【题解】Atcoder ABC 282 E - Choose Two and Eat One

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Atcoder ABC 282 E - Choose Two and Eat One

Link

E - Choose Two and Eat One (atcoder.jp)

Description

给你$N$个数，每次从中选择两个数$x$和$y$，将分数值加上$x^y+y^{x}modM$，并且删除其中一个数，重复操作，直到剩下数的个数小于2，求能够得到的最大分数值

Solution

对于求每次的分数值，用快速幂便可解决。这道题最大的难题其实是如何求出能够得到的最大分数值，为了方便思考，我们可以算出两两之间的分数值，并表示为一张完全图

其中，每条边连接的两个点为两个数，而边权为两两之间的分数值

一开始我们肯定会直接想到输出前$n-1$大的分数值之和，即在这张完全图中选择一张边权最大的包含$n-1$条边图，但仔细思考便会发现这种思路的弊端，即会出现回路。如图，当我们同时选择$(x,y),(y,z),(z,x)$这三对数时，会出现以下情况：

我们发现，当形成一个回路时，如果同时选择$(x,y),(y,z),(z,x)$这三对数，则不可能在每对数都按要求删数的情况下，保证每对数都完整，例如从$(x,y)$ 这对数开始：

1. 由于下一对数要用到$y$，所以只能删去$x$，进入下一对数$(y,z)$

2. 由于下一对数要用到$z$，所以只能删去$y$，进入下一对数$(z,x)$

3. 这时我们发现，$(z,x)$这对数中的$x$已在第一步时被删去，所以无法使用这对数

通过尝试可以发现，无论如何删数都不可能成功

当形成回路的数对更多时同样会出现这种情况，因此我们必须要避免回路。

我们可以发现，满足两两搭配（连边），且不出现回路的模型不正是树吗？

在一个完全图中找出一棵树（选数对），且保证边权和最大（求出能够得到的最大分数值），不正是最大生成树吗？

到现在为止，我们已经完成了将抽象转换成具象的伟大壮举，对于求最大生成树，我们只需用$Kruskal$算法即可。

总结一下宏观思路：

1. 两两建边，用快速幂求出分数值

2. 跑$Kruskal$算法求最大生成树

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define mkp make_pair
#define gcd(a,b) b?gcd(b,a%b):a
#define lcm(a,b) a/(gcd(a,b))*b
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;
const int MOD=1e9+7;
const int INF=1e18;
const int MAXN=500+1;

int qpow(int x,int n,int m){
    if(n==0)return 1;
    if(n%2==1)return qpow(x,n-1,m)*x%m;
    if(n%2==0)return qpow(x,n/2,m)*qpow(x,n/2,m)%m;
}

struct edge{
    int u,v;
    int cost;
    edge(){}
    edge(int _u,int _v,int _cost){
        u=_u;v=_v;
        cost=_cost;
    }
};
int n,m;
int a[MAXN],f[MAXN];
vector<edge> ge;
bool cmp(edge a,edge b){return a.cost>b.cost;}
int find_set(int x){
    if(x!=f[x])f[x]=find_set(f[x]);
    return f[x];
}
signed main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
    int e=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            int cost=(qpow(a[i],a[j],m)+qpow(a[j],a[i],m))%m;
            ge.push_back(edge(i,j,cost));
            e++;
        }
    }
    sort(ge.begin(),ge.end(),cmp);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<e;i++){
        int fau=find_set(ge[i].u);
        int fav=find_set(ge[i].v);
        if(fau==fav)continue;
        f[fau]=fav;
        ans+=ge[i].cost;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

//ACplease!!!
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