Transformer-XL全解读_transformerxl

Motivation

Transformer最大的问题在于没有办法建模超过最大长度的序列，例如base bert其支持的序列最大长度是512，超过了该长度的序列需要进行截取，再把截取后的片段分别用bert进行编码，该方法虽然可行，但是存在上下文碎片化的问题，也就是说每个片段是单独建模的，互相之间没有上下文信息，并且，不同的片段位置编码都是从0开始，明显是有问题的。

可见Transformer对于较长的序列建模能力有限，如何解决该弊端就该Transformer-XL大显身手了。

Transformer-XL

Transformer-XL主要提出了两个优化点

• Segment-Level Recurrence Mechanism 段级递归
• Relative Positional Encodings 相对位置编码

接下来我们分别看下两个优化点是如何做的

1、Segment-Level Recurrence Mechanism

在讲解第一个优化点之前，我们简单回顾下vanilla transformer，在训练阶段如果要对多个片段编码，其训练过程如下图，可以看到，两个片段没有相互依赖，上下文信息会丢失，不同的片段位置编码一样，因此也不准确。

再看下inference阶段，对于第一个segment，预测和vanilla版本一样的，跨段预测时(大于第一个片段的序列)，由于依赖的上下文长度是固定的，可以理解为使用了一个滑动窗口，每次窗口的值都不一样，所以每次只能预测一个字/词，并且每次都要完整的计算，例如下图中，每个segment长度是4，超过4的部分只能逐字/词计算。

为了解决固定长度的限制，Transformer-XL提出了一种递归机制，如下图，第一个segment计算完成后，把计算的结果保存下来，在计算第二个片段的时候，把第一个片段的hidden state和第二个片段的hidden state拼接在一起，再进行后续的计算。

我们看下具体的计算公式，其中h表示的是hidden state，$\tau$表示第$\tau$个segment，SG函数表示的是不更新梯度，[]表示的是向量的拼接，第一个公式的意思即：第$\tau +1$个segment第n-1层的hidden state 等于第$\tau$个segment第n-1层的hidden state拼接上第$\tau +1$个segment第n-1层的hidden state，后续两个公式和vanilla版本类似，但要注意，q是未拼接的hidden state，k、v是拼接过后的，因为q表示的是当前的segment，所以不需要拼接。

可以看到，对于第一个segment来说，hidden state是没有额外需要拼接的值的，从第二个segment开始才需要拼接，在论文中，每次都是和上一个segment进行拼接，理论上来说每次可以拼接多个segment，第n个segment可以和前n-1个segment进行拼接，不过这个就取决于你自己的显存了，并且一个segment通常来说不会像上图中的这么短(一个segment可能长度就512了)，文本自身的上下文依赖一般也不会超过一个segment的长度。

再看下inference阶段，大于第一个segment的序列，均可以进行批计算，每个批的长度是segment的长度，并且，由于每次都会保存前一个segment的hidden state，所以不需要像vanilla版本重新计算。论文中对比了一下，Transformer-XL在enwiki8数据集上的inference速度是Vanilla Transformer的1800+倍

2、Relative Positional Encodings

接下来我们来看第二个优化点，相对位置编码。Vanilla Transformer使用的是绝对位置编码，其计算方式如下，pos表示的是token的下标，$d_{model}$表示的是hidden size，i表示的是具体的某个维度。

可见，不同的片段的同一个位置其位置编码都是一样的，模型没办法正确区分不同片段的位置信息，我们再看下Transformer-XL的位置编码是怎么做的。

Vanilla的位置编码是和embedding相加后输入到下一层的，Transformer-XL的位置编码没有在输入上做处理，而是对attention score进行了修改，先回顾下vanilla版本attention score的计算

$$A^{abs}=Q{W}_{q}K{W}_k$$

把Q和K展开，E表示embedding，U表示位置编码

A a b s = ( E q + U q ) W q ( E k + U k ) W k = ( E q W q + U q W q ) ( E k W k + U k W k ) = E q W q E k W k + E q W q U k W k + U q W q E k W k + U q W q U k W k

$$\begin{aligned} A^{abs}&=(E_q+U_q)W_q (E_k+U_k)W_k \\ &=(E_qW_q+U_qW_q)(E_kW_k+U_kW_k) \\ &=E_qW_qE_kW_k + E_qW_qU_kW_k+U_qW_qE_kW_k+U_qW_qU_kW_k \end{aligned}$$ Aabs​=(Eq​+Uq​)Wq​(Ek​+Uk​)Wk​=(Eq​Wq​+Uq​Wq​)(Ek​Wk​+Uk​Wk​)=Eq​Wq​Ek​Wk​+Eq​Wq​Uk​Wk​+Uq​Wq​Ek​Wk​+Uq​Wq​Uk​Wk​​

即论文中下图的公式

考虑一下，当query与key进行计算时，实际上并不需要知道key的绝对位置编码，模型实际上需要的是一个“时间线索”即字词的一个先后顺序，因此，知道query与key的相对位置即可。根据以上的思路，Transformer-XL做了三个方面的改进，分别如下

• 把b与d中的key的绝对位置编码$U_j$替换为相对位置编码$R_{i-j}$，表示的是i和j的相对距离，$R_{i-j}$是sinusoid encoding matrix，没有额外的训练参数。实际上和vanilla的位置编码一样的，关键是这里的位置编码只给key用，而key的长度，在第一个片段和query的长度一样，之后的片段，key长度=上一个片段hidden state长度+当前片段key的长度，因此$R_{i-j}$是能够表示出key的相对距离的。
• 因为无论query在序列中的绝对位置如何，其相对于自身的相对位置都是一样的与在序列中的绝对位置无关，应当保持不变.。用两个可训练的参数u、v分别替换c、d中的$U_i^T{W}_q^T$与$U_i^T{W}_q^T$
• vanilla版本的key位置编码与embedding都是采用同样的变化矩阵，xl中，把key的位置编码和embedding分别用了不同的线性变化，其中$W_{k,R}$对应位置编码，$W_{k,E}$对应embedding。

在新的参数下，每一项都有了一个具体的含义，a表示的是query与key的内容相关性，b表示的是query的内容和key的位置的相关性，c表示的是query的位置与key的内容的相关性，d表示的是quey与key的位置的相关性

总结一下，对于一个N层1个head的Transformer-XL，其完整步骤如下

除此之外，论文中对b与d的计算做了一定的优化，$R_{i-j}$需要分别计算i与j的值，时间复杂度是$O(n^2)$，优化后能达到$O(n)$

首先定义一个Q矩阵，表示相对位置编码，注意，R是反着来的从$M+L-1$到0

把b的结果展开，实际上是一个$L\times (M+L)$的matrix，其中L表示segment的长度，M表示memory的长，结果为

如果我们定义一个$\tilde{B}=q{Q}^T$则有

对比下$B$与$\tilde{B}$，第i行的$B$实际上就是第i行的$\tilde{B}$进行了左移，因此，计算$B$只需要先计算出$\tilde{B}$然后按行左移。同理，d也可按照相同的方法进行计算

References

Transformer-XL: Attentive Language Models Beyond a Fixed-Length Context