深度优先遍历 洛谷P1219八皇后_一个如下的6×6 的跳棋棋盘,有六个棋子被放置在棋盘上,使得每行、每列有且只有一

题目描述

一个如下的 6×6 的跳棋棋盘，有六个棋子被放置在棋盘上，使得每行、每列有且只有一个，每条对角线（包括两条主对角线的所有平行线）上至多有一个棋子。

上面的布局可以用序列 2 4 6 1 3 5 来描述，第 ii 个数字表示在第 ii 行的相应位置有一个棋子，如下：

行号 1 2 3 4 5 6

列号 2 4 6 1 3 5

这只是棋子放置的一个解。请编一个程序找出所有棋子放置的解。
并把它们以上面的序列方法输出，解按字典顺序排列。
请输出前 33 个解。最后一行是解的总个数。

输入格式

一行一个正整数 n，表示棋盘是 n×n 大小的。

输出格式

前三行为前三个解，每个解的两个数字之间用一个空格隔开。第四行只有一个数字，表示解的总数。

输入输出样例

输入 #1复制

6

输出 #1复制

2 4 6 1 3 5
3 6 2 5 1 4
4 1 5 2 6 3
4

说明/提示

【数据范围】
对于 100% 的数据6≤n≤13。

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 1.5

今天来聊一道非常经典的DFS题目，八皇后。简单来介绍一下八皇，大家都知道国际象棋里的皇后吗。国际象棋里的皇后可以走直线，斜线(对角线)，周围四格。这里我们给定一个棋盘，求得我们能在这个棋盘上放最多的皇后的数量，并且找到前三个棋子所放置的位置。这应该是所有接触DFS之后每个人都会见过的题目。

因为代码基本上不会有太大的差别，所以将之前讲的全排列的文章放在这里全排列，大家可以依据这个进行代码模板的记忆。

这里可以举个例子让大家更加了解这个八皇后问题

假设是一个 4 * 4的格子，我么来枚举放皇后，在表格中放入皇后(1)

假设第一行第一列最先放入一个皇后

 

现在第二行能在第三列和第四列能够放入皇后，现在放入第三列 

现在第三行已经无法放下其他皇后了

红线未第一行的皇后所限制的位置， 蓝线为第二行所限制其他皇后所放置的位置

因此，第四行的皇后只能放在第二列了

这里只是拒了一种放皇后的方法，但是应该足够用来理解题意了

现在来开始coding吧

先进性变量的声明，皇后能阻止行存在，列存在，对角线存在，反对角线存在其他皇后，这里为什么需要将对角线的数组长度开为两倍，因为一个正方形的棋盘，其中对角线的数量应该是2N - 1

const int N = 20;
int n, sum = 0;
int col[N], dg[2 * N], udg[2 * N];
int path[N];//找到的皇后位置
//path为模拟的皇后位置，col判断列,dg对角线,udg判断反对角线

这里我们由行开始枚举，所以我们并没有创建关于行的数组，因为如果关于行进行枚举，就已经确定了每一行只能有一个皇后。

void dfs(int now) {
	if (n == now) {
	    sum++;
		for (int i = 0; i < n; i++) {
		    if(sum <= 3) cout << path[i] << " ";
		}
		if(sum <= 3) cout << endl;
		return;
	}
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		if (!col[i] && !dg[i + now] && !udg[n - now + i]) {
			path[now] = i + 1;
			col[i] = dg[i + now] = udg[n - now + i] = 1;
			dfs(now + 1);
            //回溯，将状态还原
			col[i] = dg[i + now] = udg[n - now + i] = 0;
		}
	}
}

这段代码里面最难理解的应该是对 棋盘中对角线和反对角线的理解，为什么对角线的位置是i + now

反对角线的位置是n - now + i

这里先讲一下对角线和反对角线的含义

 这时每一个对角线所代表的格子，我们用数组进行表示，大家可以以二维的坐标轴来看。

假设对角线为y = x + b,那么对角线就为 y = -x + b

用截距来思考，应该是这样的一个坐标轴

 截距可以代表对角线的位置，那么b = y - x , b = y + x。这里now 就是这里的x , i就是这里的y

但是因为数组下标(也就是B)不能是负数，所以我们需要 + n,这也就是八皇后最难的地方

最难的地方讲完了，因为只需要找到三个答案就行，所以需要限定一下答案的个数。

这道题目就算是完成了

现在把完整代码放在下面以供大家参考

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 20;
int n, sum = 0;
int col[N], dg[2 * N], udg[2 * N];
int path[N];//找到的皇后位置
//path为模拟的皇后位置，col判断列,dg对角线,udg判断反对角线
void dfs(int now) {
	if (n == now) {
	    sum++;
		for (int i = 0; i < n; i++) {
		    if(sum <= 3) cout << path[i] << " ";
		}
		if(sum <= 3) cout << endl;
		return;
	}
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		if (!col[i] && !dg[i + now] && !udg[n - now + i]) {
			path[now] = i + 1;
			col[i] = dg[i + now] = udg[n - now + i] = 1;
			dfs(now + 1);
			col[i] = dg[i + now] = udg[n - now + i] = 0;
		}
	}
}
int main() {
	cin >> n;
	dfs(0);
	cout << sum;
	return 0;
}