动态规划-扔鸡蛋问题_动态规划扔鸡蛋

问题描述

定义鸡蛋的硬度为 k，则代表鸡蛋最高从 k 楼扔下来不会碎掉，现在给你 n 个硬度相同的鸡蛋，楼高为 m，问最坏情况下最少测多少次，可以测出鸡蛋的硬度。

输入
输入两个数字 n,m（1≤n≤32,1≤m<231），代表 n 个鸡蛋和 m 层楼。

输出
输出一行整数，代表最坏情况下最少测多少次可以测出鸡蛋的硬度。

思路

这道题属于动态规划，所以
第一步就要进行状态定义，利用dp[n][m]来表示n个鸡蛋测m层楼最多可以测多少次。

追求一般情况，在第k层楼测的时候，有可能有两种情况，1是鸡蛋碎，2是鸡蛋不碎，因为是最多最少，所以接下来要测的应该是楼层数较多的那一部分。（如向上测需要测20次，向下次需要测10次，取最坏情况为20次的）右因为是最大最少， 我们需要在所有的k中找到一个最小值。
所以状态转移方程就出来的：

dp[i][j] = min( max(dp[i][k - 1], dp[i - 1][j - k]) ) + 1; ( 1<=k<=j 
1

看一下时间复杂度为$O(n^{2}m)$和空间复杂度$O(mn)$, 时间复杂度显然是不合理的，这个时候需要转换一种思维了。
dp[n][m] = k; 即n个鸡蛋测m层楼的次数是k次，m越大，k也就越大，即m和k是正相关的。我们就可以对状态定义进行优化，将k和m交换位置，即：dp[n][k] 表示n个鸡蛋仍k次最多测多少层楼，此时的状态转移方程就是：

dp[i][k] = dp[i][k - 1] + dp[i - 1][k - 1] + 1;
1

这就变成了一道递推的题，我们只需找到第一个dp[n][k]大于等于m的k即可。