敛
发散
x=-1
m>0
m<0 绝对收敛
发散
m
- 1
可以证明，每一次当二项式级数收敛时，它的和数就是(1+x) ，在这儿我们不讨论这点，借以避免余项的烦难的研究，因为这结果可简单地从以后将要证明的一个普遍定理[参看409.6)]推出。我们指出二项式定理的一些特别情形，例如，对应于m=-1,1/2,-1/2的情形：
-1 (-1)(-1-1) 2 (-1)(-1-1)...(-1-n+1) n
- 1
(1+x) =1- x+ x +…+ x +…
1*2 1*2*...n
- 1
1 2 n n
=1-x+x -…+(-1) x +… (-1<x<1)
- 1
1+x
(通常的几何级数)，然后
计算开方的模拟计算机电路
1/2 1 (1/2)(1/2-1) 2 (1/2)(1/2-1)...(1/2-n+1) n
- 1
(1+x) =1+ x+ x +…+ x +…
2 1*2 1*2*...n
1 1 2 1 3 5 4 n-1 (2n-3)!! n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
1+x =1+ x- x + x - x +…+(-1) x +…
2 8 16 128 2n!!
- 1
(-1≤x≤1) (23)
与
-1/2 1 (-1/2)(-1/2-1) 2 (1/2)(1/2-1)...(1/2-n+1) n
- 1
(1+x) =1- x+ x +…+ x +…
2 1*2 1*2*...n
1 1 3 2 5 3 35 4 n-1 (2n-1)!! n
=1+ x- x + x - x +…+(-1) x +…
2 8 16 128 2n!!
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
1+x (-1<x≤1) (24)
注：4!!=24=8,6!!=246=48,5!!=13*5=15
这是最重要的，强调指出; 在有理数m的情况下，二项式级数的和数总是给出根式的算术的值。
附注Ⅰ。
下面的有趣的展开式，例如属于石略米瓮(O.Schlomilch)的展开式，就建立在这特别情形上面。
首先，在(23)中令
2
- 1
x=-y
其中-1≤y≤1, 我们得到
2 ∞ 2n-1
- 1
1- 1-y =∑ (2n-3)!! y
y n=1 2n!!
2z
- 1
然后，在这儿用表达式 代替y,
2
1+z
- 1
- 2
- 3
其中z在-∞与+∞之间变化，有
∞ (2n-3)!! 2z z,如果｜z｜≤1
∑ ( )= {
n=1 2n!! 1+z 1/z,如果｜z｜≥1
1 1 2 1 3 5 4 n-1 (2n-3)!! n
- 1
1+x =1+ x- x + x - x +…+(-1) x +…
2 8 16 128 2n!!
- 1
(-1≤x≤1) (23)
2 1 2 1 4 1 6 5 8 n-1 (2n-3)!! 2n-1
- 1
1+y =1+ y- y + y - y +…+(-1) y +…
2 8 16 128 2n!!
∞ (2n-3)!! 2n-1
=∑ y
n=1 2n!!
2z 2 1 2z 2 1 2z 4 1 2z 6 5
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
1+( ) =1+ ( ) - ( ) + ( ) - (
2 2 2 8 2 16 2 128
1+z 1+z 1+z 1+z
n-1 (2n-3)!! 2z 2n-1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
+…+(-1) ( ) +… (-1≤x≤1)
2n!! 2 1+z ∞ (2n-3)!! 2z 2n-1 =∑ ( ) n=1 2n!! 2 1+z z,如果｜z｜≤1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
=
1/z,如果｜z｜≥1
- 1
其中：
2z 2
- 1
( ) =x
2
1+z
- 1
- 2
- 3
这是最重要的，强调指出; 在有理数m的情况下，二项式级数的和数总是给出根式的算术的值。
附注Ⅰ(1)。
下面的有趣的展开式，例如属于石略米瓮(O.Schlomilch)的展开式，就建立在这特别情形上面。
首先，在(23)中令
2
- 1
x=-y
其中-1≤y≤1, 我们得到
∞ 2n
- 1
y =∑ (2n-1)!! y
n=1 2n!!
2
- 1
- 2
- 3
1- 1-y
2z
- 1
然后，在这儿用表达式 代替y,
2
1+z
- 1
- 2
- 3
其中z在-∞与+∞之间变化，有
∞ (2n-1)!! 2z z,如果｜z｜≤1
∑ ( )= {
n=1 2n!! 1+z 1/z,如果｜z｜≥1
1 1 3 2 5 3 35 4 n (2n-1)!! n
=1- x+ x - x + x +…+(-1) x +…
2 8 16 128 2n!!
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
1+x (-1≤x≤1)
1 1 2 3 4 5 6 35 8 n (2n-3)!! 2n
=1- y+ y - y + y -…+(-1) y +…
2 2 8 16 128 2n!!
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
1+y
∞ (2n-1)!! 2n
=∑ y
n=1 2n!!
1
2z 2 1 2z 2 3 2z 4 5 2z 6 354
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
1+( ) =1- ( ) + ( ) - ( ) - (
2 2 2 8 2 16 2 128
1+z 1+z 1+z 1+z
n (2n-1)!! 2z 2n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
+…+(-1) ( ) +… (-1≤x≤1)
2n!! 2 1+z ∞ (2n-1)!! 2z 2n =∑ ( ) n=1 2n!! 2 1+z z,如果｜z｜≤1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
=
1/z,如果｜z｜≥1
- 1
其中：
2z 2
- 1
( ) =x
2
1+z
- 1
- 2
- 3
这是最重要的，强调指出; 在有理数m的情况下，二项式级数的和数总是给出根式的算术的值。
附注Ⅰ(2)。
下面的有趣的展开式，例如属于石略米瓮(O.Schlomilch)的展开式，就建立在这特别情形上面。
首先，在(23)中令
2
- 1
x=-y
其中-1≤y≤1, 我们得到
∞ 2n
- 1
y 2 =∑ n!! y
( ) n=1
2
- 1
1- 1-y
2z
- 1
然后，在这儿用表达式 代替y,
2
1+z
- 1
- 2
- 3
其中z在-∞与+∞之间变化，有
∞ 2z z,如果｜z｜≤1
∑ n!! ( )= {
n=1 1+z 1/z,如果｜z｜≥1
1 2 n n
=1-x+ x -…+(-1) x +… (-1<x<1)
- 1
1+x
1 2 3 4 5 n 2n
=1- y + y - y + y -…+(-1) y +… (-1<x<1)
2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
1+y
∞ 2n
=∑ n!! y
n=1
1
2z 2 2z 2 2z 4 2z 6
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
1+( ) =1- ( ) + ( ) - ( ) - (
2 2 2 2
1+z 1+z 1+z 1+z
n-1 2z 2n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
+…+(-1) ( ) +…
2 1+z ∞ 2z 2n =∑ n!! ( ) n=1 2 1+z z,如果｜z｜≤1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
=
1/z,如果｜z｜≥1
- 1
其中：
2z 2
- 1
( ) =x
2
1+z
- 1
- 2
- 3
这个例子因为下面的事实而是很有趣的：因为对于在不同区间上由不同的分析表达式z与1/z所定义的函数，同时却给出一个单一的在级数和数形状下的分析表达式[比较46，3°]。
Ⅱ.在上面所有考虑过的例子中，函数展开成泰勒级数引出这样的结果：对于使级数收敛的所有的x值，级数的和数等于建立起该级数的那个函数。因此，可能会引起读者这样的猜疑：要保证展开式（4）或（6）的成立，甚至想不必去检验关系式(5), 一般地以为只要确立级数的收敛性就够了。可是，事实上，事情并非这样。例如，如果回到在132目附注中考虑过的函数。
1
x²
- 1
- 2
- 3
f(x)=e (当when x≠0时),f(0)=0,
则对于这个函数，如我们见过的，虽然在x=0时有各级微商，但在这点都变成0。系数全部是0的形如(6)的泰勒级数当然处处收敛，但是任何一个x值(除x=0外)都不能够再产生原来的函数的值。
395.展开sin x与cos x成无穷乘积
我们在上面熟悉了一些最重要的初等函数依x的乘幂展开的无穷级数展开式，亦即熟悉了把这些函数表示成“无穷多项式”的形状。在本节末了，我们要把sin x与cos x表示成无穷乘积的形状，这些乘积仿佛是实现分解成对应于“无穷多项式”的因式。我们从推导一个辅助公式开始。从代数学中我们已经知道莫茥弗公式，参看下面426目
m
- 1
(cos z+i sin z) =cos mz+i*sin mz
其中m认定是自然数。依普通法则解开左端的括号，并比较左端与右端的“虚单位”i=√-1的系数，我们得到
m-1 m(m-1)(m-2) m-2 3
- 1
sin mx=mcos zsin z- cos zsin z+…
1*2*3
- 1
如果m=2n+1是奇数，则以公式：
2 2 k
cos z=(1-sin z)
替换余弦函数的偶次幂后，我们把所得结果表示成
2
- 1
sin(2n+1)z=sin z*P(sin z) （25）
其中P(u)是一个n次幂整多项式。如果用u ,u ,…u 表示这多项式的根，
1 2 n
- 1
那么这多项式可以用下面的方式分解成因式
u u
- 1
P(u)=a(u-u )…(u-u )=A(1- )…(1- )
1 n u u
1 n
- 1
- 2
- 3
从（25）容易定出根u ,u ,…,u ，只要注意到，
1 2 n
- 1
如果z使sin (2n+1)z变成0，但保持sin z异于0，
2
- 1
则sin z就一定是多项式P(u)的根。显然，包含在0与π/2之间并且依次递增的值, ,对应着也是递增着的(因而是相异的)根：
2 π
- 1
u =sin ,
1 2n+1
2 π
- 1
u =sin 2 ,…,
2 2n+1
2 π
- 1
u =sin n ,
n 2n+1
最后，系数A=P(0)可以作为当z→0时比值sin(2n+1)z/sin z的极限而定出；由此A=2n+1，这样一来，就得到公式
2 2
sin z sin z
- 1
- 2
- 3
sin(2n+1)z=(2n+1)sin z(1- )…(1- )
2 π 2 π
sin sin n
2n+1 2n+1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
令
x
- 1
z=
2n+1
可把这公式改写成
2 x 2 x
sin sin
x 2n+1 2n+1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
sin x=(2n+1)sin (1- )…(1- )
2n+1 2 π 2 π
sin sin n
2n+1 2n+1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
我们认定x异于0，±π，±2π,…,于是sin x≠0, 在条件(k+1)π>｜x｜下取自然数k，并设n>k。现在把 sin x表示成下面乘积的形状;
(n) (n)
- 1
sin x=U *K (27)
k k
- 1
其中
2 x 2 x
sin sin
- 1
- 2
- 3
(n) x 2n+1 2n+1
U =(2n+1)sin (1- )…(1- )
k 2n+1 2 π 2 π
sin sin n
2n+1 2n+1
- 1
- 2
- 3
只包含k个在括号中的因式，而
2 x 2 x
sin sin
(n) 2n+1 2n+1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
V = (1- )…(1- )
k 2 π 2 π
sin sin n
2n+1 2n+1
- 1
- 2
- 3
包括所有其余的因式。
(n)
- 1
暂设k是固定的；容易找到当n→∞时U 的极限，
k
- 1
因为这个表达式由确定的有限多个因式组成。因为
x
- 1
lim (2n+1)sin =x
n→∞ 2n+1
2 x
sin 2
2n+1 x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
lim = (h=1,2,…,k)
n→∞ 2 π 2 2
sin h h π
2n+1
- 1
- 2
- 3
所以
2 2 2
(n) x x x
- 1
- 2
- 3
U = lim U =x(1- )(1- )…(1- )
k n→∞ k 2 2 2 2
π 4π k π
- 1
由于（27），极限
(n)
- 1
V = lim V
k n→∞ k
存在，并且
sin x=U *V
k k
- 1
现在研究极限V 的估值。
k
- 1
已知，对于0<φ<π/2，不等式
2
φ<sin φ<φ*
π
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
成立。所以容易证明，比值sin φ/φ在区间(0,π/2]上递减，于是当φ=π/2时这比值达到自己的极小值。
*注：在验证中需要的只是这些不等式中的第一个。
2
- 1
2 x x
sin <
2n+1 2
(2n+1)
- 1
- 2
- 3
并且
2 2
- 1
2 π 4 h π
sin h > * (h=k+1,…,n)
2n+1 2 2
π (2n+1) .
- 1
- 2
- 3
于是
2 2
(n) x x
- 1
- 2
- 3
1>V >(1- )…(1- ) (28)
k 2 2
4(k+1) 4n
- 1
无穷乘积
2
x
- 1
- 2
- 3
∏ (1- ) 收敛
2
4h
2 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
(其中h 如此挑选，使得4h >x )
0 0
- 1
因为级数
2
- 1
∞ x
∑
h=h 2
0 4h
- 1
收敛. [389,定理5°]。因此余乘积
2
∞ X
- 1
- 2
- 3
V = ∏ (1- )
h=K+1 2
4h
- 1
- 2
- 3
当k→∞时应该趋于1[398,2°]。显然，如果写
(n)
- 1
1>V >V
k k
- 1
我们只加强了(28)中的第二个不等式；当n→∞时取极限(在固定的k下)，得到
1>V >V
k k
- 1
由此推知，
lim V =1
n→∞ k
于是
lim U = sin x，
k→∞ k
最后，我们就得到有名的展开式
2
x
- 1
- 2
- 3
sin x=x*∏(1- )
2 2
- 1
n π
2 2 2
x x x
- 1
- 2
- 3
=x*(1- )(1- )…(1- )…,
2 2 2 2
π 4π n π
- 1
- 2
- 3
这是欧拉首先建立的。根据司特林公式，见[393]对数级数，司特林公式
∏ n≈ 2πn n e
∏ n≈ 2πn n e e
∏ n≡ 2πn n e e (0<θ<1)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
所以
∏ (1- ) ≈ 2π(1- ) (1- )e
- 1
因为
-
a e < a <a
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
n n
成立，所以可以找到包含在0与1之间的这样的数θ，使得
-
- 1
a=a e 或 a =a e
n n
2
x
- 1
- 2
- 3
a=1+
2
π
2
x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
a =1+
n 2 2
n π
- 1
所以
a
- 1
e = n
a n ∏ (1- ) ≈ 2π(1- ) (1- ) e n = 2π(1+ ) (1+ ) e 1-
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
= 2π(1- ) (1- ) e
1-
- 1
sin x=x* ∏(1- )
1-
- 1
=x* 2π(1- ) (1- ) e
1-
- 1
设 n=10
sin x=x* ∏(1- )
1-
- 1
=10* 2π(1- ) (1- ) e
1-
- 1
自然，这个等式对于先前除外的那些值x=0,±π,±2π,…也成立，因为这时等式的两端都是0. 容易看出，这些各别的因式恰好对应于sin x的不同的根*。*关于重新配置因式的可能性，参看390.3）。如果在所得到的展开式中令x=π/2，就得到
= ∏(1- )
2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
π=
∏(1- )
2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
π=
1
1-
1 1
2π(1- )(1- ) e
1
1-
4
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
这个等式用于模拟计算机计算π
2
- 1
π√π=
1
1-
1 1
2(1- )(1- ) e
1
1-
4
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
于是又推出瓦里斯公式[305,比较388，2]。
我们再指出这个展开式的一个有趣的应用；以πx代替x，这展开式可以表示成下面的形状：
sin πx=πx∏(1- )
- 1
回忆一下函数Γ(x)的定义[390,(13)]
1 x
1 (1+ )
- 1
- 2
- 3
Γ(x)= ∏
x 1+
- 1
及关系式Γ(x+1)=x,Γ(x)[390,(9)]。于是
1 -x
(1+ )
- 1
- 2
- 3
Γ(1-x)=-x*Γ(-x)=∏
1-
- 1
相乘以后，立即得到所谓补充公式
x
- 1
Γ(x)*Γ(1-x)= (30)
sin πx
- 1
这也是欧拉求得的；这公式在任何非整数的x值时成立*。*注：特别的，在这儿令x=1/2，我们得到
2
- 1
[Γ(1/2)] =π
因为当x>0时，Γ(x)>0，所以Γ(1/2)=√π
类似于sin x的展开式，可导出展开式
cosx= ∏(1- )
= ∏(1- )
- 1
它显出cos x的根是
2n-1
± π
2
并且，它也可以从sin x的展开式依下面的公式得到：
cos x=sin(π/2-x)或cos x=sin2x/2sinx
根据司特林公式，见[393]对数级数，司特林公式
∏ n≈ 2πn n e
∏ n≈ 2πn n e e
∏ n≡ 2πn n e e (0<θ<1)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
所以
∞ n
∏ (1- ) ≈ 2π(1- ) (1- ) e
- 1
- 2
- 3
因为
-
a e < a <a
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
n n
成立，所以可以找到包含在0与1之间的这样的数θ，使得
-
- 1
a=a e 或 a =a e
n n
2
4x
- 1
- 2
- 3
a=1-
2
π
2
4x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
a =1-
n 2 2
(2n-1) π
- 1
所以
a
- 1
e = n
a ∞ n ∏ (1- ) ≈ 2π(1- ) (1- ) e n = 2π(1- ) (1- ) e 1-
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
= 2π(1- ) (1- ) e
1-
- 1
cos x= ∏(1- )
1-
- 1
= 2π(1- ) (1- ) e
1-
- 1
设 n=10
∞
- 1
cos x= ∏(1- )
1-
- 1
≈ 2π(1- ) (1- ) e
1-
- 1
最后，我们提一下展开式
sh x=x*∏(1+ )
∞
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
ch x= ∏(1+ )
)
2
∞
= ∏(1+ )
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
它们也可以借助于相似的讨论建立起来。
根据司特林公式，见[393]对数级数，司特林公式
∏ n≈ 2πn n e
∏ n≈ 2πn n e e
∏ n≡ 2πn n e e (0<θ<1)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
所以
∏ (1+ ) ≈ 2π(1+ ) (1+ )e
- 1
因为
-
a e < a <a
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
n n
成立，所以可以找到包含在0与1之间的这样的数θ，使得
-
- 1
a=a e 或 a =a e
n n
2
x
- 1
- 2
- 3
a=1+
2
π
2
x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
a =1+
n 2 2
n π
- 1
所以
a
- 1
e = n
a n ∏ (1+ ) ≈ 2π(1+ ) (1+ ) e n = 2π(1+ ) (1+ ) e 1+
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
= 2π(1+ ) (1+ ) e
1+
- 1
sh x=x* ∏(1+ )
1+
- 1
=x* 2π(1+ ) (1+ ) e
1+
- 1
设 n=10
sh x=x* ∏(1+ )
1+
- 1
=10* 2π(1+ ) (1+ ) e
1+
- 1
根据司特林公式，见[393]对数级数，司特林公式
∏ n≈ 2πn n e
∏ n≈ 2πn n e e
∏ n≡ 2πn n e e (0<θ<1)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
所以
∞ n
∏ (1+ ) ≈ 2π(1+ ) (1+ ) e
- 1
- 2
- 3
因为
-
a e < a <a
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
n n
成立，所以可以找到包含在0与1之间的这样的数θ，使得
-
- 1
a=a e 或 a =a e
n n
2
4x
- 1
- 2
- 3
a=1-
2
π
2
4x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
a =1-
n 2 2
(2n-1) π
- 1
所以
a
- 1
e = n
a ∞ n ∏ (1+ ) ≈ 2π(1+ ) (1+ ) e n = 2π(1+ ) (1+ ) e 1-
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
= 2π(1+ ) (1+ ) e
1-
- 1
ch x= ∏(1+ )
1+
- 1
= 2π(1+ ) (1+ ) e
1+
- 1
设 n=10
∞
- 1
cos x= ∏(1+ )
1+
- 1
≈ 2π(1+ ) (1+ ) e
1+
- 1
第六部分有限差分法戴劳公式
有限差分法是推导戴劳公式所依据的数学方法
122.有限差分法
设函数f(x)定义在某区间Ж上，并设以后所讲的x值都是属于这个区间的。将自变量x的某增量△x固定下来（为确定期间可设△x>0，但是设△x<0也毫无关系）之后，设
△f(x)=f(x+△x)-f(x)
一阶差分可以理解为，函数f()的增量等于x加上x的增量的函数值减去x的函数值。并把此式称为函数f(x)的一阶差分。一阶差分的一阶差分称为二阶差分
2
△ f(x)=△[△f(x)]=△f(x+△x）-△f(x)=f(x+2△x)-2f(x+△x)+f(x)
二阶差分可以理解为，函数f()的增量的增量等于x加上x的增量的函数值的增量减去x的函数值的增量。高阶差分可归纳地定义如下：
2 n
△ f(x)=△[△ f(x)]
n阶差分可以理解为，函数f()的n次增量等于x加上x的n次增量的函数值的增量减去x的函数值的n次增量, 切可对n阶差分建立以下公式
n n i i
△ f(x)= ∑(-1) C f(x+ n-i △x)=
i=0 n
n n(n-1) n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
=f(x+n△x)- f(x+ n-1 △x)+ f(x+ n-2 △x)-…+(-1) f(x)
1 1*2
- 1
n阶差分等于i从0到n的排列的各项的和, 这个排列的每项是-1的i次方乘以x加上x的增量乘以n-i的加权平均数的函数值. 它直接用函数本身在等距分点.
x,x+△x,x+2△x,…,x+n△x
表示出n阶差分。这公式容易用数学归纳法来证明，读者可以自己去验证. 现在把这些有限差分法跟导数和微分比较一下，
设函数f(x)在闭区间[x ,x +n△x]上有n-1阶连续导数
0 0
- 1
且至少在开区间（x ,x +n△x)上有有穷的n阶导数f (x)。于是我们有公式
n (n) n
△ f(x ）=f （ξ ）*△x ,其中x <ξ <x +n△x
0 n 0 n 0
- 1
当n=1时，这就是有限差分的公式，故有限差分公式是公式（7）的最简单形式. 为了要用数学归纳法来证明我们的论断，先假定公式（7）的变形，即将n换为n-1且对假设做相应改变后所得的公式成立，然后证明在所做假定下，公式（7）成立，以这个假定，可知函数△f(x)=f(x+△)-f(x)在区间[x ,x + n-1 △x] 上满足使（7）的变形公式得以成立的更多的
0 0
- 1
条件.
