期末复习 第一章 矩阵 知识点总结

1.1矩阵与线性方程组

矩阵的概念

定义1 将 m×n个元素a_ij (i=1,2,···,m; j=1,2,···,n)按照如下次序排成一个m行n列的数表
$$\left\{\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{m1}& a_{m2}& ...& a_{mn}\end{array}\right\}$$

​ 叫做一个m行n列的矩阵，简记为A=(a_ij)_mn

​ 元素a₁₁，a₂₂，···，a_nn，···所在的斜线叫做A的 主对角线

方阵

​ 如果矩阵A的行数的行数与列数相同，就说 A 是一个方阵.若A 是具有 n行n列的矩阵时，就说 A 是一个n阶方阵.

​ 如果方阵的主对角线下方的元素全为0，或当i>j时，有a_ij=0,则说 A 是上三角矩阵. A的主对角线上方的元素全为0，或当l<时，有
a_ij=0则说A 是下三角矩阵.
　　若n阶方阵中，除主对角线上的元素为其余元素均为0的方阵，叫做对角矩阵，记为
$$\left\{\begin{array}{cccc}{a}_{11}& & & \\ & a_{22}& & \\ & & ...& \\ & & & a_{nn}\end{array}\right\}$$

或diag(a₁₁,a₂₂,⋯,a_nn),

阶梯矩阵

在m行n列的矩阵A中，如果当第i+1行有元素ax+1,z≠0时，必可找到一个k<j,使得aa≠0(i=1,2,⋯,m−1),则说A 是阶梯形的矩阵.

线性方程组

​ 含有n个未知量的m个方程组
$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+....+a_{1n}=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{12}{x}_2+....+a_{2n}=b_2\\ .........\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+....+a_{mn}=b_m\end{array}\end{array}$$
称线性方程组。当b₁,b₂,…b_m都为0时称齐次线性方程组。

​ 矩阵
$$\left\{\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{m1}& a_{m2}& ...& a_{mn}\end{array}\right\}$$
为方程组的系数矩阵

​ 矩阵
$$\left\{\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}& b_2\\ ...& ...& ...& ...& ....\\ a_{m1}& a_{m2}& ...& a_{mn}& b_m\end{array}\right\}$$
为方程组的增广矩阵

定理1 若齐次线性方程组中方程的个数小于未知量的个数，则方程必有解

矩阵的初等变换

​ 将矩阵的第 i行(列)的每个元素乘以非零常数c，叫做矩阵的行(列)倍法变换，可以简略地说是以非零常数c 乘以第i行(列)，用cr₁表示(用cc ₁表示)；
　　将矩阵的第i行(列)的每个元素，分别加上该矩阵第 j行(列)的同列(行)元素的k倍，叫做矩阵的行(列)消法变换，可以简略地说是将第j行(列)的k倍加到第i行(列)，用rᵢ+krⱼ表示(用cᵢ+kcⱼ表示);
​ 将矩阵的第 i行(列)与第j行(列)互换，用r_ij表示(用cij表示).
　　以上三种变换均叫做矩阵的初等行(列)变换.初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.

1.2矩阵的运算

（1）矩阵的加法

定义1 设矩阵A=(a_ij)_mn和矩阵B=(b_ij)_mn，则矩阵A+B=（a_ij+b_ij）_mn叫做矩阵A、B的合，即
$$A+B=\left\{\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& ...& a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& ...& a_{2n}+a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{m1}+a_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& ...& a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right\}$$
​ 矩阵的加法满足：1.交换律 A+B=B+A 2.结合律 A+(B+C)=(A+B)+C 3.零矩阵存在 4.负矩阵存在

​ 元素a_ij全为0的矩阵叫做零矩阵，在不致混淆时，简记为O，易算得0+A=A+0=A.

（2）矩阵的数乘

定义2 设矩阵A=(a_ij)_mnmn，数k，则矩阵kA=(ka_ij)_mn叫做数k对A的数乘，即
$$kA=\left\{\begin{array}{cccc}k{a}_{11}& k{a}_{12}& ...& k{a}_{1n}\\ k{a}_{21}& k{a}_{22}& ...& k{a}_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ k{a}_{m1}& k{a}_{m2}& ...& k{a}_{mn}\end{array}\right\}$$
​ 矩阵数乘满足 （1）1A=A (2) (kl)A=k(lA) (3) (k+l)A=kA+lA (4) (k+l)A=kA+lA

​ 矩阵的加法与数乘叫做矩阵的线性运算

（3）矩阵的乘法

定义3 设矩阵A=(a_ij)_mn和矩阵B=(b_ij)_np，记
$$c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+....+a_{in}{b}_{nj}=\sum _{\lambda =1}^n{a}_{i\lambda }{b}_{\lambda j}$$
​ 则矩阵C=（a_ij）_mp 叫做A与B的乘积，记为AB

