背景建模中的KDE_kde模型

Kernel Density Estimation（KDE）：核密度估计

给定一个样本集，估计该样本集的概率密度函数有两种方式：
1.参数估计方法
简单来讲，即假定样本集符合某一概率分布，然后根据样本集拟合该分布中的参数，例如：似然估计，混合高斯等，由于参数估计方法中需要加入主观的先验知识，往往很难拟合出与真实分布的模型；
2.非参数估计方法
和参数估计不同，非参数估计并不加入任何先验知识，而是根据数据本身的特点、性质来拟合分布，这样能比参数估计方法得出更好的模型。核密度估计就是非参数估计中的一种。

关于KDE算法的讲解：
b站KDE视频
https://www.cnblogs.com/bonelee/p/11050244.html

KDE2000：

• 算法思路： 对每个像素点选择N个样本用KDE构建立两种背景模型，短期模型与长期模型，运用两个模型分别进行运动检测，计算两者结果的交集（只保留两种模型都分类为前景的像素点），并额外保留短期模型中与交集的前景点相邻的前景点。两个模型的运动检测过程相同，分为两个阶段
  第一阶段：运用KDE算法（核函数选择高斯曲线$N(0,\Sigma )$）对每个像素选择N个样本建立概率密度函数$\mathrm{Pr}(x)$，$$\mathrm{Pr}(x_t)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\prod _{j=1}^d\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_j^2}}{e}^{-\frac{1}{2}\frac{{(x_{t_j}-x_{i_j})}^2}{{\sigma }_j^2}}$$若当前像素值概率$\mathrm{Pr}(x_t)<th$，则认为是前景。
  第二阶段：对第一阶段检测出的前景点进一步处理以降低误检率。
  计算该点像素值属于邻域分布的最大概率$$P_N(x_t)=\underset{y\in N(x)}{\max }\mathrm{Pr}(x_t|B_y)$$计算连通域移动概率（即该像素所属连通域是由附近背景移动过来的概率，该像素所属连通域的所有像素的$P_N(x)$相乘）$$P_c=\underset{x\in c}{\Pi }{P}_N(x)$$若$(P_N(x)>th1)$与$(P_c(x)>th2)$同时满足，则认为是背景。
  （第一个条件表示该点像素值属于旁边的背景分布，第二个条件表示这整个物体都属于旁边的背景分布）
• 核函数带宽 $\Sigma$ 的选择： 计算N个样本绝对偏差$|x_i-x_{i+1}|$的中位数m，则$\sigma =\frac{m}{0.68\sqrt{2}}$，$\Sigma ={\sigma }^2$，原文还提到可以使用线性插值来获得更准确的中位数。
• 模型初始化： 选择N个样本用KDE建立初始的短期模型和长期模型。
• 前景/背景分类： 第一阶段根据$\mathrm{Pr}(x_t)<th$分类为前景，第二阶段只处理第一阶段的所有被分类为前景的点，将符合$P_N(x)>th1$与$P_c(x)>th2$条件的修改为背景点。短期模型和长期模型均用上述步骤进行分类，计算两模型分类结果的交集，并额外保留短期模型中与交集前景点相邻的前景点，将此作为最终分类结果。
• 模型更新： 使用先进先出策略来更新模型，删除旧样本，添加新样本，并重新计算KDE。模型包含短期模型和长期模型。
  短期模型包含N个样本，逐帧采样，分类为背景则替换掉模型中最旧的样本。（像素点的分类以最终分类结果为准）
  长期模型同样包含N个样本，每W/N帧采样一次，直接替换最旧的样本（无论分类是什么），W是自己定义的时间窗口。
• 消除阴影： 给出RGB，则对应的色度坐标/归一化坐标（chromaticity coordinates）$$r=\frac{R}{R+G+B},g=\frac{G}{R+G+B},b=\frac{B}{R+G+B}(r+g+b=1)$$使用RGB空间建模无法消除阴影，rgb空间去除了亮度信息所以可以消除阴影，但这会导致如白色物体在灰背景下无法检测出来，所以加上亮度信息，s=R+G+B表示亮度，使用 rgb 建模并结合 s 可以消除阴影并保留亮度相差过大的物体。步骤如下：
  A是某点表示背景的N个样本的集合，$x_i=<r_i,g_i,s_i>$表示A中的某个样本，$x_t=<r_t,g_t,s_t>$表示 t 时刻观测值，定义集合$B\subseteq A$ B = { x i ∣ x i ∈ A ∧ α ≤ s t s i ≤ β } B = \{ {x_i}|{x_i} \in A \wedge \alpha \le \frac{{{s_t}}}{{{s_i}}} \le \beta \} B={xi​∣xi​∈A∧α≤si​st​​≤β}使用B集合中样本的 r g 进行KDE（同第一阶段），若概率 < th，则依然为前景，否则改为背景。（亮度与背景相差不大且 r g 分量与背景分布相似的判断为阴影）
• 涉及参数： N，邻域的选取，th，th1，th2。原文中N=100，邻域选择为直径为5(像素)的圆，th=th1，th，th1，th2的值未告知。