注：n-1表示n-1的加权平均数。因此可写出
n-1 n n-1 n-1 n-1
△ [△f(x )]=△ f(x )=[f (ξ +△x)-f (ξ )]△x （8）
0 0 n-1 n-1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
其中
x <ξ <x + n-1 △x
0 n-1 0
对这个公式的右边应用有限增量公式（注A），使立即得到公式（7），且
x <ξ <ξ <ξ +△x<x +n△x
0 n-1 n n-1 0
(n-1) (n)
- 1
注A：因函数f (x)在区间[ξ ,ξ +△x]上连续且在其内有有限导数f （x),故可应用有
n-1 n-1
- 1
限增量公式。
（n）
- 1
要注意的是，若函数f (x)在点x ，也存在而且在该点连续，则自（7）式让△x→0（其
0
- 1
时，ξ→x )，得
0
n
△ f(x )
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
(n) 0
f (x )= lim
n
△x
- 1
- 2
- 3
上面公式描述的是x 的n阶导数等于x 的函数值的n阶增量除以x的n阶增量的
0 0
- 1
从x 到0的极限值
0
这个有趣的公式给出了用一次极限步骤求得n阶导数的可能性，同时这个公式是n阶导数在点x 本身存在这个唯一的假定下成立的。就是说，在点x 的某邻域内存在导数
0 0
(n-1)
- 1
- 2
- 3
f`(x),f``(x),…,f (x)
于是在△x足够小时，可应用公式（8）。由于导数f ` (x )存在，应用96段的公式(2), 可列出
△f(x )=f`(x )*△x+α△x
0 0
- 1
(n-1) (n-1) (n-1)
f (ξ )-f (x )=f （x )*(ξ -x )+α(ξ -x )
n-1 0 0 n-1 0 n-1 0
- 1
与
(n-1) (n-1) (n)
f (ξ +△x)-f (x )=f (x )*( ξ +△x-x )+β(ξ +△x-x )
n-1 0 0 n-1 0 n-1 0
其中α与β依赖于△x且随△x而趋于零。由上式以及（8）可推出*:
n n n
△ f(x )=[f (x )+γ]*△x
0 0
- 1
其中γ是新的无穷小。最后，用△x除这等式的两边，并取△x→0的极限，便得公式（9）
（*注：利用0<ξ -x <(n-1)△x(△x>0)）
n-1 0
n
- 1
- 2
- 3
但必须指出（9）只有在导数f (x )存在时才成立。但在这导数不存在时，右边的极限也
0
- 1
可能存在*。
*注：因而（9）式根本不是n阶导数这一概念的新的，与老概念等价的定义.
例如我们考察如下定义的函数
3 1
- 1
f(x)=x *sin (x≠0), f(0)=0
x
- 1
而取x =0.这函数有一阶导数
0
2 1 1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
f`(x)=3x *sin -xcos
x x
- 1
但在点0没有二阶导数，因此式
2 1 1
- 1
3△x sin -△xcos
f(0+△x)-f(0) △x △x
=
- 1
△x △x
1 1
- 1
=3△x*sin -cos
△x △x
- 1
在△x→0时无极限。但
2
△ f(0) f(0+2△x)-2f(0+△x)+f(0)
=
2 2
- 1
- 2
- 3
△x △x
2 1 2 1
- 1
8△x *sin -2△x *cos
2△x △x
=
2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
△x
1 1
- 1
=8△x *sin -2△x *cos
2△x △x
- 1
123.戴劳公式的推导
（1）多项式的戴劳公式
若p(x)是n次整多项式：
2 3 n
- 1
p(x)=a +a x+a x +a x +…+a x (111）
0 1 2 3 n
- 1
则逐次将它微分n次
2 n-1
- 1
p`(x)=a +2a x+3a x +…+n*a x
1 2 3
2 n-2
- 1
- 2
- 3
p``(x)=12a +23a x +34a x +…+（n-1）n*a x
2 3 4 n
2 n-3
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
p```(x)=12**3a +234a x +2345a x +…+(n-2)（n-1）na x
3 4 5 n
- 1
…………………………
(n)
p (x)=123…n*a
n
- 1
并且在一切这些式子内令x=0，就得出用多项式本身及其导数在x=0时的数值去表达这多项式的系数的式子
(n)
p`(0) p``(0) p```(0) p (0)
- 1
- 2
- 3
a =p(0), a = , a = , a = ,…, a =
0 1 1! 2 2! 3 3! n n!
把这些系数值代入（111）
（n）
p`(0) p``(0) 2 p```(0) 3 p (0) n
- 1
- 2
- 3
p(x)=p(0)+ x+ x + x +…+ x (112)
1! 2! 3! n!
- 1
公式(112)常称为马克劳林公式（C.Maclaurin)公式.
这个公式与（111）的区别只在于系数写法不同。可以用它依（x-x )的幂展开
0
2 3 n
- 1
- 2
- 3
p(x)=A +A (x-x )+A (x-x ) +A (x-x ) +…+A (x-x ) (113)
0 1 0 2 0 3 0 n 0
- 1
来代替它依x的幂展开的多项式，这里的x 是x的某一特殊常数值
0
- 1
令x-x =ξ,p(x)=p(x +ξ)=P(ξ), 对于多项式
0 0
2 3 n
- 1
- 2
- 3
P(ξ)=A +A ξ+A ξ +A ξ +…+A ξ
0 1 2 3 n
- 1
的系数，依已证明的式子，可得
(n)
P`(0) P``(0) P```(0) P (0)
- 1
- 2
- 3
A =p(0), A = ,A = , A = ,…, A =
0 1 1! 2 2! 3 3! n n!
但P(ξ）=p(x +ξ), P(ξ）=p(x +ξ), P(ξ）=p(x +ξ),…,
0 0 0
- 1
于是P(0)=p(x ), P(0)=p(x ), P(0)=p(x ),
0 0 0
(n)
p`(x ) p``(x ) p```(x ) p (x )
0 0 0 0
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
而A =p(x ), A = , A = , A = ,…, A =
0 0 1 1! 2 2! 3 3! n n!
- 1
就是说，展开式（113）的系数可用多项式本身及其导数在x=x 时的数值来表达
0
- 1
把表达式（114）代入（113）：
(n)
p`(x ) p``(x ) p```(x ) p (x )
0 0 2 0 3 0 n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
p(x)=p(x )+ (x-x )+ (x-x ) + (x-x ) +…+ (x-x )
1! 0 2! 0 3! 0 n! 0
- 1
公式（115)以及它的特别情形（在x =0时）（112）都成为戴劳（B.Taylor)公式，
0
- 1
公式(112)常称为马克劳林公式（C.Maclaurin)公式. 它在代数上有什么重要的用处，这是大家都知道的. 这个公式描述的是n次多项式p(x)等于x=0的多项式值加上，x=0的多项式1阶导数值再乘以x减去0，再除以1的阶乘，再加上，x=0的多项式2阶导数值再乘以x减去0，再除以2的阶乘，一直向上面一样持续累加，再加上，x=0的多项式n阶导数值再乘以x减去0，再除以n的阶，结束. 我们做一条（对以后有用处的）明显的附注，若多项式p(x)可表示为下面的形式
c c c c
1 2 2 3 3 n n
- 1
- 2
- 3
p(x)=c + (x-x )+ (x-x ) + (x-x ) +…+ (x-x )
0 1! 0 2! 0 3! 0 n! 0
- 1
则必有
(n)
- 1
p(x )=c , p`(x )=c , p``(x )=c ,…, p (x )=c ,
0 0 0 1 0 2 0 n
（2）任意函数的展开式，余项的皮亚诺式
今转而考察一般并不是多项式的任意函数f(x)。准确些说，这意思就是，函数在含有点x 的某一区间[a,b]内是有定义的，并且直至(n-1)阶为止的各阶导数
- 1
0
(n-1)
- 1
f`(x）,f``(x),f```(x),…f (x)
(n)
- 1
除此以外，在这点x 处还有n阶导数f (x ).
0 0
- 1
注：若点x 是区间[a,b]的端点之一，则说及在这点的导数时，我们就是指单方导数而言。
0
- 1
单方导数介绍见单方导数页。
那么依（115）的形式，对于函数f(x)也可以作出多项式
(n)
f`(x ) f``(x ) f```(x ) f (x )
0 0 2 0 3 0 n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
p(x)=f(x )+ (x-x )+ (x-x ) + (x-x ) +…+ (x-x )
0 1! 0 2! 0 3! 0 n! 0
- 1
根据前面一段的附注，这多项式及其导数（直至n阶为止）在点x 处与函数f(x)及其导数各有相同的数值. 但在这次，只要f(x)不是n次多项式，就已经不能肯定等式f(x)=p(x)。多项式p(x)仅给出函数f(x)的某一近似式。因此研究差
r(x)=f(x)-p(x) (117)
就成为特别有趣的事情。
首先要证明，在x→x 时这差是高于n阶的无穷小（与x→x 比较）：
0 0
n
- 1
- 2
- 3
r(x)=o((x-x ) ) (118)
0
- 1
以多项式p(x)的性质，对于r(x)显然将成立等式
(n)
- 1
r(x )=r`(x )=r``(x )=…r (x )=0 (119)
0 0 0 0
现在确定以下的一般命题：对任何函数r(x)，在点x 有直到n阶导数的，如果满足条件
0
- 1
（119），则关系式（118）成立。 用数学归纳法证明。
当n=1时，这一命题的形式是：若在点x 具有（一阶）导数的函数r(x)满足条件
0
- 1
r(x ）=r`(x )=0则r(x）=o(x-x )=0
0 0 0
上面的情况是在是函数具有单方导数时成立。例如，在单方导数中，假设x 是单方导数的端点0，则
r(0）=r`(0)=0，r(x）=o(x-0 )=0
这个命题就可以直接证明
r(x) r(x)-0 r(x)-r(x )
- 1
lim = lim = lim 0 = r`(x ) =0
x→x x-x x→x x-x x→x x-x 0
0 0 0 0 0
今假定上述命题对某一n≥1成立，而来证明当n换成（n+1）时命题也成立，即：若在点x 具有直到n+1阶导数的函数r(x)满足条件
(n) (n+1)
- 1
r(x )=r`(x )=r``(x )=…=r (x )=r (x )=0 (119*)
0 0 0 0 0
n+1
- 1
则r`(x)=o((x-x ) ) (118*)
0
- 1
自（119*）可看出函数r(x)满足（119）这种形式的条件，故依假设对r(x)就有
n
- 1
r`(x)=o((x-x ) )
0
- 1
但依有限增量公式，拉格郎奇公式
r(x)=r(x)-r(x )=r`©(x-x ),
0 0
- 1
注：拉格郎奇公式如下, 或有限增量公式（其推导过程可见拉格郎奇公式推导页）
f(x +△x)-f(x )
0 0
= f`(x +θ△x)
- 1
△x 0
或△f(x )=f(x +△x)-f(x )=f`(x +θ△x)*△x
0 0 0 0
- 1
用r(x)替换△f(x ),r(c)替换f(x +θ△x)
0 0
- 1
r(x)=r(x)-r(x )=r`©(x-x ),
0 0
- 1
其中，r(x)=△f(x ), r(c)=f(x +θ△x)
0 0
- 1
其中c在x 与x之间，故│c-x │<│c-x │,于是
0 0 0
n n
- 1
- 2
- 3
r`©=o((c-x ) )=o((x-x ) ),
0 0
- 1
我们就得到（118*），这就是要证明的, 于是我们的命题对任何自然数n是成立的，而差式（117）确定满足关系式（118）。注意（116），便得公式. 因为
n
- 1
f(x)=p(x)+ o((x-x ) ),
0
- 1
所以
(n)
f`(x ) f``(x ) f```(x ) f (x )
0 0 2 0 3 0 n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
f(x)=f(x )+ (x-x )+ (x-x ) + (x-x ) +…+ (x-x )
0 1! 0 2! 0 3! 0 n! 0
n
+o((x-x ) ), (120)
0
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
这与公式（115）只相差余项（118）。以上述形式来给出余项的是皮亚诺（G.Peano)。公式（120）也称为带有皮亚诺式余项的戴劳公式. 已证明的公式是函数的增量的公式（110）的自然推广，该式可以写成
f(x)=f(x )+f`(x )(x-x )+o(x-x );
0 0 0 0
- 1
注：增量公式如下：（函数的增量的公式的推导见函数的增量的公式推导页）
△f(x )=f`(x )*△x+o(△x) (110)
0 0
- 1
或△y=y` *△x+o(△x) (110a)
x
- 1
因为△f(x )=f(x)-f(x )
0 0
- 1
△x=x-x
0
- 1
所以，（110）可以改写为
f(x)-f(x )= f`(x )*(x-x )+o(△x)
0 0 0
- 1
把f(x )移到方程右边，得
0
- 1
f(x)=f(x )+f`(x )(x-x )+o(x-x );
0 0 0 0
- 1
它对于n=1. 在哪里除了高于一阶无穷小的误差以外，函数f(x)可以表示为线性函数的形式，在这里除了高于n阶无穷小的误差以外。我们同样可以把f(x)表示为n次多项式的形式。很容易指出，函数f(x)的这种表示式是唯一的，即若在x 的近处同时有
0
2 n n
- 1
- 2
- 3
f(x)=A +A (x-x )+A (x-x ) +…+A （x-x ) +o((x-x ) )
0 1 0 2 0 n 0 0
- 1
及
2 n n
- 1
f(x)=A +A (x-x )+A (x-x ) +...+A （x-x ) +o((x-x ) )
0 1 0 2 0 n 0 0
- 1
则必有
A =A , A =A , A =A ,…, A =A ,
0 0 1 1 2 2 n n
实因，由恒等式
2 n
- 1
A +A (x-x )+A (x-x ) +…+A (x-x ) =
0 1 0 2 0 n 0
n n
- 1
=A +A (x-x )+…+A` (x-x ) +o((x-x ) ),
0 1 0 n 0 0
在x→x 时立刻得出A =A`
0 0 0
- 1
，约去这两项，并用x→x 除它们，得出
0
2 n-1
- 1
- 2
- 3
A +A (x-x )+A (x-x ) +…+A (x-x ) =
1 2 0 3 0 n 0
2 n-1 n-1
- 1
A +A (x-x )+A (x-x ) +...+A (x-x ) +o((x-x ) ),
1 2 0 3 0 0 0
由此类似地可得A =A` ,余类推。
1 1
- 1
有时应用公式（120）的另一形式更为方便。余项r(x)可以表示为：
α n
- 1
r(x)= (x-x )
n! 0
- 1
其中α依赖于x，而且随着x-x 同时趋向于0.
0
- 1
把这表达式代入（120），就得
(n)
f`(x ) f``(x ) f```(x ) f (x )+α
0 0 2 0 3 0 n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
f(x)=f(x )+ (x-x )+ (x-x ) + (x-x ) +…+ (x-x )
0 1! 0 2! 0 3! 0 n! 0
n
+o((x-x ) ), (120a)
0
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
更进一步，在公式（120）内把f(x ) 移到左边去，并且令x-x =△x
0 0
- 1
就可以将它改写成
1 2 1 n n n
- 1
△f(x )=f`(x )*△x+ f``(x )*△x +…+ f (x )*△x +o(△x ) (120б)
2! 0 n! 0
- 1
在这种形式下，它就更接近于函数的增量的公式中的（3）
△f(x )=f`(x )*△x+o(△x)
0 0
- 1
上式在函数的无穷小增量△f(x ) 内仅分出一个主项。
0
- 1
这里照常以△x作为基本无穷小。可是在公式（120б）内直至含△x的n次幂为止的各项却都写出来了，并且它们都是无穷小及无穷大的分级下的最简单的无穷小。这样，除了余项所生的误差以外，函数的增量就展开成为自变量的增量的幂了。最后回想起
2 2 (n) n
- 1
f`(x )*△x=df(x ), f``(x )*△x =d f(x ), …, f (x )*△x =d f(x ),
0 0 0 0 0 0
我们可以把（120б）改写成这样的形式。
1 2 1 n n
- 1
△f(x )=df(x )+ d f(x )+… d f(x )+o(△x )
2! 0 n! 0
- 1
由此可见（当△x→0时）在函数的无穷小增量的展开式中，除去各项分母中的阶乘因子不论，逐次的微分就表示对应阶的最简单的无穷小项。
125.例题
若x =0，戴劳公式看来是最简单的：
0
注;这个公式也被冠以马克劳林公式的名字。
(n)
f`(x ) f``(x ) f```(x ) f (x )
0 0 2 0 3 0 n n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
f(x)=f(x )+ x+ x + x +…+ (x-x ) +o(x ) (11)
0 1! 2! 3! n!
- 1
在取x-x 作为新的自变量之后，一般的戴劳公式总归可以化为这个特别情形的。
0
- 1
兹以例题的形式来考察某些初等函数依这公式的具体展开式。
1)设
x
- 1
f(x)=e ;
(k) x
- 1
则f (x)=e (k=1,2,3,…)
(k)
- 1
因为在这时f(0)=1,f （0）=1，故依公式（11）
0 0 2 0 (n)
x 0 e x e x e x n
- 1
- 2
- 3
e =e + + +…+ + o(x )
1! 2! n!
2 (n)
x x x x n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
e =1+ + +…+ + o(x )
1! 2! n!
- 1
2)若f(x)=sin x，则
(k) π
f (x)=sin(x+k* )
2
(2m) (2m-1) π m-1
- 1
- 2
- 3
,于是f(0)=0,f (0)=sin mπ=0, f (0)=sin (mπ- )=(-1) (m=1,2,3…)
2
- 1
因此，在公式（11）内令n=2m，就有
2*1-1 2*2-1 2*3-1 2m-1
1-1 x 2-1 x 3-1 x m-1 x 2m
- 1
- 2
- 3
sin x= (-1) + (-1) + (-1) +…+(-1) +o(x )
(2*1-1)! (2*2-1)! (2*3-1)! (2m-1)!
3 2 2m-1
x x m-1 x 2m
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
sin x =x- + -…+ (-1) +o(x )
3! 5! (2m-1)!
- 1
3)类似的，在f(x)=cos x时：
(k) π
f (x)=cos(x+k* )
2
(2m) m (2m-1)
- 1
- 2
- 3
, f(0)=1,f (0)=（-1） , f (0)=0 (m=1,2,3…)
这样（若取n=2m+1),
2*1-1 2*2 2*3 2m
1 x 2 x 3 x m x 2m+1
- 1
- 2
- 3
cosx=1+ (-1) + (-1) + (-1) +…+(-1) +o(x )
(2*1)! (2*2)! (2*3)! (2m)!
