纹理映射、三角形的插值：重心坐标(Barycentric Coordinates)、纹理相关问题、纹理太小了、纹理太大了、Mipmap的流程、纹理的应用_三角形重心插值

纹理映射

纹理就是一张图，将其贴在三维物体。
纹理映射（Texture Mapping），又称纹理贴图，是将纹理空间中的纹理像素映射到屏幕空间中的像素的过程。简单来说，就是把一幅图像贴到三维物体的表面上来增强真实感。

任意三角形的顶点都能找到顶点在纹理上哪个位置。


不管长宽比和分辨率，U和V的范围都在0到1内。三角形的三个顶点，每个顶点都对应一个UV。

纹理能被多次使用。如果纹理重复上下左右可以无缝衔接，则称这个纹理是tiled textures。（有一种算法叫Wang tiling）
知道了三角形的三个顶点的UV坐标，如何得出三角形内部的UV坐标，引出三角形的插值。

三角形的插值：重心坐标(Barycentric Coordinates)

插值的作用

如果对三角形的三个顶点都有特定的值，可以得到三角形内任何一点的这个值，并且这些值从一个顶点到另一个顶点是平滑过渡的。
插值的对象？
纹理坐标，颜色，法线向量…
插值的方法？
重心坐标

重心坐标系

重心坐标是定义在三角形上的，在重心坐标系中，三角形平面的任何一个点(x,y)都可以表示成三角形三个顶点的线性组合（系数分别是α β γ ，且满足这三个系数相加和为1）。如果这个点在三角形内，则需要α β γ都是非负的。
例如：
A点的重心坐标( α , β , γ ) = ( 1 , 0 , 0 )且(x,y)=αA+βB+γC=A

获得三角形的重心

重心的性质：将重心与三个顶点相连，可以把三角形分割成等面积的三个三角形。下面是重心坐标系和普通坐标系下的三角形重心坐标。

获得三角形任意一点的重心坐标

可以通过面积比求重心坐标。α,β,γ的计算如下所示，其中A点对应A _A(表示A点的面积)，B点对于B_B,C点对于C_C

然后通过叉积求面积，得到重心坐标的一般的表达式。

使用重心坐标

1. 先算出重心坐标的位置,确定α β γ
2. 再利用重心坐标做插值
   
   V可以是任何属性，只要根据位置把α β γ确定下来，就可以确定该位置对应某个属性的插值。
   注意：
   如果三角形是空间里的三角形，投影后三角形会发生变化，重心发生变化。即投影变换下，重心坐标是不能保持不变的。所以想要插值三维空间的属性，就要找三维的坐标，算出相应的重心坐标并做插值，不能在投影后的三角形做插值（比如深度）。

应用纹理

对于每一个光栅化的样本（x,y）的应用流程如下：

1. 根据三角形顶点的纹理坐标获得该位置的(u,v)。
2. 在纹理上查询这个（u，v）对应的颜色值
3. 在该样本设置这个颜色。可以认为这个纹理定义漫反射系数Kd，如果使用Blinn-Phong，将纹理颜色替换kd，便可以将纹理贴上去，同时拥有Blinn-Phong的效果。
   

纹理相关问题

纹理太小了

假设一张 480 * 270 尺寸的纹理要铺满渲染到分辨率为 1920 * 1080 的屏幕上，此时一个纹素的大小可以理解为是像素的4倍，多个像素点对应一个纹理坐标。
对于任何一个点找到纹理上的位置，如果纹理上的这个位置不是整数，采用四舍五入的办法变成整数。这样的话在一定范围内查找的是相同的纹理上的像素（texel 称为纹理元素、纹素 ）。

