最长递增子序列的个数

LeetCode 673

最长递增子序列的个数

给定一个未排序的整数数组，找到最长递增子序列的个数。

示例 1:

输入: [1,3,5,4,7]
输出: 2
解释: 有两个最长递增子序列，分别是 [1, 3, 4, 7] 和[1, 3, 5, 7]。、
1
2
3

示例 2:

输入: [2,2,2,2,2]
输出: 5
解释: 最长递增子序列的长度是1，并且存在5个子序列的长度为1，因此输出5。
1
2
3

解法1：动态规划

解题思路：

首先，最长子序列的长度我们可以用动态规划的思想来解决

定义dp数组为以nums[i]为结尾的子序列的最大长度

因此我们有以下转移方程

if(nums[i]>nums[j])
    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]+1)
1
2

这一转移方程的含义就是，我要么就保持当前序列的长度，要么放弃当前序列的前面的数字，将当前数字加到以nums[j]结尾的子序列上去

另外，这道题要我们找到长度最大的子序列的个数，也就是说，我们不仅要找到最大子序列的长度，还要找到该长度的所有子序列的个数

我们可以用一个count数组来解决这个问题，我们考虑以下转移方程

1. 当我们把一个nums[i]接到一个以nums[j]为结尾的子序列后面，那么以nums[i]为结尾的子序列的count[i]就要继承count[j]的，因为是直接接到后面
2. 当nums[i]可以接到多个nums[j]上且长度相同，则我们将这些nums[j]的count[j]都加到count[i]上，举个例子，1,3,5,4,7长度为3的子序列有1,3,5和1,3,4, 所以长度为4的子序列的count应该就是这两个的count之和

代码如下：

class Solution {
    public int findNumberOfLIS(int[] nums) {
        int N = nums.length;
        if (N <= 1) return N;
        int[] lengths = new int[N]; 
        int[] counts = new int[N]; 
        Arrays.fill(counts, 1);

        for (int j = 0; j < N; ++j) 
        {
            for (int i = 0; i < j; ++i) 
            if (nums[i] < nums[j]) 
            {
                if (lengths[i] >= lengths[j]) 
                {
                    lengths[j] = lengths[i] + 1;
                    counts[j] = counts[i];
                } 
                else if (lengths[i] + 1 == lengths[j]) 
                {
                    counts[j] += counts[i];
                }
            }
        }

        int longest = 0, ans = 0;
        for (int length: lengths) 
        {
            longest = Math.max(longest, length);
        }
        for (int i = 0; i < N; ++i) 
        {
            if (lengths[i] == longest) 
            {
                ans += counts[i];
            }
        }
        return ans;
    }
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40

时间复杂度为O(N^2)

空间复杂度为O(N)