2 4 2m
x x m x 2m+1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
cos x =1- + -…+ (-1) +o(x ) (13)
2! 4! (2m)!
m
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
4)今考察幂函数x , 此处m非自然数也非零。在这情形，当x→0时，或则函数本身（若m<0），或则它的导数（从某一个n>m阶开始）无限地增大。因此，在此处已不能取x =0.
m 0
- 1
取x =1，即依(x-1)的幂而展开x .
0
如前所述，我们可以把x-1当做新的变量，但若我们仍旧用x来记这新的变量，则问题就成
m
- 1
为依x的幂而展开函数（1+x） 了。我们知道任意阶导数的普遍公式116,2）, 详细内容见任意阶导数的普遍公式.
(k) m-k
f (x)=m(m-1)…(m-k+1)(1+x)
(k)
- 1
因此f(0)=1,f (0)=m(m-1)…(m-k+1)
展开式的形式就是
m m(m-1) 2 m(m-1)...(m-n+1) n n
- 1
(1+x) =1+mx+ x +…+ x +o(x )
1*2 1*2...n
- 1
特别情形，例如在n=2及m=-1,1/2,-1/2时，就有
1 2 2
=1-x+x +o(x )
- 1
1+x
1 1 2 2
- 1
1+x=1+ x- x +o(x )
2 8
- 1
1 1 3 2 2
=1+ x- x +o(x )
1+x 2 8
3
x
- 1
- 2
- 3
在这些展开式中，第一式很容易由初等方法得出；此处的余项实即
1+x
- 1
至于第二式及第三式就需要更长的计算。比较63无穷小和无穷大的分级中的主部的分出
5)若转而讨论对数函数ln x，它在x→+0时趋向于-∞，所以仿照前例，我们只能考察函数.
f(x)=ln(1+x)
并且依x的幂展开它。那时任意导数的普遍公式116,3)
k-1
- 1
(k) (-1) (k-1)!
f (x)=
k
(1+x)
(k) k-1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
f(0)=0, f (0)=(-1) (k-1)!
注;记号0！我们永远理解为1
由此
2 3 n
x x n-1 x n
- 1
- 2
- 3
ln(1+x) =x- + -…+ (-1) +o(x )
2 3 n
- 1
6)今设f(x)=arc tg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m) (2m-1) m-1
f(x) (0)=0, f(x) (0)=(-1) (2m-2)!
根据戴劳公式（11），可得
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
- 1
- 2
- 3
arc tg x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
1-1 (2*1-2)! 0 2 2-1 (2*2-2)! 3 n-1 (2*n-1)! n n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
arc tg x= arc tg 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+(-1) x + o(x )
1! 2! 3! n!
- 1
于是它的展开式可表示为
3 5 2m-1
x x m-1 x 2m
- 1
- 2
- 3
arc tg x=x- + -…+ (-1) +o(x )
3 5 2m-1
- 1
6a)今设f(x)=arc ctg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4a)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m) (2m-1) m-1
f(x) (0)=0, （当2m为偶数时）f(x) (0)=(-1) (2m-2)!, （当2m-1为奇数时）
根据戴劳公式（11），可得
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
- 1
- 2
- 3
arc ctg x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
1 (2*1-2)! 0 2 2 (2*2-2)! 3 m-1 (2*m-1)! n n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
arc ctg x= arcctg 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+(-1) x + o(x )
1! 2! 3! n!
- 1
于是它的展开式可表示为
3 5 2m-1
x x m x 2m
- 1
- 2
- 3
arcc tg x=-x+ - -…+ (-1) +o(x )
3 5 2m-1
- 1
6b)今设f(x)=arc sin x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m) (2m-1) m-1 2 2 2 m-1 2
f (0)=0, f (0)=(-1) 1 *3 …(2m-1) =(-1) [(2m-1)!!]
于是它的展开式可表示为
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
- 1
- 2
- 3
arc sin x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
2 2 2
1-1 (2*1-1)!! 0 2 2-1 (2*2-1)!! 3 (2*n-1)!! n n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
arc sin x= arc sin 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+ x + o(x )
1! 2! 3! n!
2
(2*1-1)!! 0 2 2!!* 2!! 3 (2*n-1)! n n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
arc sin x= arc sin 0 - x+ x - x +…+ x + o(x )
1! 2! 2!! 3!! n!
- 1
于是它的展开式可表示为
3 5 2m-1
2!! x 4!!x m-1 (2m-2)!! x 2m
- 1
- 2
- 3
arc sin x=x- + -…+（-1） +o(x )
3!! 5!! (2m-1)!!
- 1
注note;5!!=135,6!!=246
6c)今设f(x)=arc cos x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5b)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m-1) (2m) m 2 2 2 m 2
f (0)=0, f (0)= (-1) 3 *5 …(2m-3) =(-1) [(2m-3)!!]
于是它的展开式可表示为
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
- 1
- 2
- 3
arc cos x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
2 2
0 (2*1-1)!! 2 0 3 (2*n-1)!! n n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
arc cos x= arc cos 0 + x+ x + x +…+ x + o(x )
1! 2! 3! n!
2 2
0 (2*1-1)!! 2 0 3 3!!3!! 4 (2*n-1)! n n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
arc cos x= arc cos 0 + x- x + x - x +…+ x + o(x )
1! 2! 3!! 3!!4!! n!
- 1
于是它的展开式可表示为
2 3 5 2m
x 3!! x 5!!x m (2m-1)!! x
- 1
- 2
- 3
arc cos x=1- + - -…+（-1） +o(x )
2!! 4!! 6!! (2m)!!
- 1
注note;5!!=135,6!!=246
7)对于函数f(x)=tg x，戴劳公式的系数构成的规律是较繁复的。但要写出它的为首几项并不困难。例如，因为
2 2
1 2sin x 1+2sin x Ⅳ 2+2sin x
- 1
- 2
- 3
f`(x)= , f(x)= , f(x)=2* , f (x)=8sin x
2 2 4 5
cos x cos x cos x cos x
Ⅳ
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
故f(0)=0,f`(0)=1,f``(0)=0,f```(0)=2,f (0)=0,
根据戴劳公式（120a）
3
x 4
- 1
- 2
- 3
tg x=x+ +o(x )或
3
3 5 7 2m-1
2x 4x 6x m-1 (2m) x n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
tg x=x- + - +…-(-1) + o(x ) (-π/2<x<π/2)
3 5 7 2m-1
- 1
例如
tg π/4=1
3
0.785339
- 1
- 2
- 3
tg 0.785339=0.785339+ =1.0928
3
- 1
例如
tg π/4=1
3 5 7
2*0.785339 4*0.785339 6*0.785339
- 1
- 2
- 3
tg 0.785339=0.785339+ - + =1.0928
3 5 7
- 1
利用已知的展开式，就已经可以不用求导数而直接写出较繁复的函数的展开式。例如，前一公式就可以从sin x及cos x的展开式而求得。举几个新的例子，在这时一切x的幂值到指定的幂包括在内为止，我们都要精确计算出来，而更高级的幂（没有写出来的）自然是包括在余项内。
7a)对于函数f(x)=ctg x，戴劳公式的系数构成的规律是较繁复的。但要写出它的为首几项并不困难。例如，因为
2 2
1 2cos x 1+2cos x Ⅳ 2+2cos x
- 1
- 2
- 3
f`(x)=- , f(x)=- , f(x)=-2* , f (x)=-8cos x
2 2 4 5
sin x sin x sin x sin x
Ⅳ
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
故f(π/2)=1,f`(π/2)=-1,f``(π/2)=0,f```(π/2)=-2,f (π/2)=0,
根据戴劳公式(120a)
3
x 4
- 1
- 2
- 3
ctg x=x- +o(x )或
3
3 5 7 2m-1
2x 4x 6x m-1 (2m) x n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
ctg x=x- + - +…-(-1) + o(x ) (0<x<π)
3 5 7 2m-1
- 1
例如
ctg π/4=1
3
0.785339 3
- 1
- 2
- 3
ctg 0.785339=0.785339- (0.78533-1.75) =0.93027
3
- 1
例如
ctg π/4=1
3 5 7
2*0.785339 4*0.785339 6*0.785339
- 1
- 2
- 3
ctg 0.785339=0.785339+ - + =1.0928
3 5 7
sin x 3
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
8)写出函数e 的展开式至x 。根据1)
sinx 1 2 1 3 3
e =1+sin x+ sin x + sin x + o(sin x )
2 6
- 1
sinx 1 2 1 3 3
e =1+sin x+ sin x + sin x + o(x )
2 6
3 3
- 1
- 2
- 3
注:原来应写成o(sin x)，但由于x与sin x是等价无穷小，所以写成o(x )是完全一样的。
但依2)
1 3 4
- 1
sin x=x- x + o(x )
6
- 1
于是
sin x 1 3 1 2 1 3 3
e =1+(x- x )+ x + x + o(x )
6 2 6
3
- 1
- 2
- 3
含x 的项互相消去，故最后得
sin x 1 2 3
e =1+x+ x + o(x )
2
- 1
类似地
tg x 1 2 1 3 3
e =1+x+ x + x + o(x )
2 2
6
- 1
- 2
- 3
9)写出函数ln cos x的展开式至x 的项。根据5)
1 2 1 3 3
- 1
ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o((cos x-1) )
2 2
1 2 1 3 6
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(x )
2 2
2
- 1
- 2
- 3
注：因为1-cos x与x 同阶，见无穷小及无穷大的分级中的无穷小的尺度，
3 6
- 1
故o((cos x-1) )同时就是o(x )
在这时，由于3),
1 2 1 4 1 6 7
- 1
cos x-1=- x + x - x + o(x )
2 24 720
- 1
由此
1 2 1 4 1 6 1 1 4 1 6 1 1 6 6
- 1
ln cos x-1=(- x + x - x )- ( x - x )+ (- x )=o(x )
2 24 720 2 4 24 3 8
- 1
或在化简后
1 2 1 4 1 6 6
- 1
ln cos x-1=- x - x - x + o(x )
2 12 45
- 1
类似地
2 1 3 3 5 5
- 1
ln (x+ 1+x =x- x - x + o(x )
6 40
- 1
而
sin x 1 2 1 4 1 6 6
ln =- x - x - x + o(x )
x 6 180 2835
一切这些不直接利用戴劳公式而得出的展开式，当然也可以由戴劳公式求得，并且由于函数的这种展开式的唯一性，也就恰好有着同样的系数。
附注, 因为在这里所考察的函数在点x=0的邻域内都有着任何阶的导数，所以我们在公式（11）内对于n的选取不受拘束，就是可以继续展开这些函数直至x的任意次幂。
10)若f(x)=tan x，则
根据导数除法运算规则
π
sin(x+k* )
- 1
- 2
- 3
(k) π 2 (k)
f (x)=tan(x+k* )=( )
π
cos(x+k* )
2
π (k) π π (k) π
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
cos(x+k* ) sin (x+k* )- sin (x+k* ) cos (x+k* )
2 2 2 2
- 1
=
k
π 2
[cos(x+k* )]
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
,于是 2
(2m)
f (0)=tan mπ=0
(2m-1)
f (0)=tan mπ=
π (2m-1) π π (2m-1) π
- 1
cos(x+k* ) sin (x+k* )- sin (x+k* ) cos (x+k* )
2 2 2 2
- 1
=
2m-1
π 2
[cos(x+k* )]
2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
因此，在公式（120）内令n=2m，就有
tan x=x+
π (2*1-1) π π (2*1-1) π
- 1
cos(x+k* ) sin (x+k* )- sin (x+k* ) cos (x+k* )
2 2 2 2
1
π 2
1! [cos(x+k* )]
2
π (2*2-1) π π (2*2-1) π
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
cos(x+k* ) sin (x+k* )- sin (x+k* ) cos (x+k* )
2 2 2 2
- 1
+0-
2
π 2
3! [cos(x+k* )]
2
π (2m-1) π π (2m-1) π
cos(x+k* ) sin (x+k* )- sin (x+k* ) cos (x+k* )
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
m-1 2 2 2 2
(-1)
2m-1
π 2
(2m-1)! [cos(x+k* )]
2
3 2 5
x x 2
3! -1 5!
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
tan x= x+(1 - )- ( + )
2 2 4 2 4 2
x x x
2! 4! 4!
2m+1
x 2
m-1 2m 1 2m-1 ( 2m+1)!
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
+…-(-1) [ (-1) - (-1) ( ) ]
2m 2m-2 2m 2m-1
x 2 x 2
2m! 2m!
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
11)若f(x)=cot x，则
根据导数除法运算规则
π
cos(x+k* )
- 1
- 2
- 3
(k) π 2 (k)
f (x)=cot(x+k* )=( )
2 π
sin(x+k* )
2
π (k) π π (k) π
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
sin(x+k* )cos (x+k* )- cos (x+k* ) sin (x+k* )
2 2 2 2
- 1
=
k
π 2
[sin(x+k* )]
2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
(2m)
f (0)=cot mπ=0
(2m-1)
f (0)=cot mπ=
π (2m) π π (2m) π
- 1
sin(x+k* ) cos (x+k* )- cos(x+k* ) sin (x+k* )
2 2 2 2
- 1
=
2m
π 2
[sin(x+k* )]
2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
因此，在公式（120）内令n=2m，就有
cot x=x+
π (2*1-1) π π (2*1-1) π
- 1
sin(x+k* ) cos (x+k* )- cos(x+k* ) sin (x+k* )
2 2 2 2
2m
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
π 2
[sin(x+k* )]
2
π (2*2-1) π π (2*2-1) π
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
sin(x+k* ) cos (x+k* )- cos(x+k* ) sin (x+k* )
2 2 2 2
- 1
+0-
2m
π 2
[sin(x+k* )]
2
π (2m-1) π π (2m-1) π
sin(x+k* ) cos (x+k* )- cos(x+k* ) sin (x+k* )
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
m-1 2 2 2 2
(-1)
π 2m
[sin (x+k* )]
2
2 2 4
x x 2
2! 1 4!
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
cot x= x+(-1+ )- ( + )
3 2 5 2 5 4
x x x
3! 5! 5!
2m+1
x 3 2
m-1 2m-1 1 2m-2 ( 2m)!
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
+…-(-1) [ (-1) - (-1) ( ) ]
2m+1 2m-2 2m+1 2m-1
x 2 x 2
(2m+1)! （2m）!
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
126.余项的其他形式
带有皮亚诺式余项的戴劳公式有各种各样的应用（参阅下一章近视公式）；但它们总是属于所谓《局部》性质的，即关于该点x 的性质的。
0
- 1
若另外也讲及其它数值x，则这些数值就必须假定是《十分接近》于x ，而不能预先任意
0
- 1
选取。与此同时，自然地企图利用多项式p(x)作为函数f(x)的近似式，用了它就可以计算f(x)的数值至所需的准确度。要多项式p(x)能胜任这一任务，就必须有可能对已给的x值去估计（117）式中的差。在这情形，皮亚诺形式的余项仅表明当x→0时r(x)也趋于0的性质，不能有什么用处。我们不能由此确定，对于怎样的x的数值多项式p(x)可以表达函数f(x)至预先指定的准确度；它也没有说到——对于已给的x——由于n的增大，余项r(x)=r (x)的数
n
- 1
值受到什么样的影响，等等。注：必须记住，一般地说来，余项r(x)依赖于n；为了着重指出这一点，我们以后将用到r (x)来表示它。因此我们转而推导余项r (x)的其他形式。
n n
- 1
为着明确起见，我们将考虑在点x 右方的区间[x ,x +H]（H>0)，并且设想函数f(x)是在
0 0 0
- 1
这区间内定义着的；至于函数被给定在区间[x -H,x ]内时的情形，就可以类似地加以说明
0 0
- 1
了。在这一次要做更多的假定，就是假设在全区间[x ,x +H]内前n个导数：
0 0
(n)
- 1
- 2
- 3
f`(x),f``(x),f```(x),…f (x)
(n+1)
- 1
都存在着而且都是连续的，此外，至少在开区间（x ,x +H)内(n+1)阶导数f (x)存在着而
0 0
- 1
且是有穷的。注意，由于（116）及（117），
(n)
f`(x ) f`(x ) f (x )
0 0 2 0 n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
r (x)=f(x)-f(x )- (x-x )- (x-x ) -…- (x-x ) (12)
n 1! 0 2! n!
今将x固定于区间[x ,x +H]内的任一数值，并且依靠公式（12）右端的式样，吧常数x
0 0
- 1
换成变量z，做一个新的辅助函数；
f`(x ) f`(x ) f (x )
0 0 2 0 n
- 1
- 2
- 3
ψ(z)=f(x)-f(x )- (x-x )- (x-x ) -…- (x-x )
1! 0 2! n!
- 1
其中自变量z算作是在区间[x ,x]内变动的。在这区间内，函数ψ(z)是连续的，并且在它的
0
- 1
端点处取得数值[参阅（12）]
ψ(x )=r (x),ψ(x)=0.
0 n
- 1
此外，在区间(x ,x)内存在着导数
0
f``(z)
- 1
- 2
- 3
φ(z)=-f(z)-[ (x-z)-f`(z)]
1!
f```(z) 2 f``(z)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
-[ (x-z) - (x-z)]
2! 1!
Ⅳ
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
f (z) 3 f```(z) 2
-[ (x-z) - (x-z) ]
2! 1!
(n+1) (n)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
f (z) n f (z) n-1
…-[ (x-z) - (x-z) ]
n! (n-1)!
- 1
或，在化简以后
(n+1)
- 1
f (z) n
φ`(z)=- (x-z)
n!
- 1
今取任意函数ψ(z)，它在区间[x ,x]内是连续的，并且至少在开区间[x ,x]内有不等于零的
0 0
- 1
导数ψ`(z)。
对函数φ(z)及ψ(z)应用柯西公式[114]：
φ(x)-ψ(x ) φ`©
0 =
- 1
ψ(x)-ψ(x ) ψ`©
0
- 1
此处x <c<x或c=x +θ(x-x ） (0<θ<1)
0 0 0
- 1
因为
(n+1)
f (c) n
- 1
- 2
- 3
φ(x)=0, φ(x )=r (x), φ`©=- (x-c)
0 0 n!
- 1
故
(n+1)
ψ(x)-ψ(x ) f (c)
0 n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
r (x)= * (x-c)
n ψ`© n!
今若把函数ψ(z)换成满足所设条件的任意函数，我们就可以得出余项r (x)的各种不同
n
- 1
的形式
设
p
- 1
ψ(z)=(x-z) , 此处p>0, ，就有：
p-1
- 1
ψ`(z)=-p(x-z) (x <z<x)
0
- 1
显然，这函数满足所设条件。因此
p (n+1)
-(x-x ) f (c)
0 n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
r (x)= * (x-c)
n p-1
-p(x-c) n!
(n+1)
f (c) n+1-p p
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
= (x-c) (x-x )
n!p 0
- 1
因为c=x +θ(x-x )
0 0
- 1
所以x-c=x-x -θ(x-x )=（1-θ）（x-x )
0 0 0
因而最后
(n+1)
- 1
f (x +θ(x-x ))
0 0 n+1-p n+1
- 1
r (x)= *（1-θ） （x-x ) (0<θ<1)
n n!p 0
这表达式称为余项的施辽密赫-洛希（O.Schlоmich-Roche）式。
由上式，给p以具体的数值，就可以得出余项的更特殊的形式。令p=n+1, 就得到简单的拉格朗奇余项：
(n+1)
f (c) n+1-p
- 1
- 2
- 3
r (x)= (x-c) (x <c<x) 或(x >c>x)
n (n+1)! 0 0
它使人想起戴劳公式的紧接着n阶导数下面的一项， 只是其中的(n+1)阶导数不取在x 处
0
- 1
的数值,而是取在某一中值c(在x 与x之间)处的数值。
0
- 1
这样，具拉格朗奇余项式的戴劳公式就有如下形式：
(n)
f`(x ) f``(x ) f```(x ) f (x )+α
0 0 2 0 3 0 n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
f(x)=f(x )+ (x-x )+ (x-x ) + (x-x ) +…+ (x-x )
0 1! 0 2! 0 3! 0 n! 0
(n+1)
- 1
- 2
- 3
f © n+1
-
(x-x ) (x <c<x) 或(x >c>x) (13)- 1
(n+1)! 0 0 0
若在式内把f(x )移至左端，就很容易看出，它是有限增量公式[112]
f(x)-f(x )=f`©*(x-x )
0 0
- 1
的直接推广。
虽然由于简单方便大家最乐意应用拉格朗奇余项式，但在个别情形，这形式对于估计余项是不适用的。因而不得不改用其他略繁的形式。 我们将在这里讲及其中之一，即柯西余项式，它是在施辽密赫-洛希的普遍式内令p=1而得到的：
(n+1)
- 1
f (x +θ(x-x ))
0 0 n n+1
- 1
r (x)= *（1-θ） （x-x )
n n! 0
第七部分 近似公式
127.近似公式
为着简单起见，在公式126中的（13）内令
x =0,
0
而c就改写成θx，此处0<θ<1：
(n) (n+1)
f`(0 ) f`(0) 2 f (0) n f (0) n+1
- 1
- 2
- 3
f(x)=f(0)+ x + x +…+ x + x （14）
1! 2! n! (n+1)!