​ 即
$$AB=\left\{\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& ...& c_{1n}\\ c_{21}& c_{22}& ...& c_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ c_{m1}& c_{m2}& ...& c_{mn}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{cccc}{\sum }_{\lambda =1}^n{a}_{1\lambda }{b}_{\lambda 1}& {\sum }_{\lambda =1}^n{a}_{1\lambda }{b}_{\lambda 2}& ...& {\sum }_{\lambda =1}^n{a}_{1\lambda }{b}_{\lambda p}\\ {\sum }_{\lambda =1}^n{a}_{2\lambda }{b}_{\lambda 1}& {\sum }_{\lambda =1}^n{a}_{2\lambda }{b}_{\lambda 2}& ...& {\sum }_{\lambda =1}^n{a}_{2\lambda }{b}_{\lambda p}\\ ...& ...& ...& ...\\ {\sum }_{\lambda =1}^n{a}_{m\lambda }{b}_{\lambda 1}& {\sum }_{\lambda =1}^n{a}_{m\lambda }{b}_{\lambda 2}& ...& {\sum }_{\lambda =1}^n{a}_{m\lambda }{b}_{\lambda p}\end{array}\right\}$$
​ 只有当A的列数与B的行数相同时，AB才有意义。AB与A的行数相同，与B的列数相同。

​ AB≠BA 矩阵的乘法满足（1）结合律(AB)C=A(BC) （2）分配律：（A+B）C=AC+BC A(B+C)=AB+AC （3） k(AB)=(kA)B=A(kB)

​ 若记线性方程组的系数矩阵A 且有
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 86: …x} \right\} &̲&B= \left\{ …
那么线性方程组可表示为 AX=B

单位阵

$$E_n={\left\{\begin{array}{cccc}1& & & 0\\ & 1& & \\ & & ...& \\ 0& & & 1\end{array}\right\}}_{nn}$$

​ 叫做n阶单位阵，且有 E_mA=AE_n=A

数量阵

$$d{E}_n={\left\{\begin{array}{cccc}d& & & 0\\ & d& & \\ & & ...& \\ 0& & & d\end{array}\right\}}_{nn}$$

​ 叫做数量矩阵，且有 (dE_m)A=d(E_mA)=dA

定义4 矩阵的乘方 A⁰=E A^k=A……A（k个）

​ 矩阵的多项式
$$f(A)=a_0{A}^m+a_1{A}^{m-1}+....+a_{m-1}A+a_{m}E$$

（4）逆矩阵

定义5 设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B 使得 AB=BA=E ，则称矩阵A可逆，或称A是非奇异矩阵 。 矩阵B叫做A的逆矩阵，记为A^-1

​ 有A^-1=B B^-1=A

（5）矩阵的转置

定义6 设矩阵
$$A=\left\{\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{m1}& a_{m2}& ...& a_{mn}\end{array}\right\}$$

则矩阵
$$B=\left\{\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& ...& a_{n1}\\ a_{12}& a_{22}& ...& a_{n2}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{1m}& a_{2m}& ...& a_{nm}\end{array}\right\}$$
叫做矩阵A的转置矩阵，记为 B=A^’

​ 矩阵转置满足 ： （1） (A^’)^'=A (2) (A+B)^'=A^’+B^’ (3) (kA)^'=kA^’ (4) (AB)^'=B^’A^’

对称矩阵

定义7 设 A是n阶非奇异矩阵，则由
$$\begin{gathered} A{A}^{-1}=A^{-1}A=E \\ (A{A}^{-1}{)}^{{}^{\prime }}=(A^{-1}A{)}^{{}^{\prime }}=E^{{}^{\prime }} \\ 有(A^{-1}{)}^{{}^{\prime }}{A}^{{}^{\prime }}=A^{{}^{\prime }}(A^{-1}{)}^{{}^{\prime }}=E \end{gathered}$$
故A^’ 也非奇异，且(A^-1)^'=(A^’)^-1

