二分图匹配

定义：

• 二分图：一个图被分成了两部分，相同的部分没有边

• 匹配：二分图G的子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不指向同一个顶点

• 极大匹配：在当前已完成的匹配下,无法再通过增加未完成匹配的边的方式来增加匹配的边数

• 最大匹配：是所有极大匹配当中边数最大的一个匹配

• 完全匹配（完备匹配）：一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联

有什么用：

• 定理1：最小点覆盖数 = 最大匹配数

  点覆盖：点集合使得任意一条边至少有一个端点在集合中

• 定理2：最大独立集 = 顶点数 - 最大匹配数

  独立集：点集合中任何两个顶点都不互相连接

• 定理3：最小路径覆盖数 = 顶点数 – 最大匹配数

  路径覆盖：任何一个点都属于且仅属于一条路径

代码实现：（匈牙利算法）
匈牙利算法与交错路

#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstring>
using namespace std;
vector<int> g[1005];
int n,m,e;
int link[1005],cnt;
int vis[1005];
int find(int x){
   
    for(int i=0;i<g[x].size();i++){
   
        int u=g[x][i];
        if(!vis[u]){
   
            vis[u]=1;
            if(link[u]==0||find(link[u])){
   
                link[u]=x;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int main(){
   
    cin>>n>>m>>e;
    int x,y;
    for(int i=1;i<=e;i++){
   
        cin>>x>>y;
        if (x>=1&&y>=1&&x<=n&&y<=m)
        	g[x].push_back(y);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
   
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        if(find(i)) cnt++;
    }
    cout<<cnt;
    return 0;
}
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时间复杂度：

O(nm) 其中n是点数,m是边数

但事实上，对于绝大部分的二分图，匈牙利算法都跑不够上限

KM算法

题目：

最小点覆盖数：

定理证明：http://www.cnblogs.com/jasonlixuetao/p/4756026.html

POJ 3041

题意：有一个N*N的网格,该网格有K个障碍物.你有一把武器,每次你使用武器可以清楚该网格特定行或列的所有障碍.问你最少需要使用多少次武器能清除网格的所有障碍物?

/*把网格的行1到N看成左边点集的点,网格的列号看成右边点集的点
如果(i,j)格有障碍,那么就在左边i点到右边j点之间连接一条边
接下来求最小点覆盖数即可*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn=500+10;
int n;
vector<int> g[maxn];
int vis[maxn];
int link[maxn];
int find(int u) {
   
	for(int i=0;i<g[u].size();i++){
   
		int v=g[u][i];
		if(!vis[v]) {
   
			vis[v]=1;
			if(!link[v]||find(link[v])){
   
				link[v]=u;
				return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}
int main(){
   
	int n,k;
	scanf("%d%d",&n,&k);
	while(k--) {
   
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		g[u].push_back(v); 
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
   
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		if(find(i)) ans++;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}
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最大独立集：

定理证明：最大独立集=顶点数-最小顶点覆盖数=顶点数-最大匹配数

HDU 3829

题意：动物园有若干只狗和猫，每个小朋友都要么喜欢一只狗不喜欢一只猫，要么反过来。现在要移除一些狗和猫，小朋友只有在不移除自己喜欢的动物，移除了自己不喜欢的动物才会开心。问最多能让几个小朋友开心。

/*把人当作节点，矛盾的人连边，做最大独立集*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
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