纹理太小会出现一块一块的效果，没有平滑的过渡。

双线性插值 Bilinear interpolation

如图中红色点是屏幕空间下一像素所对应在纹理空间中的点，会去采样离他最近的那个纹理颜色点，这种近似采样方法是不可取的。

首先取出离红色点最近的4个黑色顶点，分别算出，该红色点在水平及竖直方向偏移的比率s,t，如下图所示。

水平方向插值得u₀和u₁，竖直方向插值得结果：

1. 利用水平比例s，线性插值出u₀₀和u₁₀之间u₀点的颜色值，以及u₀₁和u₁₁之间的u₁点的颜色值。
2. 最后利用竖直方向比例t，对u₀和u₁线性插值出红色点的颜色值。
   这样利用两次线性插值，考虑到了周围4个点的颜色值，得到了平滑过渡的颜色，能够很好的缓解走样失真现象，并且计算速度较快。

Bicubic 双向三次插值

除了双线性插值外，还可以使用双三次插值(Bicubic Interpolation)，取的是周围16个像素而非4个像素（非线性），虽然效果好但是带来的弊端就是开销会很大。

纹理太大了

后果严重的走样

如果纹理过大会出现更加严重的走样，远处摩尔纹，近处锯齿。

原因

由于近大远小的透视关系，对于一个像素来说，近处覆盖的纹理区域相对较小，许多个采样点对应了同一个纹理颜色；而远处覆盖的纹理区域则很大，用一个点的采样无法代表一大块纹理区域的颜色变化。

这种屏幕像素对纹理贴图的覆盖区域，被形象的称为屏幕像素在纹理空间的footprint。
屏幕上的像素从近到远，一个像素覆盖纹理上的区域是由少到多的。
但是对于很远的点，一个像素的颜色值以一个中心点来采样是相当不准确的。

从采样来看纹理过大的影响

其实道理类似，纹理过大，每个纹素的大小相较于像素更小了，就导致每个像素覆盖的区域实际上会包含多个纹素，但在片元着色阶段只会进行一次点采样，得到的结果显然是不够“精密”的。从信号学的角度上来理解，每个像素的采样频率远远低于纹理上的变化频率，于是也会形成锯齿的效果。假设一张特别大的纹理贴在地面上，由于透视摄像机的近大远小原理，会放大像素与纹素的信号频率差距，因此远处的地面会形成一种叫做“摩尔纹”的效果。

解决的思路

对于锯齿的效果，上面说过可以采用双线性插值方法修复，通过插值平滑的过渡；对于摩尔纹，由于采样点不足，采样的速度跟不上信号变化的速度，可以采用超采样方式，增加采样点，例如几百倍的超采样，显然可以解决问题，但是付出的代价是极为高昂的计算成本，显然不可取。
解决方法：避免采样，不采样，快速获得一片区域的平均值,范围查询。

Mipmap

引入

1. 超采样可以解决纹理过大的问题，但是它消耗过大，如果有一种算法可以立刻获得平均而不用进行太多计算就好了。
2. 从近到远一个像素对应的采样区域大小是不同的，所以这个算法的范围查询应该可以查出任意不同范围的大小。
   

作用

允许进行不同大小的范围查询。（快速的正方形的近似范围查询fast、approx.、square）

定义

Mipmap是一种典型的空间换时间的解决方案，通过「范围查询」来替代之前双线性差值所做的「点查询」，它的好处就是速度快，但是也有缺点：结果不够准确、只能用于正方形(2的幂次方）贴图，以及增加了额外的存储量（增量约为1/3）。
Mip意思是很多不同的小东西。
对于一张贴图，可以不断将分辨率缩小一半。