​ 如果A^’=A，则矩阵A叫做对称矩阵

​ 如果A^’=-A，则矩阵A叫做反对称矩阵

（6）矩阵的分块运算

分块乘法

现将矩阵A_mn和B_np分拆成
$$\begin{array}{rl}{\left[{\mathbf{A}}_{m_i\times n_j}\right]}_{M\times N}& =\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{A}}_{m_1\times n_1}& {\mathbf{A}}_{m_1\times n_2}& \cdots & {\mathbf{A}}_{m_1\times n_N}\\ {\mathbf{A}}_{m_2\times n_1}& {\mathbf{A}}_{m_2\times n_2}& \cdots & {\mathbf{A}}_{m_2\times n_N}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathbf{A}}_{m_M\times n_1}& {\mathbf{A}}_{m_M\times n_2}& \cdots & {\mathbf{A}}_{m_M\times n_N}\end{array}\right]\\ & \\ & =\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{A}}_{11}& {\mathbf{A}}_{12}& \cdots & {\mathbf{A}}_{1N}\\ {\mathbf{A}}_{21}& {\mathbf{A}}_{22}& \cdots & {\mathbf{A}}_{2N}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathbf{A}}_{M1}& {\mathbf{A}}_{M2}& \cdots & {\mathbf{A}}_{MN}\end{array}\right]\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{\left[{\mathbf{B}}_{n_j\times p_k}\right]}_{N\times P}& =\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{B}}_{n_1\times p_1}& {\mathbf{B}}_{n_1\times p_2}& \cdots & {\mathbf{B}}_{n_1\times p_P}\\ {\mathbf{B}}_{n_2\times p_1}& {\mathbf{B}}_{n_2\times p_2}& \cdots & {\mathbf{B}}_{n_2\times p_P}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathbf{B}}_{n_N\times p_1}& {\mathbf{B}}_{n_N\times p_2}& \cdots & {\mathbf{B}}_{n_N\times p_P}\end{array}\right]\\ & \\ & =\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{B}}_{11}& {\mathbf{B}}_{12}& \cdots & {\mathbf{B}}_{1P}\\ {\mathbf{B}}_{21}& {\mathbf{B}}_{22}& \cdots & {\mathbf{B}}_{2P}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathbf{B}}_{N1}& {\mathbf{B}}_{N2}& \cdots & {\mathbf{B}}_{NP}\end{array}\right]\end{array}$$

那么
$$\sum _{i=1}^M{m}_i=m,\sum _{j=1}^N{n}_j=n,\sum _{i=1}^M{m}_i=m,\sum _{k=1}^P{p}_k=p,$$
定义
$$\mathbf{C}=\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{C}}_{11}& {\mathbf{C}}_{12}& \cdots & {\mathbf{C}}_{1P}\\ {\mathbf{C}}_{21}& {\mathbf{C}}_{22}& \cdots & {\mathbf{C}}_{2P}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathbf{C}}_{M1}& {\mathbf{C}}_{M2}& \cdots & {\mathbf{C}}_{MP}\end{array}\right]$$

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{C}}_{ij}=& {\mathbf{A}}_{i1}{\mathbf{B}}_{1j}+{\mathbf{A}}_{i2}{\mathbf{B}}_{2j}+\cdots +{\mathbf{A}}_{iN}{\mathbf{B}}_{Nj}\\ & \\ =& \sum _{k=1}^N{\mathbf{A}}_{ik}{\mathbf{B}}_{kj}\\ & \\ =& {\mathbf{A}}_{m_i\times n_1}{\mathbf{B}}_{n_1\times p_j}+{\mathbf{A}}_{m_i\times n_2}{\mathbf{B}}_{n_2\times p_j}+\cdots +{\mathbf{A}}_{m_i\times n_N}{\mathbf{B}}_{n_N\times p_j}\\ & \\ =& \sum _{k=1}^N{\mathbf{A}}_{m_i\times n_k}{\mathbf{B}}_{n_k\times p_j}，\end{array}$$
其中
$${\mathbf{A}}_{m_i\times n_k}{\mathbf{B}}_{n_k\times p_j}={\left[\sum _{t_k=n_1+\cdots +n_{i-1}+1}^{n_1+\cdots +n_{n-1}+n_i}{a}_{r_i{t}_k}{b}_{t_k{s}_j}\right]}_{m_i\times p_j},$$
所以
$${\mathbf{C}}_{ij}=\sum _{k=1}^N{\left[\sum _{t_k=n_1+\cdots +n_{i-1}+1}^{n_1+\cdots +n_{n-1}+n_i}{a}_{r_i{t}_k}{b}_{t_k{s}_j}\right]}_{m_i\times p_j}={\left[\sum _{k=1}^n{a}_{r_{i}k}{b}_{k{s}_j}\right]}_{m_i\times p_j}，$$

$$\begin{gathered} r_i\in [(m_1+\cdots +m_{i-1}+1),(m_1+\cdots +m_{i-1}++m_i)]， \\ {s}_j\in [(p_1+\cdots +p_{j-1}+1),(p_1+\cdots +p_{j-1}+p_j)]。 \end{gathered}$$