- 1
若弃去这里的余项，则得近似公式：
(n) (n+1)
f`(0 ) f`(0) 2 f (0) n f (0) n+1
- 1
- 2
- 3
f(x)≈f(0)+ x + x +…+ x + x
1! 2! n! (n+1)!
- 1
它用多项式来代替原来性质繁复的函数。但在这一次我们已有可能估计这公式的误差，因为它（以绝对值）刚好等于所弃去的那一项。例如，若(n+1)阶导数（至少当变元在0与x之间变动时）的绝对值是以M为界限的，则
n+1
Mx
- 1
- 2
- 3
│r (x)│≤
n (n+1)!
转而讨论初等函数作为例子。我们不重复125的计算，只是把余项写成新的形式。
1)令
x
- 1
f(x )=e
0
近似公式为：
2 (n)
x x x x
- 1
- 2
- 3
e ≈1+ + +…+
1! 2! n!
- 1
因为在这里的余项是
θx
e n+1
- 1
- 2
- 3
r (x)= x
n (n+1)!
所以，例如在x>0时可估计误差如下：
n+1
x
- 1
- 2
- 3
│r (x)│<e *
n (n+1)!.
特别情形，若x=1，则
1 1 1
- 1
e ≈1+ + +…+
1! 2! n!
3
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
│r (1)│<
n (n+1)!.
我们在37内计算数e的近似值时已经应用过与此类似的公式。但余项的估计系由另一方法得出，那里的结果比较精确一些。
2)取f(x)=sin x,则得
3 5 2m-1
x x m-1 x
- 1
- 2
- 3
sin x ≈x- + -…+ (-1)
3! 5! (2m-1)!
- 1
在这情形余项为：
π
- 1
sin(θx+(2m+1) ) 2m-1
2 2m-1 m x
- 1
r (x)= x =(-1) cos θx*
2m (2m-1)! (2m-1)!
并且误差很容易估计为:
2m-1
│x│
- 1
- 2
- 3
│r (x)│≤
2m (2m-1)!
特别情形，若我们只取一项而令sin x≈x, 则为着要使误差小于0.001，就只要取（算作x>0）
3
- 1
x
<0.001
6
- 1
- 2
- 3
或x<0.1817, 这大约等于10°, 在应用二项的近似公式
3
x
sin x≈x-
6
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
时，要达到同一的准确度，就只要取
5
- 1
x
<0.001
120
- 1
- 2
- 3
或x<0.6544 (≈37°.5); 若限制角x<0.4129(≈23°.5), 则误差甚至可<0.0001，余类推。我们看到，戴劳多项式的项数愈多时，它就以愈大的准确度及在更长的距离内表达原来的函数。图52，a明显地表明这事实，在图中与函数y=sin x的图线并列的是各多项式的图线，这些多项式是：
3 3 5
x x x
- 1
- 2
- 3
y=x, y=x- , y=x- + ,等等,
6 6 120
1
0.5
1 2 3 4 5
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
图56，a
3)类似地，对于f(x)=cos x 就有
2 4 2m
x x m x
- 1
- 2
- 3
cos x ≈1- + -…+ (-1)
2! 4! (2m)!
- 1
并且
2m+2
m+1 x
- 1
- 2
- 3
r (x)= (-1) cosθx*
2m+1 (2m+2)!
因此
2m+2
│x│
- 1
- 2
- 3
│r (x)│≤
2m+1 (2m+2)!
例如，对于公式
2
x
- 1
- 2
- 3
cos x≈1-
2
- 1
误差
4
x
- 1
- 2
- 3
│r (x)│≤
3 24
就是说，在x<0.2213(≈13°)时误差<0.0001，与类推。在图52.b中有着函数y=cos x的图线及下面诸多项式
2 2 4
x x x
- 1
- 2
- 3
y=1, y=1- , y=1- + ,等等,
6 2 24
的图线以便比较。
1
0.5
1 2 3 4 5
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
图56，b
请读者注意，这与62，63，107诸段的公式比较起来已有很重大的进步；现在我们亦能确定误差的界限，并且能够得到具任何准确度的展开式，还将指出，戴劳公式是构成完全另一种类型的近似公式的来源。
4)作为例题，讨论与半径相较是很微小的圆弧被近似地引直时的惠更斯(Ch.Huy-gens)公式。设s是弧长，d是对应于它的弦，而δ是对应于半弧的弦（图53）。问题是要尽可能准确地用近似公式. s≈Ad+Bδ来表示弧长s，此处A,B是待定系数。
s δ y d a x/2 x f 图53. (a)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
若r是圆的半径，而2x是对应与弧s的圆心角，则有
1 3 θ` 5
- 1
d=2r*sin x=2r(x- x + x )
6 120
- 1
类似地，把x换成x/2，就又有
x 1 1 3 θ`` 5
- 1
δ=2r*sin =2r( x- x + x )
2 2 48 3840
- 1
由此
1 1 1 3 θ` θ`` 5
- 1
Ad+Bδ=2r[(A+ B)*x-( A+ B)*x +( A+ B)*x ]
2 6 48 120 3840
- 1
可是s=2rx，自然必须选取A及B使
1
- 1
A+ B=1
2
1 1
A+ B=0
6 48
5
- 1
因为这样一来，在所考察的公式中，左端与右端的差将仅只是含有x 的项了。
注:因为
1 1 1 3 θ` θ`` 5
- 1
Ad+Bδ=2r[(A+ B)*x-( A+ B)*x +( A+ B)*x ]
2 6 48 120 3840
1 1 1 3
- 1
- 2
- 3
≈2r[(A+ B)*x-( A+ B)*x ]
2 6 48
3
- 1
- 2
- 3
=2r[(1)*x-(0)*x ]
=2rx
所以
1
- 1
A+ B=1
2
1 1
- 1
- 2
- 3
A+ B=0
6 48
- 1
由上二式解得A及B的数值为
1 8
- 1
A=- , B= ,
3 3
- 1
而公式成为
8δ-d 2δ-d
s= =2δ+
3 3
- 1
很容易看出，其误差△可估计为：
5
x
- 1
- 2
- 3
｜△｜<r*
180
- 1
例如，在圆心角为30°，即
π
- 1
x= 时
12
根据这一估计，就有
｜△｜<r*0.000007
实际上s=r*0.523599…
所以误差并未超出规定的限度。下面介绍由上面推导出的关于x,d,δ，cos x的4个四元一次方程式, 这个方程式可以应用在模拟计算机上面进行计算。因为
8δ-d 2δ-d
s= =2δ+
3 3
d/2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
sin x=
r
- 1
s=2rx
r=s/2x
所以
d/2
- 1
sin x=
s/2x
d 2x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
= *
2 s
d*x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
=
s
- 1
8δ-d 2δ-d
s= =2δ+
3 3
d*x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
sin x=
2δ-d
- 1
2δ+
3
2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
sin x=± (1-(cos x) )
2 d*x d*x
- 1
± (1-(cos x) )= =
2δ-d 8δ-d 2δ+ 3 3 2 3d*x 2 1-(cos x) =( ) 8δ-d 2 3d*x 2 (cos x) =1-( ) (202a) 8δ-d
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
由图53，a可知，δ，角y，d/2在一个直角三角形上
所以
π-x d/2
- 1
sin y=sin =
2 δ
d*δ
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
=
2
π-x π x
- 1
- 2
- 3
sin =sin( - )
2 2 2
x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
= cos( )
2
(cos x+1)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
=
2 (cos x+1) d* δ 2 =( ) 2 2 2 (d* δ) cos x = -1 (202b) 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
因为b，δ,d/2组成一个直角三角形，所以
d 2 2 2
- 1
( ) +f =δ
2
- 1
又因为a,b都在半径上，所以
a+f=r, f=r-a
d 2 2 2
- 1
( ) +(r-a) =δ
2
- 1
r=s/2x,
2δ-d
- 1
s= 2δ+
3
2δ-d
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
2δ+
3
- 1
r=
2x
δ 2δ-d
- 1
- 2
- 3
= +
x 6x
δ δ d
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
= + -
x 3x 6x
4δ d
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
= -
3x 6x
- 1
所以a=cos x*r
d 2 2 2
- 1
( ) +(r-a) =δ
2
d 2 2 2 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
( ) +r (1-cos x) =δ
2
d 2 4δ d 2 2 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
( ) +( - ) (1-cos x) =δ (202c)
2 3x 6x
- 1
因为半径r，a,d/2组成一个直角三角形，所以
d 2 2 2
( ) +a =r
2
又因为a,b都在半径上，所以
a+f=r, a=r-f
2δ-d
- 1
2δ+
3
- 1
r=
2x
δ 2δ-d
- 1
- 2
- 3
= +
x 6x
δ δ d
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
= + -
x 3x 6x
4δ d
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
= -
3x 6x
- 1
d 2 2 2
( ) +(r-f) =r
2
所以
π-x
- 1
f=cos *δ
2
x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
=sin *δ
2
- 1
d 2 2 2
( ) +(r-f) =r
2
d 2 x 2 2
( ) +(r-sin *δ ) =r
2 2
d 2 4δ d x 2 4δ d 2
( ) +( - -sin *δ ) =( - )
2 3x 6x 2 3x 6x
d 2 4δ d 2-cos x 2 4δ d 2
( ) +( - - *δ ) =( - ) (202d)
2 3x 6x 2 3x 6x
最后得到关于x,cos x,d,δ的四元一次方程组
2 3d*x 2 (cos x) =1-( ) (202a) 8δ-d 2 (d* δ) cos x = -1 (202b) 2 d 2 4δ d 2 2 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
( ) +( - ) (1-cos x) =δ (202c)
2 3x 6x
- 1
d 2 4δ d 2-cos x 2 4δ d 2
( ) +( - - *δ ) =( - ) (202d)
2 3x 6x 2 3x 6x
5）为着同一目的，契贝塞夫(П.Л.Чебышев)曾给出下面的法则：
4
- 1
弦长近似地等于作在弦上而高为矢的 倍的等腰三角形两腰之和。
3 h δ s y f d x r 图53. (b)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
暂设h=γf;
底下就要说明：若设
4
- 1
γ=
3
- 1
则确能得（某种意义上的）最佳近似。以上我们知道
θ
- 1
1 1 3 1 5
d=r*sin x=r(x- x + x ) (0<θ <1);
- 1
2 6 120 1
相仿地，
θ
1 2 4
- 1
- 2
- 3
h=γf=γr(1-cos x)=γr(1-cos x)= γr( x - x ) (0<θ <1);
2 24 2
- 1
用s*记上述契贝塞夫法则中等腰三角形的两腰之和，既有
1 2 2
- 1
s*=2 ( x) +h
2
θ θ
1 2 1 4 2 x 2 3 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
=2rx (1- x + x ) +γ( - x )
6 120 2 24
- 1
2
γ 1 2 4 6 8
- 1
=2rx 1+( - ) x +ax +bx +cx
4 3
2
- 1
- 2
- 3
现在，为使根式中消去x 项，等于0，于是便得
4
- 1
γ=
3
- 1
为估计误差，把s*式改写成
4
- 1
s*=2rx 1+Ax (15)
而A的表达式中则含有x的二次项与四次项。设
π
- 1
x<
2
- 1
则有
2 4
x <2.5, x <6.5
而A的估计式为│A│<0.06,
因而
4
- 1
│A│x <0.4
4
- 1
为简便起见，把Ax 记为y，
依有限增量公式[112]有
4 y
- 1
1+Ax = 1+y =1+ (0<θ <1);
2 1+θy
- 1
最后的分式可估计如下：
4 4
y │y│ │A│x 0.06x 1 4
< = < < 0.1x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
2 1+θy 2 1+│y│ 2 4 2 0.6 2
1+│A│ x
- 1
把表达s*的（15）式与刚才所得结果比较一下，则见
s*=s+p,
其中，
5
- 1
│ρ│<0.1rx
误差的阶跟惠更斯公式一样。在第二卷十一章将无穷级数的时候。我们还要再讨论带余项的戴劳公式，在哪里这公式将有很大的作用。
由上面的推导可得
4
- 1
h≈ f
3
- 1
因为h,d/2在同一个直角三角形，这个直角三角形斜边的2倍约等于弧长s
所以
4 2 1 2
- 1
s≈2 f + d
3 4
- 1
因为
d/2
- 1
sin x=
r
- 1
s=2rx
r=s/2x
所以
d/2
- 1
sin x=
s/2x
d 2x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
= *
2 s.
d*x
=
s
4 2 1 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
s≈2 f + d
3 4
d*x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
sin x=
4 2 1 2
2 f + d
3 4
2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
sin x=± (1-(cos x) )
2
- 1
sin x=± (1-(cos x) )
d*x
- 1
=
4 2 1 2
2 f + d
3 4
2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
sin x=± 1-(cos x)
2
- 1
± 1-(cos x)
d*x
- 1
=
4 2 1 2
2 f + d
3 4
2 2
2 d *x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
(cos x) =1- (203a)
16 2 2
f + d
3
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
由图53，b可知，h，角y，d/2在一个直角三角形上
所以
π-x d/2
- 1
sin y=sin =
2 δ
d *δ
=
2
π-x π x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
sin =sin( - )
2 2 2 x =cos( ) 2 (cos x+1) = 2 (cos x+1) d*δ = 2 2 (cos x+1) d*δ 2 = ( ) 2 2 2 （d*δ）
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
cos x= -1
2
2
2 2 d
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
d *(f + )
4
- 1
cos x= -1 (203b)
2
- 1
因为b，δ,d/2组成一个直角三角形，所以
d 2 2 2
( ) +f =δ
2
d/2 d
- 1
δ= =
sin y 2sin y
d
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
=
(cos x+1)
2
2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
所以
2
- 1
d 2 2 d
( ) +f = (203c)
2 2(cos x+1)
因为半径r，a,d/2组成一个直角三角形，所以
d 2 2 2
( ) +f =r
2
又因为a,b都在半径上，所以
a=cos x*r
4 2 1 2
- 1
s≈2 f + d
3 4
4 2 1 2
f + d
3 4
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
r=s/2x=
x
- 1
所以
d 2 2 2 2
( ) +(cos x) *r =r
2
4 2 1 2 4 2 1 2
f + d f + d
- 1
- 2
- 3
d 2 2 3 4 3 4
( ) +(cos x) * = (203d)
2 2 2
x x
- 1
最后得到关于x,cos x,d,δ的四元一次方程组
2 2
2 d *x
- 1
- 2
- 3
(cos x) =1- (203a)
16 2 2
f + d
3
2
2 2 d
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
d *(f + )
4
- 1
cos x= -1 (203b)
2
2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
d 2 2 d
( ) +f = (203c)
2 2(cos x+1)
4 2 1 2 4 2 1 2
f + d f + d
- 1
- 2
- 3
d 2 2 3 4 3 4
( ) +(cos x) * = (203d)
2 2 2
x x
- 1
36.数e
我们在这里将应用极限步骤来定义一个新的数。这新的数迄今为止我们尚未遇到过。试考察整序变量
1 n
- 1
x =(1+ )
n n
并设法应用34的定理来确定它的极限。因为在指数n增大时幂的底数正在减小，所以整序变量的《单调》性不是直接看得出来的。为着证明x 的单调性，可根据二项定理展开上式：
n
1 n 1 n(n-1) 1 n(n-1)(n-2) 1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
x =(1+ ) =1+n* + * + * +…+
n n 2 3
n 1*2 n 1*2*3 n
n(n-1)...(n-k+1) 1 n(n-1)...(n-n+1) 1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
-
* +...+ * k n 1*2...*k n 1*2...*n n- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
.
1 1 1 1 2
=1+1+ (1- )+ (1- )(1- )+…+
2! n 3! n n
1 1 k-1 1 1 n-1
+ (1- )…(1- )+…+ (1- )…(1- ) (6)
k! n n n! n n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
若改上式左边的x 为x ，即使n增大1，则在该式右边首先须在最后加上第(n+2)项（正
n n+1
- 1
的），又前面写着的n+1项中每一项也都增大了些，
s s
- 1
因为在任一括号内1- 型的因式都已换成较大的因式1-
n n+1
- 1
由此必有
x >x
n+1 n
即x 是增大的整序变量。今将证明，它又是囿于上的。即证明x 是增大的整序变量。
n n
因为
1
- 1
1- <1
n
1 1 1
(1- ) <
- 1
- 2
- 3
2! n 2!
1 1 2 1
(1- )(1- ) <
- 1
- 2
- 3
3! n n 3!
…
1 1 n-1 1
(1- )…(1- ) <
- 1
- 2
- 3
n! n n n!
所以
1 1 1
- 1
x <2+ + +…+
n 2! 3! n!
在（6）式中略去一切括号内的因式会使它增大了些，因此
1 1 1
- 1
x <2+ + +…+ =y
n 2! 3! n! n
更进一步的，（由第2个分数起）将分母中的每一因子都换成2，使所得的式子又增大了些，因此
1 1 1
- 1
y <2+ + +…+
n 2 n-1
2 2 2
- 1
但是由第二项1/2起各项的总和<1, 因此
y ❤️
n
从而
x ❤️
n
由此，依34的定理，整序变量x必有一有穷极限。依照欧拉(L.Euler)的记法，用字母e表示这极限。这数
1 n
- 1
e=lim(1+ )
n
- 1
不论对于分析学本身，或是它的应用，都有极端的重要性。它的首15位十进小数，就是
e=2.718281828459045…
在下一段内，我们将指出简便的方法计算数e的近似值，同时顺便证明数e是无理数。
数e的某些性质（我们在以后[54,(13)再证明）使得选它作为对数系统的底时有特殊的便利。
1
- 1
注： α
e= lim (1+α) （13）
α→0
以e为底的对数称为自然对数，用不标出底的记号ln来表示它；在理论的研究中，总是用着自然对数。注：这对数有时误称为纳披尔对数，取名于对数的发明者-苏格兰数学家纳披尔（J.Napier,ⅩⅥ-ⅩⅦ世纪）. 纳披尔本人并不曾有过对数系统的底的概念（因为他系独创一格，在另外的原理上建立它们），但他的对数相当于底数接近1/e的对数。与他同时代的蒲琪（J.Burgi）则创底数接近e的对数。以十为底的常用对数与自然对数的关系借公式
log x=ln x*M
来表示，式中M为换底的模且等于
1
- 1
M=log e= =0.434294…
ln 10
- 1
这个公式也很容易求得，只需在恒等式
ln x
- 1
x=e
的两边各取以10为底的对数便是。
37.数e的近似计算法
回到等式（6），若固定k，并设n>k，弃去最后一部分，即在第k+1项以后的一切项，则得不等式
1 1 1 1 2
- 1
x >2+ (1- )+ (1- )(1- )+…+
2! n 3! n n
1 1 k-1
(1- )… (1- )
k! n n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
让n增大至无穷取极限，因所有括号的极限均为1，故得：
1 1 1
- 1
e≥2+ + +…+ =y
2! 3! n! k
- 1
这不等式对于任何自然数k都成立。因此，
x <y ≤ e
n n
由此，明显地[根据28，定理3]，又有
lim y =e
n
- 1
顺便注意到，y 是无穷级数[25 9)]
n
1 1 1
- 1
- 2
- 3
1+ + +…+ +…
1! 2! n!
- 1
的前n+1项的部分和，因而刚才所说的极限关系式表明e是它的和，也可以说e展开成为这个级数，因而可写
1 1 1
- 1
e=1+ + +…+ +…
1! 2! n!
- 1
在计算数e的近似值时，用整序变量y 比用x 更为便利。
n n
- 1
再估计y 向e接近的程度。
n
- 1
为此目的，先考察y 与在y 后面的任何数值y (m=1,2,3,…)之间的差。得
n n n+m
1 1 1
- 1
- 2
- 3
y -y = + +…+
n+m n (n+1)! (n+2)! (n+m)!
