层次分析法_判断矩阵

层次分析法

背景

填好志愿后，小明同学想出去旅游。在查阅了网上的攻略后，他初步选择了苏杭、北戴河和桂林三地之一作为目标景点。
请你确定评价指标、形成评价体系来为小明同学选择最佳的方案。

三大件

面对评价类问题，我们首先解决三大件：

• 我们的评价目标是什么？答：选出最佳旅游景点
• 我们为了达到目标有几种可选方案？答：三种，苏杭、北戴河和桂林
• 评价的准则或指标是什么？答：题目没给数据，需要查阅相关资料。假设查完资料为指标为景色花费居住饮食交通。

权重表

原本可以把小明抓来填入这个表然后计算每个地点的加权平均就好，分高即为答案。

问题：小明的喜好可能不够稳定，一次性考虑五个指标之间的关系，往往考虑不周

所以：两个两个指标之间进行比较，最终根据两两比较的结果来推算权重

正互反矩阵

我们先根据以下表格来把五个指标的权重进行比较得出：

这个方阵有如下特点：

• Aij表示的意义是，与指标j相比，i的重要程度
• 当i=j，两个指标相同，因此同等重要记为1
• Aij>0且满足Aij * Aji = 1 （正互反矩阵）

再对各个指标两两地点进行比较：

注意：按照人的主观偏好，在比较的过程中很可能出现逻辑错误，例如如下情况。

一致矩阵

所以为了避免这种主观偏好的逻辑错误情况发生：我们需要学习一致矩阵（特点：各行各列之间成倍数关系（Aij*Ajk=Aik），是正互反矩阵。）

注意：在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验（检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的差别）

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线性代数小知识：

我们可以通过模拟右边的图，来寻找最低点的x即为最合适的a，此时最大特征值为n

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一致性检验步骤

第一步：计算一致性指标CI
$$CI=（\lambda -n）/(n-1)$$
第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI

第三步：计算一致性比例CR
$$CR=CI/RI$$
如果CR<0.1，则可以认为判断矩阵的一致性可以接收，否则需要对判断矩阵进行修正（尽量往一致性矩阵上调整：各行各列成比例）。

修正结束后，我们需要对一致或判断矩阵去进行权重计算（归一化）。

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算术平均法求权重

一致矩阵（每列成比例，所以每列得到的权重都是一样的）：

判断矩阵（每列不成比例）：

然后对每个地方求平均权重（景色）：

苏杭：（0.5882+0.5714+0.625）/3 = 0.5949

北戴河：（0.2941+0.2857 + 0.25）/3 = 0.2766

桂林：（0.1177+0.1429+0.125）/3 = 0.1285

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几何平均法求权重

特征值法求权重

一致性矩阵

有一个特征值为n，其余特征值为0

另外，特征值为n时，对应的特征向量为

这个特征向量刚好就是一致矩阵的第一列。（记得归一化处理）

判断矩阵

最终可以得到整个权重，然后再计算每个地点的得分情况最后分高的就是答案：

层次分析法步骤

建立系统的递阶层级结构

构造判断矩阵

计算被比较元素对于该准则的相对权重并进行一致性检验

三种求权重方法

计算各层元素对系统目标的合成矩阵，并进行排序

归一化并加权平均求分数

层次分析法局限性

1. 评价的决策层不能太多，太多的话n很大，判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大。平均随机一致性指标RI的表格中n最多为15
2. 如果决策层中指标的数据已知，那么我们如何利用这些数据来使得评价的更加准确呢

详细代码请见：http://www.moontang.xyz/2021/10/10/%E4%BB%A3%E7%A0%81%E5%9D%97/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BB%BA%E6%A8%A1/%E5%B1%82%E6%AC%A1%E5%88%86%E6%9E%90%E6%B3%95/