然后只需要找出每个像素在对应层对应位置的映射就可以了。

Mipmap的流程

1. 获得自己和邻居的中心位置，计算像素覆盖纹理的面积。
   
2. 将这四个位置在纹理空间上进行映射。
   
   其中，D是层数，只需要知道L就可以计算，代表这个像素应该在第D层Mipmap去寻找颜色。
   
   假设一个三角形覆盖屏幕一定区域的像素，其中选择一红色的采样点以及其相邻的3个采样点（都是红色），映射到纹理坐标系下，求出两个像素采样点在纹理坐标系下的近似长度 L 以及一块粉红色的区域。根据这块区域的近似面积以及纹素的大小，就可以得出该使用哪个层的Mip了。
   比如：
   如果正好是一个纹素的大小，也就是一个像素对应一个纹素，那么就选择第0层的Mip
   如果对应四个纹素的大小，也就是一个像素对应4个纹素，那么就选择第1层的Mip

问题

如下图是Mipmap可视化，可以发现有渐变，但是渐变不连续。
当计算出的层数恰好不是整数的时候（事实上经常会出现这种情况），同一纹理上的不同Mip之间会出现明显的断层现象，如下图底部的红色区域，深红色直接过渡到鲜红色，十分地不自然。

出现了这种不自然的过渡，解决办法依然是老办法：「差值」 ！

三线性插值 Trilinear Interpolation

三线性插值即两次查询，一次插值，找到D和D+1层的结果然后进行插值。

经过三线性插值后的Mipmap可视化

使用三线性差值计算出的Mipmap颜色依旧会有问题

出现了Overblur（远处模糊的过分了）

原因：只能对正方形进行近似，插值不是精确而是近似值。Mipmap只能针对正方形纹理进行Mip分层，当透视效果越明显，越远处的像素对应纹理中的区域会越不接近正方形（更像长条的矩形，甚至连矩形都不是），如果使用面积更大的正方形来包住这个区域，此时的结果就会愈加不准确，造成了越远处越模糊的感觉。

（部分）解决三线性插值问题：各向异性过滤（Anisotropic Filtering）

产生上面这种现象的原因是因为，所采用的不同level的Mipmap默认的都是正方形区域的采样，然而真实情况并不是如此，见下图:

可以看出不同屏幕空间的像素点所对应的footprint是不同的，有长方形，甚至是不规则图形，那么针对这种情况，有的需要水平方向的高level，有的需要竖直方向上的高level，因此也就出现了各向异性的

各向异性可以用不同的长宽比进行缩小，也就是可以用矩形区域做范围查询，而代价就是消耗更多的存储。
利用这样不同比例的Mipmap贴图，结果就会明显好很多:

覆盖不规则的形状 —— EWA filtering

对于不规则的形状可以拆成几个圆形去覆盖这个形状。每次查询一个圆形，然后多次查询来覆盖不规则的形状。

纹理的应用

纹理的理解

在现代的GPU中， texture = memory + range query,texture是一块数据可以做各种不同的查询。可以定义不同的属性，不限定为颜色，如高度、法线等向量信息

环境光照（贴图） Environment Map

如下茶壶会被环境光照亮，即它可以反射出任何方向来的光。如下图就反射出了窗户和门

可以把环境光记录到球上，并且展开。


展开后出现了扭曲问题（向中间扭曲）
解决办法 —— Cube Map
即不把光照信息存在球的表面上，而是立方体的表面。

因为立方体各个面是均匀的，所以不会出现扭曲。

存在的问题：相对于球来说，需要多记录一个方向。
本质：记录不同方向的光照信息。

纹理可以影响着色

纹理可以定义任何不同位置任意不同的属性，比如定义任何一个点的相对高度。
如下图就是一种凹凸贴图（定义法线的不同），这样就可以不用定义复杂的几何形体。

Bump Mapping 凹凸贴图

Normal Mapping法线贴图不等于Bump Mapping凹凸贴图，法线贴图存储的是法线，凹凸贴图存储的是高度差。

凹凸贴图的作用

凹凸贴图可以定义复杂的纹理，但是不改变任何几何信息（三角形数量不变）。

• 把任何一个像素的法线做扰动
• 纹理定义任何一个点相对高度的移动
• 然后可以通过高度的变化改变法线

如何扰动法线（in flatland）

如何扰动法线（in 3D）