1 1 1 1
= {1+ + +…+ }
(n+1)! n+2 (n+2)(n+3) (n+2)(n+3)...(n+m)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
若在括号{ }内把各分母中的因子都换成n+2，则得不等式
1 1 1 1
- 1
y -y < {1+ + +…+ }
n+m n 2 m-1
(n+1)! n+2 (n+2) (n+2)
- 1
因为
1 1 > 2 (n+1) (n+2)(n+3) … 1 1 > m-1 (n+1) (n+2)(n+3)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
所以
1 1 1 1
{1+ + +…+ }>
2 m-1
(n+1)! n+2 (n+2) (n+2)
1 1 1 1
{1+ + +…+ }
(n+1)! n+2 (n+2) (n+3) (n+2)(n+3)...(n+m)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
所以
1 1 1 1
- 1
y -y < {1+ + +…+ }
n+m n 2 m-1
(n+1)! n+2 (n+2) (n+2)
- 1
若把括号内换成无穷级数的和，则不等式只有加强，故
1 n+2
- 1
y -y < *
n+m n
(n+1)! n+1
- 1
今使n固定不变，并使m趋于无穷；则整序变量y (标着序号m的)依次取数列
n+m
- 1
y ,y ,y ,…y ,…
n+1 n+2 n+3 n+m
中的各值，显然将收敛于e。因此，在取极限时得
1 n+2
- 1
e-y < *
n (n+1)! n+1
因为
l im y =e
n+m→+∞ n+m
y = l im y
n+m n+m→+∞ n+m
y = e
n+m
所以
1 n+2
- 1
0<e-y < *
n (n+1)! n+1
- 1
或最后，得
注：因
n+2 1 < （这是很容易验算的） 2 (n+1) n 1 n+2 1 n+2 * = * (n+1)! n+1 n!(n+1) n+1 1 n+2 = * 2 n! (n+1) 1 1 < * n! n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
所以
1 n+2
- 1
e-y < *
n (n+1)! n+1
1 1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
< *
n! n
- 1
因为
l im y >y
n+m→+∞ n+m n+m
y >y
n+m n
l im y >y
n+m→+∞ n+m n
因为
l im y =e
n+m→+∞ n+m
所以
e>y
n
e-y >0
n
1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
0<e-y <
n n!m
1
- 1
- 2
- 3
若用θ表示差e-y 与数 的比值（显然，它位于0与1之间），则又可以写成
n n!n
θ
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
e-y =
n n!n
- 1
将式中的y 用它的展开式代入，我们便得出重要的公式：
n
1 1 1 θ
- 1
- 2
- 3
e=1+ + +…+ + (7)
1! 2! n! n!n
- 1
它是计算e的出发点。弃去最后的一项《余项》，并把其余的各项都换上十进位小数的近似值，我们就得出e的近似值。
1
- 1
今将用公式(7)计算e，使准确至
7
10
- 1
- 2
- 3
首先需确定怎样选取n(它可由我们任意取定)，才能实现这一准确度。逐次计算阶乘的倒数(参阅附表)，我们看到，在n=10时，公式(7)的余项已是
θ θ
= < 0.00000003
- 1
n!n 10！*10
所以弃去它时，我们造成的误差远远地小于所规定的限度。我们就停止在这n值上。把其余的各项都化成十进位小数，在第八位小数上四舍五入地凑成整数(达到后备的准确度)，则最
1
- 1
大误差在绝对值上小于第八位小数的半个单位，即小于
8
2*10
- 1
- 2
- 3
我们把计算的结果统计成一表。与近似值并列着的记号（+或-）表示着校正数的符号，要回复到准确的数值必须要把校正数加上去才行。因此，我们刚才所看到的，在弃去余项时校正数小于
1
8
10
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
再检查在四舍五入地凑成整数时的校正数（连同它们的记号）以后，很容易判定，对于数e的近似值的总校正数必在
1 5
- 8 及 + 8
10 10
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
之间。由此数e本身必位于小数2.71828175及2.71828186之间，故可置
e=2.7182818±0.0000001
顺便注意到，公式（7）亦可以用来证明数e是无理数。
我们把计算的结果统计成一表。与近似值并列着的记号（+或-）表示着校正数的符号，要回复到准确的数值必须要把校正数加上去才行。因此，我们刚才所看到的，在弃去余项时校正数小于
1
8
10
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
2.00000000
1 =0.50000000 2! 1 =0.16666667- 3! 1 =0.04166667- 4! 1 =0.00833333+ 5! 1 =0.00138889- 6! 1 =0.00019841+ 7! 1 =0.00002480+ 8! 1 =0.00000276- 9! 1 =0.00000028- 10! 2.71828181
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
再检查在四舍五入地凑成整数时的校正数（连同它们的记号）以后，很容易判定，对于数e的近似值的总校正数必在
1 5
- 8 及 + 8
10 10
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
之间, 由此数e本身必位于小数2.71828175及2.71828186之间. 故可置
e=2.7182818±0.0000001
- 1
顺便注意到，公式（7）亦可以用来证明数e是无理数。由反面推论，试假定e等于有理数m/n；则若对于这个n写出公式（7），便有
m 1 1 1 θ
=1+ + +…+ + (0<θ<1)
n 1! 2! n! n!n
在这等式的两边都乘以n!，约去除末项以外的一切分母，我们将得出左边是整数，而右边是整数带着分数θ/n，但这是不可能的。这矛盾便证明了我们的命题。
第八部分计算三角函数的插值法
插值法的最简单问题，拉格朗奇公式
设有定义在区间[a,b]上的某函数f(x)，已算出它在区间内点x ,x ,…,x 处的m+1个值，
0 1 m
- 1
f(x ),f(x ),…,f(x ), (1)
0 1 m
- 1
而要从这些值来算出x为任意新值处的函数值f(x)。这就是插值法的最简单问题。这样来提问题，有许多地方是不正确的。平常，我们这样来理解这一问题：求一次数最小的多项式L(x)，使它在所给点x (i=0,1,…,m)(所谓插值法的基点)与f(x)取相同的数值f(x ),
I i
- 1
而在[a,b]的任何x，近似地设. 这就是插值法的最简单问题。这样来提问题，有许多地方是不确定的。 平常，我们这样来理解这一问题：求一次最小的多项式L(x), 使它在所给点x (i=0,1,…,m)(所谓插值法的基点)与f(x)取相同的数值f(x )，
i
- 1
而在[a,b]的任何x，近似地设
f(x)≈L(x) (2)
这一类的近似等式叫做插值公式。 因此，第一步是要找出近似公式，然后对函数f(x)的一定假设下估计近似公式(2)的误差。 为求满足条件
L(x )=f(x ) (i=0,1,…,m) (3)
I i
- 1
的多项式L(x),可引用m次多项式
(x-x )...(x-x )(x-x )...(x-x )
0 k-1 k+1 m
- 1
- 2
- 3
l (x)= (k=0,1,…,m)
(x -x )...(x -x )(x -x )...(x -x )
k 0 k k-1 k k+1 k m
- 1
- 2
- 3
相应于下标为k的每一这种多项式，在x=x 时取值1，而在x=x (i≠k)时取值0.
k i
- 1
这样，显然可知多项式
L(x)= ∑f(x )l (x) (4)
k k
- 1
上式表明多项式L(x)等于多项式l (m)和函数f(x )的乘积的各项和,
k k
- 1
满足(3)中的一切条件。这多项式的次数不高于m，因此它可为条件(3)所唯一确定；它叫做拉格朗奇插值多项式，而近似等式(2)叫做拉格朗奇插值公式。
注意，若引用如在插值基点x ,x ,…,x 处等于0的下面表达式
0 1 m
- 1
ω(x)=(x-x )(x-x )…(x-x )
0 1 m
- 1
则多项式l (x)可以写得更加紧凑些。即，我们显然有
k
ω(x)
- 1
- 2
- 3
(x-x )…(x-x )(x-x )…(x-x )= (x≠x )
0 k-1 k+1 m x-x k
k
- 1
- 2
- 3
而
(x -x )...(x -x )(x -x )...(x -x )=
k 0 k k-1 k k+1 k m
ω(x) ω(x)-ω(x )
k
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
lim = lim = ω`(x )
x→x x-x x→x x-x k
k k k k
- 1
于是
ω(x) m ω(x)
- 1
l (x)= , L(x)= ∑ *f(x )
k ω(x )(x-x ) k=0 ω(x )(x-x ) k
k k k k
- 1
上式表明函数f(x)在x点的插值约等于多项式L(x)在x点的值。多项式L(x)在k点的值l (x)
k
- 1
等于函数w(x)在x点的值除以函数w(x)在x点的导数和x-k的乘积. 多项式L(x)等于从k=0到k=m所有乘积的和，这个乘积为l(x）在x=k的值和函数f(x)在x=k的值的乘积. 由近似公式可知，
3 5 2m-1
x x m-1 x
sin x≈x- + + -…+(-1)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
3! 5! (2m-1)!
m ω(x)
- 1
L(x)= ∑ * sin (x )
k=0 ω`(x )(x-x ) k
k k
- 1
- 2
- 3
由于L(x)由m个插值点f(x)相加而成, L(x )约等于在k点的插值f(x )l (x)
m k k
- 1
L(x )≈l (x) f (x ) (k-m=1)
m m k
L(x )≈l (x) sin (x )
m m k
ω(x)
- 1
L(x )= * sin (x )
m ω`(x )(x-x ) k
k k
ω(x)
- 1
- 2
- 3
sin (x )≈ * sin (x )
m ω`(x )(x-x ) k
m m
- 1
- 2
- 3
例如
ω(x)
- 1
sin ( 31°)≈ * sin (30°)
ω`(x )(x-x )
m m
ω(x) π
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
= * sin( )
ω`(x )(x-x ) 6
m m
- 1
- 2
- 3
因为
ω(x)=(x-x )(x-x )…(x-x )
0 1 m
- 1
上式中去m为正整数，x=m,x =0,x =1,x =2,…,x =m
0 1 2 m
- 1
ω(x)=m!
ω(x)= (x-x )[(x-x )...(x-x )]+ (x-x )`[(x-x )…(x-x )]
0 1 m 0 1 m
- 1
= m[(x-x )…(x-x )]`+m!
1 m = m[(x-x )`((x-x )...(x-x ))+(x-x )((x-x )...(x-x ))`]+m! 1 2 3 1 2 m = m![(m-1)! (x-x )...(x-x )`+(m-1)]+m! 2 m = m![(m-1)! ((m-2)! (...(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m!
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
例如
ω(x) π
- 1
sin ( 31°)≈ * sin( )
ω`(x )(x-x ) 6
m m m! π = * sin( ) m![(m-1)! ((m-2)! (...(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m! 6 1*2*3...*30 π = * sin( ) 31!(30!(29!(28!(...1!+1)+28!)+29!)+30!)+31! 6 ω(x) π
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
cos ( 31°)≈ * cos ( )
ω`(x )(x-x ) 6
m m
m! π
= * cos ( )
m![(m-1)! ((m-2)! (...(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m! 6
1*2*3...*30 π
= * sin( )
31!(30!(29!(28!(...1!+1)+28!)+29!)+30!)+31! 6
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
21 ω(x) 20
e ≈ * e
ω`(x )(x-x )
m m
m! 20
= *e
m![(m-1)! ((m-2)! (...(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m!
1*2*3...*21 20
= *e
21!(20!(19!(18!(...1!+1)+18!)+19!)+20!)+21!
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
1.拉格朗奇公式的余项
现在来估计差式f(x)-L(x), 其中x是区间[a,b]上任何固定的值，但异于插值基点。设f(z)在这区间上具有到(m+1)阶的导数。不管K是什么样的常数，函数
φ(z)=f(z)-L(z)-K*ω(z)
也有m+1阶导数而且也在基点x (i=0,1,…,m)等于0.
i
- 1
现在我们这样选择常数K，使z=x时还有φ(x)=0,即设
f(x)-L(x)
- 1
K= (5)
w(x)
(因x≠x,故w(x)≠0).
- 1
- 2
- 3
依洛尔定理[111]，在函数φ(z)的•m+2个根x,x ,x ,…,x 之间的m+1个区间上，
0 1 m
- 1
可有其导数φ(z)的m+1个不同的根。 对函数φ(z)及其m+1个根之间的m个区间上再应用洛尔定理， 便可知二阶导数φ``(z)有m个不同的根，等等。 这样推导下去，到
(m+1)
- 1
第m+1步，便推得第m+1阶导数φ (z)有根ζ，因而
(m+1)
- 1
φ (ζ)=0 (a<ζ<b), (6)
但
(m+1)
L (z)≡0,
因为多项式L(z)是不高于m次的，而
(m+1)
w (z)≡(m+1)!
依辅助函数φ(z)的定义，有
(m+1) (m+1)
φ (z)=f (z)-K*(m+1)!,
故自(6)可得
(m+1)
f (ζ)
- 1
- 2
- 3
K=
(m+1)!
- 1
最后，自(5)求得
(m+1)
f (ζ)
- 1
- 2
- 3
f(x)=L(x)+ w(x) (a<ζ<b) (7)
(m+1)!
- 1
这便是带余项的拉格朗奇插值公式。它与(2)不同，是准确等式。附注，若在区间[a,b]上
(m+1)
- 1
max│f (z)│=M <∞
m+1
- 1
则由于在这区间上
m+1
- 1
│w(z)│≤(b-a)
便得公式(2)的误差的下列估计式
M
m+1 m+1
- 1
- 2
- 3
│f (x)-L(x)│≤ (b-a)
(m+1)!
- 1
右边只对很窄的一类函数f(x)才能在m→∞时趋于0；例如，对于在[a,b]上可微分任意次的，且所有导数都以同一个常数M为上界的那种函数，便有这种情形。这时，随着插值基点个数的增多，而不管这些基点是依什么规律取的，公式(2)的误差将均匀趋近于零。这时，随着插值基点个数的增多，而不管这些基点是依什么规律取的，公式(2)的误差将均匀趋近于零。依马尔钦凯维奇(J.Marcinkiewicz)证明，对任取的连续函数，可适当选择一序列基点组，达到上述目的。但根据法贝尔(G,Faber)定理，并没有这样一种选取基点的规律，使其能在上述意义下同时适用于所有的连续函数。关于这一类问题以及有关问题的详情，我们这里不可能细讲了。
因为
(m+1)
f (ζ)
- 1
- 2
- 3
f(x)=L(x)+ w(x) (a<ζ<b) (7)
(m+1)!
- 1
上式表明，f(x)等于L(x)加上余项，余项等于f(ζ)的m+1次导数和w(x)的乘积再除以（m+1)！
m ω(x)
- 1
L(x)= ∑ *f(x )
k=0 ω`(x )(x-x ) k
k k
- 1
- 2
- 3
所以
(m+1)
m ω(x) f (ζ)
- 1
- 2
- 3
L(x)= ∑ *f(x )+ w(x)
k=0 ω`(x )(x-x ) k (m+1)!
k k
- 1
- 2
- 3
由于L(x)由m个插值点f(x)相加而成, L(x )约等于在k点的插值f(x )l (x)
m k k
- 1
L(x )≈l (x) f (x ) (k-m=1)
m m k
L(x )≈l (x) sin (x )
m m k
(m+1)
m ω(x) f (ζ)
- 1
- 2
- 3
L(x )= ∑ *sin (x )+ w(x)
m k=0 ω`(x )(x-x ) k (m+1)!
m m
(m+1)
ω(x) f (ζ)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
L(x )≈sin (x )≈ *sin (x )+ w(x)
ω`(x )(x-x ) k (m+1)!
m m
(m+1)
ω(x) sin (ζ)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
= *sin (x )+ w(x)
ω`(x )(x-x ) k (m+1)!
m m
- 1
- 2
- 3
例如
(m+1) π
sin ( )
ω(x) π 6
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
sin ( 31°)≈ * sin( )+ w(x)
ω`(x )(x-x ) 6 (m+1)!
m m π cos ( ) m! π 6 = * sin( )+ m! [m![(m-1)! ((m-2)! (...(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m!]m! 6 (m+1)! π cos ( ) (m-1)! π 6 = * sin( )+ m! [(m-1)! ((m-2)! (...(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m! 6 (m+1)! π cos( ) 1*2*3...*29 π 6 = * sin( ) + 30! 30!(29!(28!(...1!+1)+28!)+29!)+30! 6 31! (m+1) π cos ( ) ω(x) π 6
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
cos ( 31°)≈ * cos( )+ w(x)
ω`(x )(x-x ) 6 (m+1)!
m m π sin( ) 1*2*3...*29 π 6 = * sin( ) + 30! 30!(29!(28!(...1!+1)+28!)+29!)+30! 6 31! 20 (m+1)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
21 ω(x) 20 (e )
e ≈ * e + w(x)
ω`(x )(x-x ) (m+1)!
m m 20 (m+1) m! 20 (e ) = *e + m![(m-1)! ((m-2)! (...(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m! (m+1)! 20 1*2*3...*21 20 e = *e + m! 21!(20!(19!(18!(...1!+1)+18!)+19!)+20!)+21! (m+1)!
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
130.有重基点的插值法，埃尔密特公式
我们可以提出更一般的插值法问题，即在基点x ,x ,…,x 处不仅给定函数f(x)本身的
0 1 m
- 1
值，而且还给定其各阶导数的值：
(n )
0
- 1
- 2
- 3
f(x ),f`(x ),…,f (x ),
0 0 0
(n )
1
- 1
- 2
- 3
f(x ),f`(x ),…,f (x ), (8)
1 1 1
……………………
(n )
m
- 1
- 2
- 3
f(x ),f`(x ),…,f (x ),
m m m
其中n ,n ,…n 是非负的整数。这些条件的总数是
0 1 m
- 1
(n +1)+(n +1)+…+(n +1)=N
0 1 m
利用(8)中所有条件，来计算函数f(x)在[a,b]中异于任何基点的x处的值，这一问题，也像以前一样，应这样来理解：求次数最低的多项式H(x)，它以及它的直到n 阶的导数，
i
- 1
在每一基点x 处，与函数f(x)本身及其相应各阶导数，取同样的一些数值，然后近似的设
i
- 1
f(x)≈H(x). (9)
基点x 分别叫做n +1重的插值基点。
I i
- 1
可以证明，不高于N-1次的，且满足一切所设条件的多项式H(x)是存在的而且是唯一的。这叫埃尔密特插值多项式，而公式(9)叫做埃尔密特(Ch.Hermite)插值公式.
若设所有的n 等于零，我们就又回到拉格朗奇公式(2)，
i
- 1
但埃尔密特公式还有旁的特殊情形：只取一个基点x ，然而是n+1重的；
i
- 1
就是说，要求不高于n次的多项式T(x)，使它以及它的n个导数在点x 的值，
0
- 1
各与函数f(x)及其各阶导数的值相同。我们知道，满足这些条件的是戴劳多项式[124(116)]。
n
f`(x ) f``(x ) f (x )
- 1
- 2
- 3
. 0 0 2 0 n
T(x)=f(x )+ (x-x )+ (x-x ) +… (x-x ) (116)
0 1! 0 2! 0 n! 0
- 1
上式表明多项式T(x)等于x 的函数值加上n个值，
0
- 1
第一个值为f(x)的一阶导数和x-x 的乘积再除以1！
0
- 1
第二个值为f(x)的二阶导数和(x-x )平方的乘积再除以2！
0
- 1
……………………
第n个值为f(x)的n阶导数和(x-x )n次方的乘积再除以n！
0
- 1
所以近似公式
f(x)≈T(x)
[比较近似公式127]也是埃尔密特插值公式的特例。使公式(9)成为准确等式的余项，也可用相似于上段中的步骤推导出来。试考察N次多项式
n +1 n +1 n +1
0 1 m
- 1
- 2
- 3
Ω(z)=(z-x ) (z-x ) …(z-x ) ,
0 0 0
- 1
并在a≤z≤b上设Φ(z)=f(z)-H(z)-K*Ω(z)，
而K=常数。若设函数f(x)在[a,b]上有相继的n阶导数，则Φ(z)也是这样的。固定异于基点的值z=x,而取常数K为：
f(z)-H(z)
- 1
K= [Ω(x)≠0!]; (10)
Ω(x)
- 1
这样选取K之后，函数Φ(z)在z=x也等于0. 如果每个几重根算几个，那么Φ(z)总共就有N+1个根。注：读者熟知的关于多项式的重根这一概念，现在推广到任意函数Φ(z)上来：若α使Φ(z)及其p-1个导数等于零，则说α是Φ(z)的p重根。像以前一样依次应用洛尔定理(只不过函数Φ(z)的每一个重根在做了几步之后就要固定下来而作为其相继各阶导数的根），
(N)
- 1
最后便可断定导数Φ (z)在某点ξ等于零。
由此得
(N)
f (ξ)
- 1
- 2
- 3
K=
N!
