深入解读力扣154题：寻找旋转排序数组中的最小值 II（多种方法及详细ASCII图解）

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在本篇文章中，我们将详细解读力扣第154题“寻找旋转排序数组中的最小值 II”。通过学习本篇文章，读者将掌握如何使用多种方法来解决这一问题，包括线性扫描法和二分查找法。每种方法都将配以详细的解释和ASCII图解，以便于理解。

问题描述

力扣第154题“寻找旋转排序数组中的最小值 II”描述如下：

已知一个长度为 n 的数组，其元素是由范围 [0, n-1] 内的整数构成，并且数组原本是严格递增排序的，但在某个未知的点上进行了旋转（例如，数组 [0, 1, 2, 4, 5, 6, 7] 可能变为 [4, 5, 6, 7, 0, 1, 2]）。这次数组中允许重复元素。请你找出其中最小的元素。

示例 1:

输入: nums = [2, 2, 2, 0, 1]
输出: 0
1
2

示例 2:

输入: nums = [2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1]
输出: 1
1
2

解题思路

1. 初步分析：

   • 数组是旋转排序数组，并且包含重复元素，因此最小值会在旋转点附近。
   • 可以使用线性扫描法或改进的二分查找法来找到最小值。

2. 多种解法：

   • 线性扫描法：简单遍历数组，找到最小值。
   • 改进的二分查找法：处理重复元素，提高搜索效率。

线性扫描法

解法思路

线性扫描法是一种直接的方法，通过遍历数组中的每个元素，找到最小值。

步骤

1. 初始化最小值为数组的第一个元素。
2. 遍历数组中的每个元素，如果发现比当前最小值还小的元素，则更新最小值。
3. 返回最小值。

代码实现

def findMinLinear(nums):
    min_val = nums[0]
    for num in nums:
        if num < min_val:
            min_val = num
    return min_val

# 测试案例
print(findMinLinear([2, 2, 2, 0, 1]))  # 输出: 0
print(findMinLinear([2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1]))  # 输出: 1
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ASCII图解

数组: [2, 2, 2, 0, 1]
遍历过程:
  初始最小值: 2
  比较2: 当前最小值仍为2
  比较2: 当前最小值仍为2
  比较0: 更新最小值为0
  比较1: 当前最小值为0
最终最小值: 0
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改进的二分查找法

解法思路

改进的二分查找法利用数组的特性，通过不断缩小搜索范围，快速找到最小值。与标准二分查找法不同的是，需要处理重复元素的情况。

步骤

1. 初始化左右指针 left 和 right，分别指向数组的起始和末尾。
2. 在 left <= right 的条件下，进行循环：
   • 计算中间指针 mid。
   • 比较 mid 位置的元素和 right 位置的元素：
     • 如果 mid 元素大于 right 元素，说明最小值在右半部分，调整 left。
     • 如果 mid 元素小于 right 元素，说明最小值在左半部分，调整 right。
     • 如果 mid 元素等于 right 元素，无法确定最小值的位置，调整 right。
3. 循环结束后，left 指针指向最小值。

代码实现

def findMinBinarySearch(nums):
    left, right = 0, len(nums) - 1
    
    while left < right:
        mid = (left + right) // 2
        # 比较 mid 和 right 的值
        if nums[mid] > nums[right]:
            left = mid + 1
        elif nums[mid] < nums[right]:
            right = mid
        else:
            right -= 1  # nums[mid] == nums[right] 的情况
    
    return nums[left]

# 测试案例
print(findMinBinarySearch([2, 2, 2, 0, 1]))  # 输出: 0
print(findMinBinarySearch([2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1]))  # 输出: 1
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ASCII图解

数组: [2, 2, 2, 0, 1]
初始状态: left = 0, right = 4

1. mid = (0 + 4) // 2 = 2
   nums[mid] = 2, nums[right] = 1
   2 > 1, 所以最小值在右半部分
   更新: left = 3

2. mid = (3 + 4) // 2 = 3
   nums[mid] = 0, nums[right] = 1
   0 < 1, 所以最小值在左半部分
   更新: right = 3

最终状态: left = 3, right = 3
最小值: nums[left] = 0
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复杂度分析

• 线性扫描法：

  • 时间复杂度：O(N)，其中 N 是数组的长度。
  • 空间复杂度：O(1)，使用了常数空间来存储最小值。

• 改进的二分查找法：

  • 时间复杂度：O(log N) 最坏情况下可能退化为 O(N)，因为存在重复元素时，可能每次只能排除一个元素。
  • 空间复杂度：O(1)，使用了常数空间来存储左右指针和中间指针。

测试案例分析

1. 测试案例 1：

   • 输入: [2, 2, 2, 0, 1]
   • 输出: 0
   • 解释: 数组在 2 之后旋转，最小值 0 在旋转点之后。

2. 测试案例 2：

   • 输入: [2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1]
   • 输出: 1
   • 解释: 数组在最后一个 2 之后旋转，最小值 1 在旋转点之后。

总结

本文详细解读了力扣第154题“寻找旋转排序数组中的最小值 II”，通过线性扫描法和改进的二分查找法两种不同的解法，帮助读者深入理解如何高效地解决这个问题。希望读者通过本文的学习，能够在力扣刷题的过程中更加得心应手。

参考资料

• 《算法导论》—— Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein
• 力扣官方题解

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