记为C=AB

分块转置

$$\begin{gathered} {\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{A}}_{11}& {\mathbf{A}}_{12}& \cdots & {\mathbf{A}}_{1N}\\ {\mathbf{A}}_{21}& {\mathbf{A}}_{22}& \cdots & {\mathbf{A}}_{2N}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathbf{A}}_{M1}& {\mathbf{A}}_{M2}& \cdots & {\mathbf{A}}_{MN}\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{cccc}{{\mathbf{A}}_{11}}^T& {{\mathbf{A}}_{21}}^T& \cdots & {{\mathbf{A}}_{N1}}^T\\ {{\mathbf{A}}_{12}}^T& {{\mathbf{A}}_{22}}^T& \cdots & {{\mathbf{A}}_{N2}}^T\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {{\mathbf{A}}_{1N}}^T& {{\mathbf{A}}_{2N}}^T& \cdots & {{\mathbf{A}}_{MN}}^T\end{array}\right] \\ 。 \end{gathered}$$

准上三角阵

$$\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{A}}_{11}& {\mathbf{A}}_{12}& \cdots & {\mathbf{A}}_{1N}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{A}}_{22}& \cdots & {\mathbf{A}}_{2N}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \mathbf{O}& \mathbf{O}& \cdots & {\mathbf{A}}_{MN}\end{array}\right]$$

准对角阵

$$\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{A}}_{11}& \mathbf{O}& \cdots & \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{A}}_{22}& \cdots & \mathbf{O}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \mathbf{O}& \mathbf{O}& \cdots & {\mathbf{A}}_{MN}\end{array}\right]$$

1.3初等矩阵

定义1 单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵，叫做初等矩阵。

初等矩阵的类型

（1）倍法矩阵

$$E_i(c)=\left\{\begin{array}{ccccc}1& & & & \\ & ...& & & \\ & & c& & \\ & & & ...& \\ & & & & 1\end{array}\right\}$$

其中，c≠0，E_i©是将非零c乘以单位矩阵的第i行得到的矩阵

（2）消法矩阵

$$E_{ij}(k)=\left\{\begin{array}{cccccc}1& & & & & \\ & ...& & & & \\ & & 1& ...& k& \\ & & & & ...& \\ & & & & & 1\end{array}\right\}$$

E_ij(k)是将单位阵的第j行的k倍加到第i行所得的矩阵

（3）对换矩阵

$$E_{ij}(k)=\left\{\begin{array}{ccccccc}1& & & & & & \\ & ...& & & & & \\ & & 0& ...& 1& & \\ & & & ...& & & \\ & & 1& ...& 0& & \\ & & & & & ...& \\ & & & & & & 1\end{array}\right\}$$

E_ij是将单位阵的第i行与第j行互换位置得到的矩阵

​ 初等矩阵满足 E_i©E_i(c^-1)=E_i(c^-1)E_i©=E

​ E_ij(k)E_ij(-k)=E_ij(-k)E_ij(k)=E

​ E_ijE_ij=E

​ 因此，初等矩阵是可逆的，并且

​ E_i©^-1=E_i(c^-1)

​ E_ij(k)^-1=E_ij(-k)

​ E_ij^-1=E_ij

用运算描述矩阵的初等变换

初等行变换

​ 用初等矩阵左乘矩阵A，所得结果是对A进行一次相应初等行变换得到的结果

​ E_i（c）A等于对A施行行初等变换cr_i的结果

​ E_ij（k）A等于对A施行行初等变换r_i+kr_i的结果

​ E_ijA等于对A施行行初等变换r_ij的结果

初等列变换

​ 用初等矩阵右乘矩阵A，所得结果是对A进行一次相应初等列变换得到的结果

​ AE_i（c）等于对A施行列初等变换cc_i的结果

​ AE_ij（k）等于对A施行列初等变换c_i+kc_i的结果

​ AE_ij等于对A施行列初等变换c_ij的结果

矩阵的等价

定理1 n阶矩阵A可以通过有限次消法变换化为对角矩阵 diag(d₁,d₂,…,d_r,0,…,0)

定义2 若矩阵A可以经过有限次初等变换化为矩阵B，则称矩阵A等价于矩阵B，记为A≌B，且满足

​ 反身性： A≌A

​ 对称性： 若A ≌B，则B≌A

​ 传递性：若A≌B,B≌C，则A≌C

定理2 n阶矩阵A等价于对角阵diag（1，1，…，0，…，0）

定理3 n阶矩阵A非奇异的充要条件是A≌E

定理4 n阶矩阵A非奇异的充要条件是A可以表示为有限个初等矩阵的乘积

定理5 n阶矩阵A非奇异的充要条件是A的秩r（A）=n

定理6 非奇异矩阵可以经过有限次初等变换化为单位矩阵

定理7 矩阵A≌矩阵B的充要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得A=PBQ

用初等变换法求逆矩阵

​ 设n阶矩阵A可逆，做n×2n的矩阵B=（A，E），用行初等变换把矩阵B的子块A化成E时，则将B的子块E化成A^-1