- 1
依(10)
(N)
f (ξ)
- 1
- 2
- 3
f(x)=H(x)+ Ω(x) (11)
N!
- 1
这就是带余项的埃尔密特公式。带余项的带余项的拉格朗奇公式[(7)]是上式的特殊情形。同样，若只取一个n+1重的基点x ，
0
- 1
便得到公式(11)的一个特例，即带拉格朗奇式余项的戴劳公式[126(13)]。 因为
f(x)≈H(x).
f(x)≈T(x)
多项式T(x)是多项式H(x)的特例
所以T(x)≈H(x)
因为
n
f`(x ) f``(x ) f (x )
- 1
- 2
- 3
. 0 0 2 0 n
T(x)=f(x )+ (x-x )+ (x-x ) +… (x-x ) (116)
0 1! 0 2! 0 n! 0
(N)
f (ξ)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
f(x)=H(x)+ Ω(x) (11)
N!
- 1
所以
(N)
f (ξ)
- 1
- 2
- 3
f(x)=T(x)+ Ω(x)
N!
n (N)
f`(x ) f``(x ) f (x ) f (ξ)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
. 0 0 2 0 n
f(x)=f(x )+ (x-x )+ (x-x ) +… (x-x ) + Ω(x)
0 1! 0 2! 0 n! 0 N!
- 1
因为
n +1 n +1 n +1
0 1 m
- 1
- 2
- 3
Ω(z)=(z-x ) (z-x ) …(z-x ) ,
0 0 0
- 1
所以
n +1 n +1 n +1
0 1 m
- 1
- 2
- 3
Ω(z)=(x-x ) (x-x ) …(x-x ) ,
0 0 0
n
f`(x ) f``(x ) f (x )
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
. 0 0 2 0 n
f(x)=f(x )+ (x-x )+ (x-x ) +… (x-x )
0 1! 0 2! 0 n! 0
(N)
f (ξ) n +1 n +1 n +1
0 1 m
+ (x-x ) (x-x ) … (x-x )
N! 0 1 m
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
例如
(n)
tg`(60°) tg``(60°) tg (60°)
- 1
- 2
- 3
tg ( 61°)≈tg(60°)+ (61°-60°)+ (61°-60°) +… (61°-60°)
1! 2! n! (N) tg (60°) n +1 n +1 n +1 0 1 m + (x-x ) (x-x ) … (x-x ) m! 0 1 m (n) tg`(π/3) tg``(π/3) tg (π/3)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
=tg(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +… (180π/61-π/3)
1! 2! n!
(3)
tg (π/3) π/3 +1 π/3 +1+1 π/3 +1+1+1
+ (180π/61-π/3) (180π/61-π/3) (180π/61-π/3)
3!
tg`(π/3) tg``(π/3)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
≈tg(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +…
1! 2!
(1)
tg (π/3) π/3 +1
+ (180π/61-π/3)
1!
tg`(π/3) tg``(π/3)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
≈tg(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +…
1! 2! 2 sec (π/3) π/3 +1 + (180π/61-π/3) 1! (n) sin`(60°) sin``(60°) sin (60°)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
sin ( 61°)≈sin(60°)+ (61°-60°)+ (61°-60°) +… (61°-60°)
1! 2! n! (N) sin (60°) n +1 n +1 n +1 0 1 m + (x-x ) (x-x ) … (x-x ) m! 0 1 m (n) sin`(π/3) sin``(π/3) sin (π/3)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
=sin(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +… (180π/61-π/3)
1! 2! n!
(3)
sin (π/3) π/3 +1 π/3 +1+1 π/3 +1+1+1
+ (180π/61-π/3) (180π/61-π/3) (180π/61-π/3)
3!
sin`(π/3) sin``(π/3)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
≈sin(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +…
1! 2!
(1)
sin (π/3) π/3 +1
+ (180π/61-π/3)
1!
sin`(π/3) sin``(π/3)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
≈sin(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +…
1! 2!
cos (π/3) π/3 +1
+ (180π/61-π/3)
1!
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
第九部分拉格朗奇公式
112.拉格朗奇公式
转而讨论洛尔定理的直接的推论。拉格朗奇定理，设1）f(x)是在闭区间[a,b]内定义着的而且是连续的，2)至少在开区间(a,b)内有有穷导数f`(x)存在。那么在a与b之间必能求得一点c(a<c<b)，满足等式
f(b)-f(a)
=f`(c)
- 1
b-a
证明，引入辅助函数，它在区间[a,b]内用等式
f(b)-f(a)
F(x)=f(x)-f(a)- (x-a)
b-a
定义着。这函数满足洛尔定理的一切条件，事实上，它在[a,b]内是连续的，因为它是连续函数f(x)与一线性函数的差。在区间（a,b)内它有确定的有穷导数，等于
f(b)-f(a)
F(x)=f(x)-f(a)-
b-a
最后用a和b直接代入，证实F(a)=F(b)=0，即F(x)在区间的两端点处具有相等的数值。因此，可以把洛尔定理应用于函数F(x)，并肯定在(a,b)内有点c存在，使F`©=0，这样，
f(b)-f(a)
f`©- =0
b-a
由此
f(b)-f(a)
f`©=
b-a
y M B A C o a c x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
图（1)
这就是所要证明的, 已证明的定理也称为（微分学中的）中值定理。洛尔定理是拉格郎奇定理的特别情形，前面所做洛尔定理的条件(1)和（2）的附注在此处仍为有效。转而讨论拉格郎奇定理的几何说明（图1），需指出，比式
f(b)-f(a) CB
=
- 1
b-a AC
是割线AB的斜率，而f`©是曲线y=f(x)上横标x=c的点的切线的斜率, 这样，拉格郎奇定理定理的论断就相当于：在弧AB上恒能求出至少一点M，在这点处切线平行于弦AB. 已证明的公式
f(b)-f(a)
= f`(c) 或f(b)-f(a)=f`(c)(b-a)
- 1
b-a
称为拉格郎奇公式或有限增量公式。它显然在a>b时有效,
取区间[a,b]内的任意数值x ,并给以增量△x>0或△x<0，以不至使它超出区间的范围为限
0
- 1
当△x>0时，应用拉格郎奇公式于区间[x ,x +△x]，
0 0
- 1
当△x<0时应用这公式于区间[x +△x,x ]。
0 0
- 1
这时介于x 与x +△x之间的数c可以表示为
0 0
- 1
c=x +θ*△x, 此处0<θ<1
0
上面的等式说明c是属于x0和x+△x之间的数，它的值等于x加上△x乘以参数θ的值的和参数θ的值可以根据函数的不同而发生改变. 注：有人说，θ是《真分数》，但不要以为它一定就是有理分数，数θ亦可以是无理数, 从而拉格郎奇公式公式就可以写成：
f(x +△x)-f(x )
= f`(x +θ△x) 拉格郎奇公式或有限增量公式.
△x 0
- 1
- 2
- 3
或△f(x )=f(x +△x)-f(x )=f`(x +θ△x)*△x (0<θ<1)
0 0 0 0
- 1
这个等式给出了在变元的任意有限增量△x时的函数增量的准确表达式。它自然是与近似等式
△f(x )=f(x +△x)-f(x )≈f`(x )*△x 近似等式
0 0 0 0
- 1
近视公式见微分是近似式的来源, 相对立着的，在近似等式里，只有当△x无限小时相对误差方才趋于零. 由此产生《有限增量公式》这个名称. 拉格郎奇公式的缺点是在公式内有我们所不知道的数θ（或c), 但这并不妨碍这个公式在分析学内各种各样的应用. 注：对于θ
2
- 1
仅在少数情形中我们可以确定它，例如，对于二次函数f(x)=ax +bx+c,很容易验证θ=1/2
1.函数的增量的公式
现在这里证明两个简单的命题，它们在以后是有用处的, 设函数y=f(x)是在区间Ж内定义着的。
从这个区间内的一个固定值x=x 出发，用△x＞0或△x＜0表示x的任意增量，
0
- 1
但需限制x +△x使不超出Ж的范围之外。
0
- 1
于是对应的函数的增量就是
△y=△f(x )=f(x +△x)-f(x )
0 0 0
- 1
1.若函数y=f(x)在点x 处有（有穷的）导数y =f(x ),则函数的增量可以表示为如下的
0 x 0
- 1
形式
△f(x )=f`(x )△x+α△x (2)
0 0
- 1
或更简短的
△y=y` △x+α△x (2a)
x
- 1
式中的α是依赖于△x的量，切随着△x一同趋近0, 因为由导数的定义，在△x→0时
△y
→ y`
- 1
△x x
故令
△y
α= → y`
△x x
把y` 移动方程左边，得
x
- 1
△y
α+y` =
x △x
方程两端同乘以△x,得
α△x+y` △x=△y
x
- 1
就看出也有α→0.由此解出△y，即得公式（2a), 因为量α*△x（在△x→0时）是较△x更高级的无穷小. 故使用在《无穷小的比较》内引入的记法，我们的公式就可以改写成为. 关于无穷小的比较可见无穷小的比较描述页.
△f(x )=f`(x )*△x+o(△x) （3）
0 0
- 1
或
△y=y` *△x+o(△x) （3a）
x
- 1
上式中o(△x)=α*△x
注：若无穷小β是比无穷小α更高级的，则这一事实就可以写成：
β=o(α)
- 1
例如，可以写
1-cosx=o(x).tgx-sinx=o(x）等等
- 1
这样，o(α)就可以作为比α更高级的无穷小的普遍记号。我们以后就要应用这种方便的记法. 附注，到现在为止，我们算作△x＞0或△x＜0，故量α在△x=0是不曾定义的, 当我们说在△x→0时α→0，必已预先假设（像通常那样）△x系依任何规律趋于0，但并不取得0值. 现在就令在△x=0时α=0，那时公式（2）在△x=0时自然仍为有效. 然除此以外，△x→0时α→0这一关系却可比以前得到更广义的理解. 就是在△x趋于0的过程中，它也可以取等于0的数值了. 由已证明的公式直接推得.
2.若函数y=f(x)在点x 处有（有穷的）导数，则函数在这点必然是连续的
0
- 1
实因，由（2a），很清楚地，由△x→0的关系就立即引出△y→0
107.微分是近似公式的来源
我们已经看到，在△x→0时函数y的微分dy（只要y` ≠0）是函数的无穷小增量△y的主
x
- 1
部。这样△y~dy，于是
△y≈dy （3）
- 1
上面的描述表明，当x的增量△x趋近于0时，函数y的微分dy就会约等于函数y的增量△y，前提是函数y对于x的导数的值不为0。或许更详细一点
△f(x )=f(x +△x)-f(x )≈f`(x )*△x （3a）近似等式
0 0 0 0
- 1
其不准确度是较△x更高级的无穷小。 就是说等价无穷小中的
γ=o(α) 及 γ=o(β)
- 1
这个等式的相对误差可以小到任意程度，只要△x充分小. 注：等价无穷小的推导可见等价无穷小的推导页
考察一个简单的例子：设
3
y=x
- 1
- 2
- 3
则
3 2 2 3
- 1
△y=(x +△x) -x =3x *△x+3x *△x +△x
0 0 0 0
- 1
而成为△y的线性部分的（象我们在前面曾用普遍形式所确定的那样）实际上就是微分
2
- 1
dy=3x *△x=y` *△x
0 x
- 1
具体的假定
x =2.3
0
若取△x=0.1,那么就有
3 3 2
- 1
△y=2.4 -2.3 =1.657 及dy=3*2.3 *0.1=1.587
，于是由第一数换成第二数时的误差是0.070，而相对于误差超过4%。在△x=0.01时得△y=0.159391及dy=0.1587,所得相对误差已小于0.5%.在△x=0.001时，相对误差小于0.05%，余次类推. 类似的状况可以从图44微分的几何说明直接看出。在图线上很明显地可以看出，若我们把曲线的纵标的增量换成切线的纵标的增量. 则在△x越小时这种替换的相对性准确度就越大. 图44可以查可微性与导数存在之间的关系.
x K dy △y M α N α △x o T x x~△x y 图44
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
为着要用几何图形说明函数y=f(x)的微分dy及它与增量△y的关系，试参考这函数的图线（44）. 变元的数值x及函数的数值y确定着曲线上的一点M。在曲线上的这一点处引切线MT，正如我们看到的[92]导数的定义，它的斜率tgα等于导数y`.若给横标x以增量△x，则曲线的纵标y就的增量△y=NM1。同时切线的纵标就得增量NK。把NK看做直角三角形MNK的一直角边而计算其长度，就得出
NK=MN*tgα=y` *△x=dy
x
- 1
因此，当△y是曲线的纵标的增量时，dy就是切线的纵标的对应增量. 最后再讨论到自变量x本身：称为它的微分的就是增量△x，即约定.
dx=△x
读者自能明了，把函数的增量△y换成它的微分dy时，其好处在于dy对于△x是线性关系，而△y通常确是△x的很繁复的函数. 若假定△x=x-x ,而x +△x=x
0 0
- 1
则等式（3a)的形式就成为
f(x)-f(x )≈f(x )*(x-x ) 或f(x)≈f(x )+f(x )*(x-x )
0 0 0 0 0 0
- 1
依这公式，在接近于x 的x的数值，函数f(x)可以用一线性函数近似地来替换。
0
- 1
在几何上，这对应将邻接于点（x ,f(x ))的曲线y=f(x)的小段改以曲线在这点的切线的小
0 0
- 1
段来代换, 曲线y约等于曲线上的各点x的切线的小段的和，见图（66）
y
o x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
图（66）
这切线表示为
y=f(x )+f`(x )*(x-x )
0 0 0
- 1
参阅图44, 注：事实上，经过点（x ,y ）而有斜率k的直线方程是
0 0
- 1
y=y +k(x-x )
0 0
- 1
在切线的情形，应置
y =f(x ) , k=f`(x )
0 0 0
所以 y=f(x )+k(x-x )=f(x )+f`(x )*(x-x )
0 0 0 0 0
- 1
为简单起见，取x =0，并限于x的微小数值，就有近似公式：
0
- 1
f(x)≈f(0)+f`(0)*x
上面的方程表示函数f(x)的图像和x轴相交，即
x =0,f`(x ）=f`(0）=k
0 0
- 1
- 2
- 3
所以
f(x)≈f(0)+k*x=f(0)+f`(0)*x
- 1
由此，用各种初等函数代换这里的f(x)，很容易获得一系列的公式
μ
- 1
(1+x) ≈1+μx, ,特别情形
1
- 1
1+x ≈1+ x
2
x
- 1
- 2
- 3
e ≈1+x , ln(1+x)≈x, sin x≈x, tg x≈x
,于类推，它们之中有很多是我们已经知道的
μ μ μ
- 1
(1+x) ≈(1+0) +f`(1+0) x=1+μx
μ*3
μ 3 3 μ*3
- 1
- 2
- 3
(1+x) =(1+x) =( (1+x) )
1 μ*(μ+1) ≈(1+ *x) μ+2 1 μ μ+1 =((1+ *x) ) μ+2 1 μ+1 =(1+ *μ*x) μ+2 μ μ+1 (1+x) =1+ *μ*x μ 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
(1+1) =4
μ μ+1.5
(1+x) =(1+ *μ*x)
μ-1
3
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
(1+1) =7.75
模拟计算机利用下面的公式将乘方电路化成乘法电路。
μ μ+2 μ-1.5
(1+x) =(1+ *μ*x)+(1+ *μ*x)
μ-2 μ
4
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
(1+1) =13+3.5
16
μ μ+8 μ
(1+x) =(1+ *μ*x)+(1+ *μ*x)
μ-2 μ-2
5
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
(1+1) =22.66666+9.333333
32
μ μ+12 μ+1 μ-4
(1+x) =(1+ *μ*x)+(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) )
μ-4 μ-2 μ+1
6
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
(1+1) =55+11.5-2.71428
64
μ μ+24 μ+8 μ-5
(1+x) =(1+ *μ*x)+(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) )
μ-5 μ-2 μ+1
7
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
(1+1) =109.5+22-2.75
128
μ μ+50 μ+10
(1+x) =(1+ *μ*x)+(1+ *μ*x)
μ-6 μ-2
8
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
(1+1) =232+24
256
μ μ+50 μ+10
(1+x) =(1+ *μ*x)+(1+ *μ*x)
μ-6 μ-2
8
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
(1+1) =232+24
256
μ μ+90 μ+30
(1+x) =(1+ *μ*x)+(1+ *μ*x)
μ-7 μ-4
9
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
(1+1) =441+70.2
512
μ μ+180 μ+36 μ-8
(1+x) =(1+ *μ*x)+(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) )
μ-7 μ-4 μ+1
10
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
(1+1) =951+77.66666-2.8118181
1024
可以由下面的式子组成模拟计算机的电路计算幂函数。也可以使用模拟计算机用下面的方法计算一个数的开方
1 1*10
2 1 2
- 1
- 2
- 3
(1+x) ≈(1+ *x)
10
1 1*3
2 1 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
(1+x) ≈(1+ *1)
3
3 3
1 4 1 4
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
≈(1+ ) * (1+ )
3 3
1 3 1 3
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
≈(1+ * ) * (1+ * )
3 4 3 4
5 5
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
≈ *
4 4
25
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
≈
16
≈ 1.7857
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
很容易利用数学归纳法证明下列等式成立，可以由下面的式子组成模拟计算机的电路计算幂函数。
μ 1 μ 1 μ-1
(1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x)
μ+1 μ+3
2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
(1+1) =2.7777+1.4
4
μ 1 μ+1 1 μ-2
(1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x)
μ+2 μ+4
3
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
(1+1) =6.4+1.4285
8
μ 1 μ+2 1 μ-3 1 μ-5
(1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) )
μ+3 μ+5 μ+6
4
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
(1+1) =15.0580+1.4444-0.71428
16
μ 1 μ+2 1 μ 1 μ-1 (1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) ) μ+4 μ+6 μ+7 1 μ-6 -(1+ *μ*x) μ+8 5
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
(1+1) =22.0393+6.5108+4.02782-0.72222
32
μ 1 μ+3 1 μ+1 1 μ-7
(1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) )
μ+5 μ+7 μ+8
6
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
(1+1) =50.298359+14.2453-0.7000
64
μ 1 μ+4 1 μ 1 μ-8
(1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) )
μ+6 μ+8 μ+9
7
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
(1+1) =114.273+14.59889-0.69565
128
μ 1 μ+4 1 μ+3 1 μ-1 (1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) ) μ+7 μ+9 μ+11 1 μ-6 -(1+ *μ*x) μ+9 8
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
(1+1) =168.9036+69.566789-4.02782
256
μ 1 μ+5 1 μ+4 1 μ (1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) ) μ+8 μ+10 μ+12 1 μ-10 -(1+ *μ*x) μ+11 9
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
(1+1) =383.126+154.6171-24.78093-0.55
512
μ 1 μ+6 1 μ+3 1 μ-9
(1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) )
μ+9 μ+11 μ+11
10
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
(1+1) =867.5816+158.0706-1.4761
1024
μ 1 μ+6 1 μ+5 1 μ+4 (1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) ) μ+10 μ+12 μ+14 1 μ-9 -(1+ *μ*x) μ+15 11
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
(1+1) =128.72+520.0167+237.3763+2.02514
2048
μ 1 μ+7 1 μ+5 1 μ+4 (1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) ) μ+11 μ+13 μ+15 1 μ-10 -(1+ *μ*x) μ+16 12
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
(1+1) =2913.8283+784.2403+359.0984+2.0
4096
,于类推，它们之中有很多是我们已经知道的
μ μ μ
- 1
(1+x) ≈(1+0) +f`(1+0) x=1+μx
μ*3
μ 3 3 μ*3
- 1
- 2
- 3
(1+x) =(1+x) =( (1+x) )
1 μ*(μ+1) ≈(1+ *x) μ+2 1 μ μ+1 =((1+ *x) ) μ+2 1 μ+1 =(1+ *μ*x) μ+2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
再引入一些其他类型的近似公式的例子，它们也是根据等式（3）得来的, 1）设有两端悬挂着的有重量的线（电线，锚索，皮带），用2s表示其长度，用2l表示跨度，用l表示垂度（图45），则在求s时经常应用着（近似公式）
2
2 f
- 1
- 2
- 3
s=l(1+ * )
2
3 1
- 1
- 2
- 3
现在把数量f当作自变量，而把s当作f的函数。要求建立长度s的改变量△s与垂度f的改变量△f之间的关系. 把△s换成ds，就得
2
2 f
- 1
- 2
- 3
△s=l(1+ * )= f(0)+f`(0)*f
3 1
2
2 0 2 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
= 1+ * +(0+ * * △f)*f
3 1 3 1
2 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
= * △ff
3 1
4 f
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
= * *△f
3 1
4 f
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
由此，△f≈ * *△f
3 1
- 1
例如，若能估计到电线由于温度或负荷所引起的长度的变动，就可以由此而预见到垂度的变动.
l
f
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
图45
α
△x
x +m m
N S
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
图46
2）已知圆形电路（图46）作用于其轴上与中心O距离x的单位磁极的力是
k
3
2 2 2
（α +x ）
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
此处k是常系数，α是半径。试求此圆形电路作用于沿轴放置的长度为△x的磁铁NS的力。这时算作在N极集中着正磁量m，而在s极集中着与它相等的负磁量-m. 电流作用于磁铁的总力F可表示为：
km km F= - 3 3 2 2 2 2 2 2 （α +x ） [α +(x+△x） ] 1 =-km *△[ ] 3 2 2 2 （α +x ）
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
用函数的微分代换它的增量[假定△x很微小]，就得
1 F≈-km d[ ] 3 2 2 2 （α +x ） x =3km △x[ [ ] 5 2 2 2 （α +x ）
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
108.应用微分来估计误差
应用微分概念于近似算法中的估计误差，是特备方便而且自然的. 例如设数量x可以直接度量或计算，而依赖它的数量y则以公式y=f(x)来决定. 在度量数量x时通常发生误差△x，它就引起数量y的误差△y。由于这些误差是微小数量，可以假定.
