陀螺仪角速度的积分是否等于姿态角(欧拉角)?_陀螺仪的角度和角速度的关系

1 IMU测量的是什么角速度？

IMU测量的是本体系在惯性系下的角速度在本体系下的分量，其测量的是绝对角速度$\omega$。测量原理[[陀螺仪测量角速度原理|详见]]。

2 陀螺仪角速度的积分是否等于姿态角(欧拉角)？

首先回答不等于。

先给出否定的例子：

我们仅用陀螺仪测量的角速度积分作为姿态角度，第一张图，本体系处于水平，此时三轴姿态角为0°，

第一次旋转，绕俯仰轴旋转45度，此时姿态角为：俯仰角45° 滚转角0° 偏航角0°；

第二次旋转，绕偏航轴旋转90度，此时姿态角为：俯仰角0° 滚转角45° 偏航角90°；

显然，上述过程，如果用陀螺仪测得的角速度作为积分计算姿态，则得到，俯仰角45° 滚转角0° 偏航角90°；而实际上，旋转过后，俯仰角0° 滚转角45° 偏航角90°，与实际情况不符。

原因在于，角速度积分不等于姿态角，而欧拉角速度积分才等于姿态角，角速度、欧拉角、欧拉角速度三者之间存在一定的关系，即欧拉运动学方程

下面给出欧拉角运动学方程的推导过程。

欧拉角的定义
我们把坐标系旋转中的“3-2-1”旋转（Z-Y-X旋转）中的三个角度定义为偏航角$\varphi$、俯仰角$\theta$和滚转角$\psi$。
对应的旋转矩阵分别为：
R 3 ( ϕ ) = [ cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ 0 − sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ 0 0 0 1 ] , R 2 ( θ ) = [ cos ⁡ θ 0 − sin ⁡ θ 0 1 0 s i n θ 0 cos ⁡ θ ] , R 1 ( ψ ) = [ 1 0 0 0 c o s ψ sin ⁡ ψ 0 − sin ⁡ ψ cos ⁡ ψ ] R_{3}(\phi)=

$$\begin{bmatrix} \cos\phi&\sin\phi&0\\ -\sin\phi&\cos\phi&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}$$ , R_{2}(\theta)= $$\begin{bmatrix} \cos\theta&0&-\sin\theta\\ 0&1&0\\ sin\theta&0&\cos\theta \end{bmatrix}$$ , R_{1}(\psi)= $$\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&cos\psi&\sin\psi\\ 0&-\sin\psi&\cos\psi\\ \end{bmatrix}$$ R3​(ϕ)= ​cosϕ−sinϕ0​sinϕcosϕ0​001​ ​,R2​(θ)= ​cosθ0sinθ​010​−sinθ0cosθ​ ​,R1​(ψ)= ​100​0cosψ−sinψ​0sinψcosψ​ ​
旋转方向为从惯性系到本体系的旋转即：
$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=R_1(\psi )R_2(\theta )R_3(\varphi )\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right]$$

我们最后要得出的是$[{\omega }_x,{\omega }_y,{\omega }_z{]}^{\prime }$与$[\dot{\varphi },\dot{\theta },\dot{\psi }{]}^{\prime }$,之间的关系，由于$\omega$通常是陀螺仪测得的，其在本体系下分解，因此将其全部转换至本体系，
[ ω x ω y ω z ] = A i ⃗ + B j ⃗ + C k ⃗

$$\begin{bmatrix} \omega_x\\\omega_y\\\omega_z \end{bmatrix}$$ = A\vec{i}+B\vec{j}+C\vec{k} ​ωx​ωy​ωz​​ ​=Ai +Bj ​+Ck

因此，将每一步旋转过程中出现的欧拉角速度向量，都要转化为最终在本体系下的分量。

假设，惯性系为$(\vec{I},\vec{J},\vec{K})$，第一次旋转产生的新坐标系为$({\vec{I}}^{\prime },{\vec{J}}^{\prime },{\vec{K}}^{\prime })$，第二次旋转产生的新坐标系为$({\vec{I}}^{\prime \prime },{\vec{J}}^{\prime \prime },{\vec{K}}^{\prime \prime })$，第三次旋转产生的新坐标系为$(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$。

从第三次旋转开始看，第三次旋转了$\psi$角度，产生的角速度向量为
[ i ⃗ j ⃗ k ⃗ ] [ ψ ˙ 0 0 ]

$$\begin{bmatrix} \vec{i}& \vec{j}& \vec{k} \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} \dot{\psi}\\0\\0 \end{bmatrix}$$ [i ​j ​​k ​] ​ψ˙​00​ ​

