【PID精讲 1】入门概述_pid能够控制多少阶线性系统,线性系统具备了什么

写在前面

PID是控制领域最基础应用最广泛的控制算法，在项目中经常用到，之前为了教学和项目需要，学习整理过一些学习资料，在该分栏下，将做系统化分享。本文介绍PID的入门概述，重点从概念引入、适用系统和宏观意义方面进行阐述。

一、引入

首先，我们通过一个水流量控制的例子来引入PID的概念。

控制要求：

• 流量稳定
• 改变流量

工人通过观察当前流量与预期流量的比较来控制阀门的开度。PID的工作就是代替工人的工作。

二、适用系统

PID适用于线性系统（满足齐次性和叠加性的系统就是线性系统）。二阶以内的线性系统的微分方程表示为：

• 零阶线性系统:
  $$y=kx$$

• 一阶线性系统:
  $$T\frac{dy}{dt}+y=kx$$

• 二阶线性系统:
  $$T^2\frac{d{y}^2}{d{t}^2}+2\delta T\frac{dy}{dt}+y=kx$$

2.1 线性系统特性

• 以零阶为例简要证明

1. 齐次性

证明：因为 $y=f(x)$ 推导出 $ky=f(kx)$

2. 叠加性

证明：因为
{ y 1 = f ( x 1 ) y 2 = f ( x 2 ) \left\{

$$\begin{aligned} y_1&=f(x_1)\\ y_2&=f(x_2) \end{aligned}$$ \right. {y1​y2​​=f(x1​)=f(x2​)​

将两式相加，得
$$y_1+y_2=f(x_1)+f(x_2)=f(x_1+x_2)$$

2.2 一阶系统的推导

• 推导过程

上图是RL串联电路，应用KVL和电感的VCR定理得：

{ u R + u L = u u R = R i u L = L d i d t \left\{

$$\begin{aligned} u_R+u_L&=u\\ u_R&=Ri\\ u_L&= L\frac{di}{dt} \end{aligned}$$ \right. ⎩ ⎨ ⎧​uR​+uL​uR​uL​​=u=Ri=Ldtdi​​

将三式整理后，得

$$Ri+L\frac{di}{dt}=u$$

用 $x$ 代替 $u$， $y$ 代替 $i$，常数替换，得一阶系统微分方程

$$T\frac{dy}{dt}+y=kx$$

2.3 二阶系统的推导

• 推导过程

上图是RLC串联电路，应用KVL和电感的VCR定理得：

{ R i + u L + u C = u i = C d u C d t u L = L d i d t \left\{

$$\begin{aligned} Ri+u_L+u_C&=u\\ i&=C\frac{du_C}{dt}\\ u_L&= L\frac{di}{dt} \end{aligned}$$ \right. ⎩ ⎨ ⎧​Ri+uL​+uC​iuL​​=u=CdtduC​​=Ldtdi​​

将三式整理后，得

$$LC\frac{d^2{u}_C}{d{t}^2}+RC\frac{d{u}_C}{dt}=u$$

用 $x$ 代替 $u$， $y$ 代替 $u_C$，常数替换，得二阶系统微分方程

$$T^2\frac{d{y}^2}{d{t}^2}+2\delta T\frac{dy}{dt}+y=kx$$

三、宏观意义

PID应用非常广泛，除了传统的工业应用领域外，在智能家电、自动驾驶、航空航天等领域目前应用也很成熟。