△y=y` *△x
x
- 1
- 2
- 3
即用微分代替增量。设δ是x的最大绝对误差：｜△x｜≤δx
在通常的条件下，此类度量时的误差限度是可以知道的。那时显然可以采用
δy=｜y` ｜*δx （12）
x
- 1
- 2
- 3
作为y的最大绝对误差（误差的限度）。
1)例如，设要确定球的体积，首先（用游标测径器，公差仪，螺旋测径器）直接来量球的直径D，再依公式
π 3
V= D
6
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
计算体积V
因为
π 2
V` = D
D 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
,所以在这情形，根据（12）
π 2
δV= D *δD
2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
用前式除这等式就得，
δV δD
= 3
V D
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
因此有计算得来的体积的（最大的）相对误差比由量度得来的直径的（最大的）相对误差大两倍.
2）设得到x有一误差，则由x而求它的以十为底的对数y=log x时，依旧造成y的误差,
在此处
M
y` = (M≈0.4343），于是以公式（12）
x x
δx
δy=0.4343*
x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
这样，x的对数y的（最大）绝对误差就单纯的依数x本身的（最大）相对误差而确定，反过来说亦正确. 这结果有各种各样的应用。例如，借此可以获得关于常用的25厘米=250毫米对数尺的准确度的概念。在放置瞄准器或读数时可能发生错误，例如在这一方或另一方错误0.1毫米，则在对数上对应这误差.
0.1
δy= =0.0004
250
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
由此，依我们的公式
δx 0.0004
= = 0.00092...≈0.001
x 0.4343
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
读数的相对准确度在算尺的任何部分是相同的.
3）在以三角函数的对数表而求角ψ时发生这样一个问题，用正弦表或正切表哪一种更为有利。假定
y =log sin ψ,及y =log tg ψ,
1 2
- 1
- 2
- 3
并且假定最大误差δy 及δy 是相等的（就是说，等于数标的末尾数字的一半）
1 2
- 1
若用δ ψ及δ ψ表示角ψ的对应的最大误差，则同上面一样，就得
1 2
- 1
因为
y =log x , x =sin ψ,
1 1 1
M
y` = (M≈0.4343）
1 x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
所以
M M
δy = *x` = * cos ψ *δ ψ
1 sin ψ 1 sin ψ
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
因为
y =log x , x =tg ψ,
2 2 2
M
y` = (M≈0.4343）
2 x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
所以
M M 2
δy = *x` = * sec ψ *δ ψ
2 tg ψ 2 tg ψ 2
2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
于是 δ ψ =δ ψ*cos ψ<δ ψ
2 1 1
- 1
由此可见，在对数值有同等的错误时，正切对数表所给出的角比正弦对数表所给出的角有较小的误差，因此用前者就是更有利的, 注：在这种算法时，我们假定角是用弧度表示着的。 但是显然，不论量角度时用那一种单位，结果总是正确的.
4）作为最后一个例题，考察用惠司登电桥（图47）量未知电阻y的准确度的问题。
B
y A R
电流表
A R1 R2 C
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
图47
在这时，把接触器D沿着刻度尺AC移动，直至电流计指出没有电流通过为止。
确定电阻y的公式是：
Rx
y= (13)
a-x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
此处a=AC,x=AD，R是支线BC上的已知电阻。依公式（12），就得出：
Rx aR
δy=( )`*δx= *δx (13)
a-x (a-x)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
若在这等式两端各用等式（13）两端来除，就得y的（最大）相对误差的表达式：
δy a*δx
=
y x(a-x)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
因为分母x(a-x)在x=a/2时达到自己的最大数值。
注：由明显的不等式
2
2 a a
- 1
- 2
- 3
x -ax+ =(x- )≥0
4 2
- 1
直接可得
2
a
- 1
- 2
- 3
x(a-x)≤
4
- 1
这就证明了我们的命题. 而在度量长度时误差δx可以当做是并不依赖于x，所以正是在x=a/2时相对误差达到最小值。因此，为着获得尽可能准确的结果，设置电阻R时（用电阻箱）总要想法使得当电流消失时接触器D的位置尽可能的更接近于尺AC的中点。
第九部分莱布尼兹公式
116.任意阶导数的普通公式
一般说来要计算任何函数的n阶导数，必须预先求出前面一切阶的导数。然而在有许多情形，却能顺利地建立n阶导数的普遍式，它直接依赖着n，而不再包含前面各阶导数的记号。在推导这种普遍式时，下列公式有时是有用处的：
(n) (n) (n) (n) (n)
(cu) =c*u ,(u±v) =u ±v
它们是读者所已经知道的求导数的几个简单法则Ⅰ和Ⅱ推广到高阶导数时的结果。详细内容可以查询求导数的几个简单法则。逐次地应用这些法则，就很容易得出它们。
μ
- 1
1）首先考察幂函数y=x , 其中μ是任何实数。我们依次有。
μ-1 μ-2 μ-3
- 1
y`=μx ，y``=μ(μ-1)x ，y```=μ(μ-1)(μ-2)x ，…
由此也很容易看出普遍的规律：
(n) μ-n
- 1
y =μ(μ-1)…(μ-n+1)x
但严格说来，它必须再加证明。 为此可以利用数学归纳法。 假设在n的某一数值时这公式是对的，再微分它一次，我们就得到：
(n) (n+1) μ-n
[y ]=y =μ(μ-1)...(μ-n+1)[x ]=
μ-(n+1)
=μ(μ-1)...(μ-n+1)(μ-n)x
- 1
- 2
- 3
因此，如果我们的公式对于n阶导数时是对的，则对于（n+1)阶导数也是对的。由此也就推得它对于一切自然数n的数值是正确的。例如，若取μ=-1，则得
n
1 (n) (-1) *n!
- 1
- 2
- 3
( ) =(-1)(-2)…(-n)x =
n+1
- 1
x x
而在μ=-1/2时
1 (n) 1 3 2n-1 -1/2-n
( ) =(- )(- )…(- )x
x 2 2 2
n
(-1) (2n-1)!!
=
n
(2x) x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
余依次类推
注：记号n!!表示自然数的连乘积，这些自然数不超过n并且每两数间的差都是二，例如.
m
- 1
当μ本身是自然数m时，则x 的m阶导数已经就是常数m!，而一切以后的导数就都是零。
由此，明显可知，对于m次整多项式亦有相似的情况。
2）对于略为普遍的一些式子
μ
- 1
y=(a+bx) (a,b=常量)
仍旧很容易求出：
(n) n μ-n
y =μ(μ-1)…(μ-n+1)*b *(a+bx)
特别情形，同上面那样，得出
n n
- 1
1 (n) (-1) n!b
( ) =
a+bx n+1
(a+bx)
n n
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
1 (n) (-1) (2n-1)!!b
( ) =
a+bx n n
2 (a+bx) (a+bx)
- 1
3)今设y=ln x。首先有
y=(ln x)=1/x
由此式依1）内的对应公式取（n-1）阶导数，在它里面把n换成n-1，那时我们亦就得出
n-1
- 1
(n) (n-1) 1 (n-1) (-1) (n-1)!
y =(y`) =( ) =
x n
x
x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
若y=a ,则
x x 2
- 1
y`=a *ln a, y``=a *(ln a) ,…
普遍公式
n x n
y =a *(ln a)
很容易用数学归纳法证明。特别情形，显然有
x (n) x
(e ) =e
假定y=sin x;则
Ⅳ Ⅴ
- 1
y`=cos x, y``=-sin x, y```=-cos x, y =sin x, y =cos x,…
由这一途径去求n阶导数的普遍式是比较困难的。但若把一阶导数的公式改写成
y`=sin(x+π/2)
事情就立刻简单化了, 很清楚的，每微分一次以后，就要在变元上加一个π/2, 于是
(n)
- 1
(sin x) =sin(x+n*π/2)
类似地又可得出公式
(n)
- 1
(cosx) =cos(x+n*π/2)
6)考察函数
1
y=
2 2
x -a
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
把它表示为
1 1 1
y= ( - )
2a x-a x+a
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
我们就有利用例2）（以及在开始时已经就指出的一般法则）的可能性。最后
n
1 (n) (-1) n! 1 1
- 1
- 2
- 3
( ) = [ - ]
2 2 2a n+1 n+1
- 1
x -a （x-a） （x-a）
ax
- 1
7)在函数y=e sin bx的情形
我们将利用更巧妙的方法。就是，有
ax ax
- 1
y`=ae sin bx+be cos bx
若引入由下列条件所定义的辅助角ψ
b sin ψ= , 2 2 a +b a cos ψ= , 2 2 a +b
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
则一阶导数的表达式就可以改写成为
2 2 ax
- 1
y`= a +b e (sin bxcos ψ+cos bxsin ψ)
2 2 ax
= a +b *e *sin (bx+ψ)
- 1
- 2
- 3
重复地微分，很容易根据数学归纳法而建立普遍的规律
(n) 2 2 n/2 ax
y =（a +b ） *e *(sin bx+nψ)
8)再讨论函数y=arc tg x
(n)
- 1
首先让我们设法用y表示y .因为x=tg y,故
1 2
- 1
y`= =cos y=cos y*sin(y+ π/2)
2
1+x
- 1
- 2
- 3
再关于x而微分它（并记作y是x的函数），则得
y``=[-sin ysin(y+π/2)+ +cos ycos(y+π/2)] *y`
2
- 1
= cos y*cos(2y+π/2)
2
- 1
= cos y*sin2(2y+π/2)
又一次的微分给出
2
- 1
y```=[-2sin ycos ysin2(y+π/2)+ 2cos y*cos2(y+π/2)]*y`
3
- 1
= 2cos ycos(3y+2π/2)
3
- 1
= 2cos y*sin3(y+π/2)
普遍的公式
（n） n
y =(n-1)!cos y*sin n(y+π/2)
可由数学归纳法证明
若（在x>0时）引入角
1 π
- 1
z=arc tg = -y
x 2
- 1
则这公式可以改写成
（n） 1
y =(n-1)! *sin n (π-z)
2 n/2
(1+x )
- 1
- 2
- 3
或最后，
（n） n-1 1 1
y =(-1) (n-1)! *sin n *arc tg
2 n/2 x
(1+x )
- 1
- 2
- 3
8a)再讨论函数y=arc ctg x
(n)
- 1
首先让我们设法用y表示y .因为x=ctg y,故
1 2
- 1
y`=- =-sin y=-sin y*cos(y+π/2)
2
1+x
- 1
- 2
- 3
再关于x而微分它（并记作y是x的函数），则得
y``=[-cos ycos(y+π/2)- sin ysin(y+π/2)] *y`
2
- 1
= sin y*cos(2y+π/2)
2
- 1
= sin y*cos2(y+π/2)
又一次的微分给出
2
- 1
y```=[2cos ysin ycos2(y+π/2)- 2sin y*sin2(y+π/2)]*y`
3
- 1
= -2sin ycos(3y+2π/2)
3
- 1
= -2sin y*sin3(y+π/2)
普遍的公式
（n） n
y =(n-1)!sin y*sin n(y+π/2)
可由数学归纳法证明
若（在x>0时）引入角
1 π
- 1
z=arc ctg = -y
x 2
- 1
则这公式可以改写成
（n） 1
y =-(n-1)! *sin n (π-z)
2 n/2
(1+x )
- 1
- 2
- 3
或最后，
（n） n 1 1
y =(-1) (n-1)! *sin n *arcc tg
2 n/2 x
(1+x )
- 1
- 2
- 3
8b)再讨论函数y=arc sin x
(n)
- 1
首先让我们设法用y表示y .因为x=sin y,故
1 1 -1 -1
- 1
y`= = = cos y=(π/2-x)
2
1-x cos y
- 1
- 2
- 3
再关于x而微分它（并记作y是x的函数），则得
-2 -2
- 1
y``=sinycos y=x(π/2-x)
根据莱布尼兹公式
-2 -2 -3 -2 2 -3
- 1
y```= cosy* cos y- 2sin ycos y=(π/2-x)(π/2-x) -2x *(π/2-x)
-2 -3 2 -4
- 1
y```= -siny* cos y- 22cos ysinycos y-233cos y*cosy
-2 -2 2
- 1
y```= -siny* cos y- 22sin y cos y-233*cos y
-2 -2 -2
- 1
=-x*(π/2-x) -22x*(π/2-x) -233*(π/2-x)
普遍的公式
（n） -2 （n-2）
y = (siny*cos y)
(n-2) -2 (n-3) -2 (n-2)(n-3) (n-4) -2
=(sin y) *cos y+nsin y*(cos y) ` + (siny) (cos y) `` +...+
1*2
(n-2)(n-3)...(n-2-i+1) (n-2-i) -2 (i)
(siny) (cos y) +...+
1*2*...i
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
因为arc sinx=y
根据戴劳公式（11），可得
(n)
f`(0) f``(0) 2 f (0) n n
- 1
- 2
- 3
arc sin x=f(0)+ x+ x +…+ x +o(x ) (11)
1! 2! 3!
-1 -2 -2 2 -3
(π/2-0) 0*(π/2-0) 2 (π/2-0)*(π/2-0) -2*0 *(π/2-0) 3
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
arc sin x=f(0)+ x+ x + x
1! 2! 3!
-2 -2 -2
-0*(π/2-0) -2*2*0*(π/2-0) -2*3*3*(π/2-0)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
4!
-1 -2 -2
(π/2) (π/2) *(π/2) 3 -2*3*3*(π/2) 4
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
arc sin x= x+ x + x
1! 3! 4!
- 1
8c)再讨论函数y=arc cos x
(n)
- 1
首先让我们设法用y表示y .因为x=cos y,故
1 1 -1 -1
- 1
y`=- =- =-sin y=-(π/2-x)
2
1-x sin y
- 1
- 2
- 3
再关于x而微分它（并记作y是x的函数），则得
-2 -2
- 1
y``=cosysin y=x(π/2-x)
根据莱布尼兹公式
-2 -2 -3 -2 2 -3
- 1
y```=- siny* sin y- 2cos ysin y=(π/2-x)(π/2-x) -2x *(π/2-x)
-2 -3 2 -4
- 1
y```= -cosy* sin y- 22sin ycosysin y-233sin y*sin y
-2 -2 -2
- 1
y```= -cosy* sin y- 22cos y sin y-233sin y
-2 -2 -2
- 1
=-x*(π/2-x) -22x*(π/2-x) -233*(π/2-x)
普遍的公式
（n） -2 （n-2）
y = (cosy*sin y)
(n-2) -2 (n-3) -2 (n-2)(n-3) (n-4) -2
=(cos y) *sin y+ncos y*(sin y) ` + (cosy) (sin y) `` +...+
1*2
(n-2)(n-3)...(n-2-i+1) (n-2-i) -2 (i)
(cosy) (sin y) +...+
1*2*...i
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
因为arc cosx=y
根据戴劳公式（11），可得
(n)
f`(0) f``(0) 2 f (0) n n
- 1
- 2
- 3
arc cos x=f(0)+ x+ x +…+ x +o(x ) (11)
1! 2! 3!
-1 -2 -2 2 -3
(π/2-0) 0*(π/2-0) 2 (π/2-0)*(π/2-0) -2*0 *(π/2-0) 3
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
arc cos x=f(0)- x+ x + x
1! 2! 3!
-2 -2 -2
-0*(π/2-0) -2*2*0*(π/2-0) -2*3*3*(π/2-0) 4
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
-
x 4! -1 -2 -2 (π/2) (π/2) *(π/2) 3 -2*3*3*(π/2) 4- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
arc cos x=- x+ x + x
1! 3! 4!
- 1
9)作为最后一个练习题来建立公式
1
1 x
- 1
- 2
- 3
n n-1 x e
D (x e )= (-1) (n=1,2,3,…)
n-1
x
- 1
- 2
- 3
它在n=1及n=2时的正确性可以直接验证。现在假设，它对于n的一切数值，直到n≥2的某一数值为止都是对的，要证明它当n换成n+1时仍旧也对。要证明它当n换成n+1时仍旧也对。注：请读者注意数学归纳法在应用上的这一独特的形式；实际上（参阅下面的课文），我们将利用这公式在n及n-1时的正确性。为这目的，考察表达式
1 1
- 1
n n-1 x n n x
D (x e )=D [D(x e )]
1 1
- 1
. n n-1 x n-2 x
=D [nx e -x e ]
1 1
n n-1 x n-1 n-2 x
=n*D (x e ) -D[D (x e )]
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
应用我们的假设，可以改写这表达式为
1 1
1 x x
- 1
- 2
- 3
n n x n e n-1 e
D (x e )= n*(-1) -D[(-1) ]
n+1 n
x x
1
x
n+1 e
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
= (-1)
n+2
x
这就是我们所要证明的。因此，这公式对于一切自然数值n时都是对的
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
1.莱伯尼兹公式
我们在前一段开始时曾指出求导数的几个简单法则Ⅰ及Ⅱ可以直接移用到任意阶导数的情形。但处理关于乘积的导数的法则Ⅲ却较为费事。法则ⅠⅡⅢ可见求导数的几个简单法则
假定u,v是x的函数，且各自有值到n阶为止的各阶导数；我们将证明这时它们的乘积y=uv亦有n阶导数，并将求出它的表达式。应用法则Ⅲ逐次微分这乘积；我们就求出：
y=uv+uv,y``=u``v+2uv+uv``,y```=u```v+3u``v+3u`v``+uv```,…
很容易看出导出一切这些公式的规律：它们的右边使我们想起二项式的各次幂
2 3
- 1
u+v,(u+v) ,(u+v) …的展开式，
只把u,v的各次幂换成对应阶的导数罢了。
(0) (0)
- 1
若在所得的公式内把u,v写成u ,v ,其间的相似性就更为完全。
推广这一规律到任意的n的情形，即得普遍的公式。
(n) (n) n i (n-i) (i)
y =(uv) =∑c u v =
i=0 n
(n) (n-1) n(n-1) (n-2) n(n-1)...(n-i+1) (n-i) (i) (n)
=u v+nu v`+ u v`` +…+ u v +uv
1*2 1*2...i
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
注：记号∑表示同一类型的诸项的总和。当这些项都依赖着一个标数，而这个标数是在确定界限内变动着时，这些界限就就必须（在下面及在上面）指示出来。例如
n
∑ a =a +a …+a
i=0 i 0 1 n
n 1 1 1 1
∑ =1+ + +…+ 等等
k=0 k 2 3 m
要证明它的正确性，可再运用数学归纳法。假设对于某一n值上式是对的。若函数u,v的(n+1)阶导数也存在，则可以依x将上式再微分一次：我们就得：
(n+1) n i (n-i) (i)
y =∑c [u v ]`=
i=0 n
- 1
n i (n-i+1) (i) n i (n-i) (i+1)
=∑ c u v +∑ c u v
i=0 n i=0 n
- 1
今将合并在最后两个总和内含函数u,v的同阶导数的各个乘积（很容易看出，在每一个乘积内，导数的阶的总和始终是等于n+1).