第二次旋转了$\theta$角度，产生的角速度向量为
[ I ⃗ ′ ′ J ⃗ ′ ′ K ⃗ ′ ′ ] [ 0 θ ˙ 0 ] = [ i ⃗ j ⃗ k ⃗ ] R 1 ( ψ ) [ 0 θ ˙ 0 ]

$$\begin{bmatrix} \vec{I}''&\vec{J}''&\vec{K}'' \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 0\\ \dot{\theta}\\ 0\\ \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} \vec{i}& \vec{j}& \vec{k} \end{bmatrix}$$ R_1(\psi) $$\begin{bmatrix} 0\\ \dot{\theta}\\ 0\\ \end{bmatrix}$$ [I ′′​J ′′​K ′′​] ​0θ˙0​ ​=[i ​j ​​k ​]R1​(ψ) ​0θ˙0​ ​

第一次旋转了$\varphi$角度，产生的角速度向量为
[ I ⃗ ′ J ⃗ ′ K ⃗ ′ ] [ 0 0 ϕ ˙ ] = [ i ⃗ j ⃗ k ⃗ ] R 1 ( ψ ) R 2 ( θ ) [ 0 0 ϕ ˙ ]

$$\begin{bmatrix} \vec{I}'&\vec{J}'&\vec{K}' \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 0\\0\\\dot{\phi} \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} \vec{i}& \vec{j}& \vec{k} \end{bmatrix}$$ R_1(\psi)R_2(\theta) $$\begin{bmatrix} 0\\0\\\dot{\phi} \end{bmatrix}$$ [I ′​J ′​K ′​] ​00ϕ˙​​ ​=[i ​j ​​k ​]R1​(ψ)R2​(θ) ​00ϕ˙​​ ​

把上述三个式子相加，可得到
[ ω x ω y ω z ] 在 i j k 中表示 = R 1 ( ψ ) R 2 ( θ ) [ 0 0 ϕ ˙ ] + R 1 ( ψ ) [ 0 θ ˙ 0 ] + [ ψ ˙ 0 0 ]

$$\begin{bmatrix} \omega_x\\\omega_y\\\omega_z \end{bmatrix}$$ _{在ijk中表示}= R_1(\psi)R_2(\theta) $$\begin{bmatrix} 0\\0\\\dot{\phi} \end{bmatrix}$$ + R_1(\psi) $$\begin{bmatrix} 0\\ \dot{\theta}\\ 0\\ \end{bmatrix}$$ + $$\begin{bmatrix} \dot{\psi}\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$$ ​ωx​ωy​ωz​​ ​在ijk中表示​=R1​(ψ)R2​(θ) ​00ϕ˙​​ ​+R1​(ψ) ​0θ˙0​ ​+ ​ψ˙​00​ ​
展开后，可得：
$$\left[\begin{array}{c}{\omega }_x\\ {\omega }_y\\ {\omega }_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& cos\psi & \sin \psi \\ 0& -\sin \psi & \cos \psi \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& -\sin \theta \\ 0& 1& 0\\ sin\theta & 0& \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ \dot{\varphi }\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& cos\psi & \sin \psi \\ 0& -\sin \psi & \cos \psi \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ \dot{\theta }\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\dot{\psi }\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

最终得到
[ ω x ω y ω z ] = [ 1 0 − sin ⁡ θ 0 c o s ψ cos ⁡ θ sin ⁡ ψ 0 − sin ⁡ ψ cos ⁡ θ cos ⁡ ψ ] [ ψ ˙ θ ˙ ϕ ˙ ]

$$\begin{bmatrix} \omega_x\\\omega_y\\\omega_z \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} 1&0&-\sin\theta\\ 0&cos\psi&\cos\theta\sin\psi\\ 0&-\sin\psi&\cos\theta\cos\psi\\ \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} \dot{\psi}\\\dot{\theta}\\\dot{\phi} \end{bmatrix}$$ ​ωx​ωy​ωz​​ ​= ​100​0cosψ−sinψ​−sinθcosθsinψcosθcosψ​ ​ ​ψ˙​θ˙ϕ˙​​ ​

姿态角，可以从上式解出，值得注意的是，小角度下，上式可以进一步简化为：
[ ω x ω y ω z ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] [ ψ ˙ θ ˙ ϕ ˙ ]

$$\begin{bmatrix} \omega_x\\\omega_y\\\omega_z \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} \dot{\psi}\\\dot{\theta}\\\dot{\phi} \end{bmatrix}$$ ​ωx​ωy​ωz​​ ​= ​100​010​001​ ​ ​ψ˙​θ˙ϕ˙​​ ​
此时角速度积分近似等于欧拉角速度积分等于欧拉角。

上式解方程过于困难，因此后续引入了四元数运动学方程来进行姿态解算。

3 关于欧拉角万向锁的解释

无伤理解欧拉角中的“万向死锁”现象_哔哩哔哩_bilibili

把一个问题想清楚并讲清楚不容易，感谢各位看官点赞！