(n-i+1) (0) 0
- 1
乘积u v 仅包含在第一个总和内（在i=0时);在这总和内，它的系数是C =1
n
(0) (n-i+1) n
- 1
- 2
- 3
完全与此相同，u v 仅包含在第二个总和内（有序号i=n的项），它的系数是C =1
n
(n+1-k) (k)
- 1
- 2
- 3
包含在这两个总和内的其他的一切乘积，它们的形式是u v , ,并且1≤k≤n。
每一个这种乘积，在第一个总和内能遇到（有序号i=k的项），在第二个总和内亦能遇到（有
k k-1
- 1
序号i=k-1的项）。对应的系数和是C +C
n n
k k-1 k
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
大家都已经知道，C +C =C
n n n+1
- 1
这样，最后求出
(n+1) 0 (n-0+1) (0) n k (n-k+1) (k) n-1 k (n-k) (k+1) n (n-n) (n+1)
y =C u v + ∑ C u v + ∑ C u v +C u v
n k=1 n k=0 n n
- 1
(n+1) 0 (n-0+1) (0) n k (n-k+1) (k) n k-1 (n-k+1) (k) n (n-n) (n+1)
y =C u v + ∑ C u v + ∑ C u v +C u v
n k=1 n k=0 n n
- 1
(n+1) (n+1) (0) n k [(n+1)-k] (k) (0) (n+1)
y = u v + ∑ C u v + u v
k=1 n+1
n+1 k [(n+1)-k] (k) (0) (n+1)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
=∑ C u v + u v
k=1 n+1
- 1
因为
0 n+1
- 1
C =C =1
n+1 n+1
(n+1)
- 1
- 2
- 3
我们已经得到y 的表达式，它完全类似于表达式（1）（仅n换成n+1）, 这样就证明了公式（1）对于一切自然数值n的正确性。已建立的公式（1），称为莱伯尼兹公式。在推求n阶导数的普遍式时，它经常是有用处的。需指出对于许多因子的连乘积y=uv…t的n阶导数，也可以建立这样的公式；
n
- 1
它与多项式的幂（u+v+…+t） 的展开式相类似。
118）例题
2 (50)
- 1
1）用莱伯尼兹公式（1）求(x *cos αx) 的导数。令
2
v=x ,u=cos αx
那时
(k) k π
u =α *cos(αx+k )
2
Ⅳ Ⅴ
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
v`=2x, v``=2, v```=v =v …=0
这样，在公式（1）内除去首三项外，其余各项都等于零，于是我们就得到
(50) 2 50 π 50 49 π
- 1
(uv) =x *α cos(αx+50 )+ 2xα cos(αx+49 )+
2 1 2
50*49 48 π
*2*α *cos(αx+48* )
1*2 2
48 2 2
=α [(2450-α x )cos αx-100 αx*sin αx]
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
2)回到任意导数的普遍公式7），现在我们就能够由莱伯尼兹公式直接得出函数
ax
y=e *sin bx的n阶导数的普遍式:
(n) ax n n(n-1) n-2 2 n(n-1)(n-2) n-2 2
y =e [sin bx(a - a b +… )+ cos bx(na b- a b +…)]
1*2 1*2*3
- 1
3)求函数y=arc sin x 的(n+1)阶导数的表达式。
首先，我们有
1 1 1
- 1
y`= = *
2
1-x 1+x 1-x
- 1
- 2
- 3
于是依莱伯尼兹公式
(n+1) 1 1 (n)
y =( * )
1+x 1-x 1 (n) 1 1 (n-1) 1 =( ) +n( ) ( ) 1+x 1-x 1+x 1-x n(n-1) 1 (n-2) 1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
-
( ) ( )``- 1
1*2 1+x 1-x
n(n-1)(n-2) 1 (n-3) 1- 1
-
( ) ( )```+…- 1
1*2 1+x 1-x
今若应用在任意导数的普遍公式内的2)所得的公式去求
1 1
及 的各阶导数，就得结果
1+x 1-x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
(n+1) 1 (2n-1)!! (2n-3)!!1!!
y = { -n
n 2 n n-1
2 1+x (1+x) (1+x) (1-x)
n(n-1) (2n-5)!!3!!
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
-
* +…} n-2 2 1*2 (1+x) (1-x)- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
4)求函数y=arc tg x 在x=0时的各阶导数的数值。
因为
1 2
- 1
y= 故，y*(1+x )=1
2
1+x
- 1
- 2
- 3
在这等式两端取n阶导数（应用莱伯尼兹公式）：
2 (n+1) (n) (n-1)
- 1
(1+x )y +2nx*y +n(n-1)*y =0
在此处令x=0，若以添加下标0来表示在x=0时的导数值，则得
(n+1) (n-1)
y =-n(n-1)*y
0 0
在x=0时，导数
2x
- 1
y``= =0
2 2
(1+x )
- 1
- 2
- 3
即y`` =0
0
- 1
由已求出的关系式易见恒有
(2m)
y =0
0
至于奇阶导数，就有递推公式：
(2m+1) (2m-1)
y =-(2m-1)2my
0 0
注意y` =1
0
2 2
- 1
- 2
- 3
y```=-(1+x )x
0
- 1
由数学归纳法可得, 由此就得
(2m+1) m
- 1
y =(-1) (2m)!
0
这一结果也可以从任意阶导数的普遍公式116.8）中得到
4a)求函数y=arc ctg x 在x=0时的各阶导数的数值。
因为
1 2
- 1
y=- 故，-y*(1+x )=1
2
1+x
- 1
- 2
- 3
在这等式两端取n阶导数（应用莱伯尼兹公式）：
2 (n+1) (n) (n-1)
- 1
(1+x )y +2nx*y +n(n-1)*y =0
在此处令x=0，若以添加下标0来表示在x=0时的导数值，则得
(n+1) (n-1)
y =-n(n-1)*y
0 0
在x=0时，导数
2x
- 1
y``= =0
2 2
(1-x )
- 1
- 2
- 3
即y`` =0
0
- 1
由已求出的关系式易见恒有
(2m)
y =0
0
至于奇阶导数，就有递推公式：
(2m+1) (2m-1)
y =-(2m-1)2my
0 0
注意y` =1
0
2 2
- 1
- 2
- 3
y```=-(1+x )x
0
- 1
由数学归纳法可得, 由此就得
(2m+1) m
- 1
y =(-1) (2m)!
0
这一结果也可以从任意阶导数的普遍公式116.8a）中得到
5)对函数y=arc sin x也一样。
提示：应用莱伯尼兹公式于关系式：
y=arc sin x
1
- 1
y`=
2
1-x
2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
y` 1-x =1
2 2
- 1
y`(1-x ) = 1-x
2 2
- 1
[y(1-x )] = 1-x
2 -2x
- 1
(1-x )y``-2xy`=
2
1-x
2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
(1-x )y``-xy`=0
2
- 1
(1-x )y``-2xy=-x*y
2 (n) (n-1)
- 1
(1-x )y -xy =0
答案：
(2m)
y =0,
0
(2m-1) m-1 2 2 2 m-1 2
- 1
或y = (-1) * 1 *3 …(2m-1) =(-1) [(2m-1)!!]
(2m-1) 2 2 2 2
- 1
y =1 *3 …(2m-1) = [(2m-1)!!]
要从3)的普遍式内得出这一结果，却没有这样简单。
5a)对函数y=arc cos x也一样。
提示：应用莱伯尼兹公式于关系式：
y=arc cos x
1
- 1
y`=-
2
1-x
2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
y` 1-x =-1
2 2
- 1
y`(1-x ) =- 1-x
2 2
- 1
[y(1-x )] =- 1-x
2 -2x
- 1
(1-x )y``-2xy`=-
2
1-x
2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
(1-x )y``-3xy`=0
2
- 1
(1-x )y``-2xy=x*y
2 (n) (n-1)
- 1
(1-x )y -3xy =0
答案：
(2m)
y =0,
0
(2m-1) m-1 2 2 2 m-1 2
- 1
或y = (-1) * 1 *3 …(2m-1) =(-1) [(2m-3)!!]
(2m-1) 2 2 2 2
- 1
y =3 *5 …(2m-3) = [(2m-3)!!]
要从3)的普遍式内得出这一结果，却没有这样简单。
6)勒尚达多项式。
最后我们考察以勒尚达（A.M.Legendre）命名的重要多项式，它由下列等式
n 2 n
- 1
d (x -1)
X (x)=C (n=1,2,3,…)
n n n
dx
- 1
来定义, 其中常系数C 的值可看情形根据怎样能够方便的原则而给定。
n
- 1
首先要证明：(n次)多项式X (x)有n个不同的实根，这些根都在-1与+1之间。
n
- 1
为了方便起见，暂设
C =1
n
2 n n
- 1
不难看出，多项式(x -1) =(x-1) (x+1) 和它的n-1个相继各阶导数在x=±1时变为零。
于是根据洛尔定理，它的一阶导数也将有根在-1与+1之间； 这样一直到n-1阶导数，它除了有根-1与+1外，还有n-1个根介于其间。再对这导数应用一次洛尔定理，便得到所要证的结论。 仍令系数C =1，我们来确定多项式X (x)在x=±1时的数值。
n n
2 n n n
- 1
- 2
- 3
把幂(x -1) 看成(x+1) 乘(x-1) 的积，依莱布尼兹公式可以写成;
n n n n-1 n n n
n d (x-1) 1 d(x+1) d (x-1) d (x+1) n
- 1
- 2
- 3
X (x)=(x+1) * +C * * +…+ * (x-1)
n n n-1 n
dx dx dx dx
- 1
因为从第二项起的各项都含因式x-1，它们在x=1时都等于0，所以显然有：
n
- 1
X (1)=2 *n!
n
类似地可得：
n n
- 1
X (-1)=(-1) *2 *n!
n
若在定义勒尚达多项式X (x)的一般公式中设
n
1
- 1
- 2
- 3
c =
n n
2 *n!
- 1
则得到特别常见的多项式，今后我们将把这多项式记为 P (x)
n
n
- 1
- 2
- 3
其特征是在点x=1和x=-1处取值P (1)=1, P (-1)=(-1) ,
n n
- 1
用莱伯尼兹公式很易进一步证明勒尚达多项式X (x)满足下列关系式：
2
(x -1)X`` +2x*X` -n(n+1)X =0
n n n
- 1
它在这类的多项式的理论中担任着重要角色。实际上，令
2 n 2 n-1
- 1
y=(x -1) ，就有 y`=2nx*(x -1) ,
于是
2
(x -1)y`=2nxy
今在最后的等式的两端各取(n+1)阶导数；依莱伯尼兹公式，
2 (n+2) (n+1) n(n+1) (n) (n+1) (n)
(x -1)y +(n+1)2xy + 2y =2nx*y +(n+1)2ny
2
- 1
由此
2 (n+2) (n+1) (n)
(x -1)y +2x*y - n(n+1) y =0
再以c 乘之，就得到所要证明的关系式。
n
- 1
7)求函数y=arc sin x 在x=0时的各阶导数的数值。
因为
1 2
- 1
y= 故，y* (1-x ) =1
2
1-x
- 1
- 2
- 3
设 2
y`* (1-x ) =t
在这等式两端取n阶导数（应用莱伯尼兹公式）：
2 (n) (n)
- 1
[y`* (1-x ) ] =t
2 (n+1) 2 (n) 2 (n-1)
- 1
(1-x )y +n( (1-x ))` * y +n(n-1)( 1-x )`` *y =0
因为
2
2 (1-x )` x
- 1
- 2
- 3
(1-x )`= =-
2 2
2 1-x 1-x
2 x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
(1-x )``=(- )`
2 1-x 2 2 2 1-x -x 1-x =- 2 1-x 2 =- 1-x (n) 2 (n+1) x*n*y 2 (n-1) 1-x y - - n(n-1) 1-x y =0 2 1-x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
在此处令x=0，若以添加下标0来表示在x=0时的导数值，则得
(n+1) 2 (n-1) (n-1)
y = n(n-1) 1-x y = n(n-1) y
0 0 0
- 1
在x=0时，导数
-3
1 2 2 2
- 1
- 2
- 3
y``=- (1-x ) (1-x )`
2
-3
2 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
=x*(1-x )
即y`` =0
0
- 1
由已求出的关系式易见恒有
(2m)
y =0
0
至于奇阶导数，就有递推公式：
(2m+1) (2m-1)
y =(2m-1)2my
0 0
注意y` =1
0
- 1
由此就得
(2m+1) m+1
- 1
y =(-1) (2m)!
0
这一结果也可以从任意阶导数的普遍公式116.8）中得到
7a)求函数y=arc cos x 在x=0时的各阶导数的数值。
因为
1 2
- 1
y=- 故，-y* (1-x ) =1
2
1-x
- 1
- 2
- 3
设 2
-y`* (1-x ) =t
在这等式两端取n阶导数（应用莱伯尼兹公式）：
2 (n) (n)
- 1
[-y`* (1-x ) ] =t
2 (n+1) 2 (n) 2 (n-1)
- 1
-(1-x )y -n( (1-x ))` * y -n(n-1)( 1-x )`` *y =0
因为
2
2 (1-x )` x
- 1
- 2
- 3
(1-x )`= =-
2 2
2 1-x 1-x
2 x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
(1-x )``=(- )`
2 1-x 2 2 2 1-x -x 1-x =- 2 1-x 2 =- 1-x (n) 2 (n+1) x*n*y 2 (n-1)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
-
1-x y + + n(n-1) 1-x y =0
2 1-x- 1
- 2
- 3
在此处令x=0，若以添加下标0来表示在x=0时的导数值，则得
(n+1) 2 (n-1) (n-1)
y = n(n-1) 1-x y = n(n-1) y
0 0 0
- 1
在x=0时，导数
-3
1 2 2 2
- 1
- 2
- 3
y``= (1-x ) (1-x )`
2
-3
2 2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
=x*(1-x )
即y`` =0
0
- 1
由已求出的关系式易见恒有
(2m)
y =0
0
至于奇阶导数，就有递推公式：
(2m+1) (2m-1)
y =(2m-1)2my
0 0
注意y` =1
0
- 1
由此就得
(2m+1) m+1
- 1
y =(-1) (2m)!
0
这一结果也可以从任意阶导数的普遍公式116.8）中得到
第十部分 无穷小及无穷大的分级
1.无穷小的比较
假定在作某种研究时需同时考察一系列的无穷小量
α，β，γ
一般说来它们是同一变量x（比如说）的函数，而x是趋于有穷极限或无穷极限α的变量。在很多场合，按照它们接近于零的方式而将这些都称为无穷小的量加以比较是很有趣的。二无穷小α及β的比较以其比式的性态为基础。注：我们假定用作除数的变量不等于零，至少当x的数值充分接近于α时是如此。为此，引进下列两个定义：
β α
- 1
Ⅰ.若比式 （ 亦一样）有一异于零的有穷极限，则无穷小α于β称为是同级的。
α β
- 1
Ⅱ.若比式β/α趋于无穷小（相反地，比式α/β趋向于∞），则无穷小β称为是比α高级的无穷小，同时无穷小α就是比β低级的无穷小。
m
- 1
例如，若α=x→0,则sin x,tg x, 1+x -1
与这一无穷小相比较都是与它同级的无穷小，因为，我们已经知道[54,7);56,3)]
m
sin x 1+x -1 1
- 1
- 2
- 3
lim =1, lim =
x→0 x x→0 x m
反之，无穷小：
m 1
1+x -1 - , 1-cos x,tg x-sin x (1)
m
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
显然是比x更高级的无穷小。当然也可能有二无穷小的比式并不趋向于任何极限的情形，例如若取
1
- 1
α=β，β=x sin
x
- 1
则它们的比式等于sin(1/x), ,当x→0时并无极限；在这种情形则说，这二无穷小不能比较。注意，若无穷小β是比无穷小α更高级的，则这一事实就写成：
β=o(α)
例如，可以写
1-cos x=o(x),tg (x)-sin (x)=o(x), 等等
这样，o(α)就可以作为比α更高级的无穷小的普遍记号。我们以后就可以应用这种方便的记法。
- 极限理论的拓广
我们研究多项式
k k-1
- 1
p(x)=α x +α x +…+α x+α
0 1 k-1 k
- 1
而后再研究两个多项式的商
k k-1
- 1
p(x) a x +a x +…+a x+a
0 1 k-1 k
=
l l-1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
q(x) b x +b x +…+b x +b
0 1 l-1 l
- 1
在x→±∞的性态。经变形,
a a
k 1 k
- 1
- 2
- 3
p(x)=x (a + +…+ )
0 x x
k
- 1
- 2
- 3
很容易确定
lim p(x)=±∞ (∞－∞)
- 1
x→±∞
注：(∞－∞) 表示x和p(x)是(∞－∞)型的不等式
即lim x的极限是+∞ ，lim p(x)的极限是-∞ ，
x→+∞ x→-∞
表达的是x 趋于±∞，p(x) 趋于±∞时的极限. 并且极限的符号可以这样确定：
当k为偶数时它仅由a 的符号来决定，当k为奇数时除a 以外还要看x的符号。
0 0
- 1
2)类似于此，我们可求出
a ∞
p(x) 0
- 1
- 2
- 3
lim =±∞, ,0( )
x→±∞ q(x) b ∞
0
∞ ∞
- 1
- 2
- 3
注：( ) 表示p(x)和q(x)是（ ）型的不等式
∞ ∞
- 1
即lim p(x) 的极限是∞，lim q(x) 的极限是∞，
x→±∞ x→±∞
表达的是p(x) 趋于∞，q(x) 趋于∞时的极限, 按照k>l,k=l或k<l。
极限的符号（在第二种情形）依a 及b 的符号而确定，
0 0
- 1
但在k-l为奇数时还须以x的符号而确定。
3）今将证明对于任意的正有理指数r有公式
r
(1+x) -1 0
- 1
- 2
- 3
lim =r ( )
x→0 x 0
0 r 0
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
注:( ) 表示(1+x) -1和x是( ) 型的不等式
0 0
- 1
r
即lim (1+x) -1的极限是∞，lim x的极限是∞，
x→±∞ x→±∞
表达的是p(x) 趋于∞，q(x) 趋于∞时的极限, 按照k>l,k=l或k<l。
注：在下面[77.5)(6)]它将被普遍地推广到任意的实指数的场合。
从指数为自然数：r=n这种最简单的情形开始。依牛顿二项定理
n n(n-1) 2 n
- 1
（1+x) -1 nx+ x +…+x
1*2
=
- 1
- 2
- 3
x x
n(n-1) n-1
=n+ x +...+x
1*2
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
因为当x→0时最后一式的一切项，除第一项外，都趋于0，因此实际上就成为
n
(1+x) -1
- 1
- 2
- 3
lim =n
x→0 x
1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
今令r= （式中m是自然数），并考察式子
m
m
1+x -1
x
m m
假定 1+x -1=y, 由此x=(1+y) -1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
因为（当作│x│<1)
m
1-│x│< 1+x <1+│x│
- 1
- 2
- 3
所以 m
lim 1+x =1
x→0
- 1
- 2
- 3
于是，随同着x→0亦有y→0.则依前面的情形。
m
1+x -1 y
lim = lim =1/m
x→0 x m
(1+y) -1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
最后，要证明一般的情形r=n/m, 仍引用辅助变数y:
n/m n n
- 1
（1+x) -1 (1+y) -1 (1+y) -1 y
= = *
m m
x (1+y) -1 y (1+y) -1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
由此
n/m
- 1
（1+x) -1 n
lim =
x→0 x m
4)求极限
m x
1+x -1-
lim m
x→0 2
x
m
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
仍用同样的代换式 1+x -1=y , 则被考察的式子变为
1 m m-1 2
- 1
y- [(1+y) - y +…
m 2
- 1
m 2 = 2 2
[(1+y) -1] m y +…
-(m-1) +…
2
= 2
m +…
m-1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
由此，立刻明白，所求的极限等于- 2
2m
- 1
5)极限
sin x
lim =1
x→0 x
经常被应用着去求其他极限
(a)
1-cos x 1 0
lim 2 = ( )
x→0 x 2 0
0 2 0
- 1
注:( ) 表示1-cos x和x 是( ) 型的不等式
0 0
- 1
2
即lim 1-cos x的极限是0，lim x 的极限是0，
x→±∞ x→±∞
显然
n/m 2 1 x
- 1
1-cos x 2sin 1 sin
2
- 1
