拉东（Radon）变换_radon变换

1917年，Radon 变换被提出。例如一个三维物体，如果知道它在各个方向的平面投影，能不能推出它的精确形状，这个数学问题可以由拉东变换解决。

拉东变换

$R^n$ 上实值函数的拉东变换定义为 $n－1$ 维超平面上的积分值，它是由拉东引入的． 拉东变换与从函数在空间 $R^n$ 的所有超平面上计算的积分值去还原该函数的问题直接相联系(即拉东变换反演问题)．

拉东变换以及特别是相应的反演公式(即从函数 $f$ 的拉东变换还原 $f$ 的公式)在断层照相法中具有最关键的重要性。拉东变换是调和分析和积分几何领域中的重要课题． 它与 Fourier 变换、Laplace 算子和球面调和函数有着密切的联系．

$R^2$ 上的拉东变换

定义平面上函数 $f(x,y)$ 的拉东变换为 $Rf(L)={\int }_{L}f(x,y)ds$ ，由积分学的知识，${\int }_{L}f(x,y)ds$ 表示函数 $f(x,y)$ 在积分路径 $L$ 上的第一型曲线积分。

若光滑曲线 L : { x = φ ( t ) y = ψ ( t ) , t ∈ [ α , β ] L:

$$\begin{cases} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{cases}$$ ,t\in[\alpha,\beta] L:{x=φ(t)y=ψ(t)​,t∈[α,β]，函数 $f(x,y)$ 为定义在 $L$ 上的连续函数，则 $${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t),\psi (t))\sqrt{[{\phi }^{‘}(t){]}^2+[{\psi }^{‘}(t){]}^2}dt.$$

令 $L$ 表示平面上任何一条直线，方差 ${\ell }_{t,\theta }:x\cos \theta +y\sin \theta =t$，它的位置由两个参数 $(t,\theta )$ 来决定，其中 $t$ 表示向量 $X=(x,y)$ 在单位向量 $\overrightarrow{n}=(\cos \theta ,\sin \theta )$ 上的投影，即 $X\cdot \overrightarrow{n}=t.$ 将单位向量 $\overrightarrow{n}=(\cos \theta ,\sin \theta )$ 逆时针旋转 90 度得到单位向量 ${\overrightarrow{n}}^{\perp }=(-\sin \theta ,\cos \theta )$，记 $X\cdot {\overrightarrow{n}}^{\perp }=t.$ 由 $X=t\vec{n}+s{\vec{n}}^{\perp }$，得直线 $L$ 以 $s$ 为参数的参数方程： { x = t cos ⁡ θ − s sin ⁡ θ y = t sin ⁡ θ + s cos ⁡ θ .

$$\begin{cases} x=t\cos \theta-s\sin \theta \\ y=t\sin \theta+ s\cos \theta \end{cases}$$ . {x=tcosθ−ssinθy=tsinθ+scosθ​.

定义：设函数 $f(x,y)$ 沿平面上任意一条直线 ${\ell }_{t,\theta }:x\cos \theta +y\sin \theta =t$，称 $Rf(t,\theta )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t\cos \theta -s\sin \theta ,t\sin \theta +s\cos \theta )ds$ 为函数 $f(x,y)$ 的拉东变换。

• 习惯上称 ${\int }_{L}f(x,y)ds$ 为投影值。当 $\theta =0$ 时，$Rf(t,0)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy$ 表示在 $x$ 轴的投影；当
  $\theta =\frac{\pi }{2}$时，$Rf(t,\frac{\pi }{2})={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx$ 表示在 $y$ 轴的投影。
• 从形式上看，$Rf(t，\theta )$ 是一个无穷区间上的广义积分，但在实际应用中函数 $f(x,y)$ 有紧支集，即在某个圆外为零，广义积分变成了特定区间上的定积分。

拉东变换的性质
（1）平移性
若 $f(x,y)=g(x-a,y-b)$，则 $Rf(t,\theta )=Rg(t-a\cos \theta -b\sin \theta ,\theta )$.

（2）旋转性
若 $f(x,y)=g(x\cos \phi -y\sin \phi ,x\sin \phi +y\cos \phi )$，则 $Rf(t,\theta )=Rg(t,\theta +\phi ).$

（3）伸缩性
若 $c\ne 0,f(x,y)=g(cs,cy)$，则 $Rf(t,\theta )=\frac{1}{|c|}Rg(ct,\theta ).$

（4）线性
$R(af+bg)(t,\theta )=aRf(t,\theta )+bRg(t,\theta ).$

$R^2$ 上的拉东变换的逆变换

固定 $\theta$，将 $Rf(t，\theta )$ 的一维傅里叶变换(关于变量 $t$) 写为 $$\begin{gathered} \hat{R}f(w,\theta )={\int }_{-\infty }^{+\infty }Rf(t,\theta )e^{-iwt}dt={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t\cos \theta -s\sin \theta ,t\sin \theta +s\cos \theta )ds{e}^{-iwt}dt \\ ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)e^{-iw(x\cos \theta +y\sin \theta )}dxdy={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)e^{-i(x,y)\cdot (w\cos \theta ,w\sin \theta )}dxdy=\hat{f}(w\cos \theta ,w\sin \theta ) \end{gathered}$$这表明对图像投影 $Rf(t,\theta )$ 的一维傅里叶变换(关于变量 $t$) 等于对图像 $f(x,y)$ 的二维傅里叶变换，称为中心切片定理．

图像重构就是求投影 $Rf(t,\theta )$ 的逆变换(反演变换)． 对一切 $(t,\theta )$ 值知道了函数 $f(x,y)$ 的拉东变换时，相当于知道了函数 $f(x,y)$ 的二维傅里叶变换，因此对 $\hat{f}(\omega cos\theta ,\omega sin\theta )$ 作傅里叶逆变换，从而得到拉东变换的逆变换：$$\begin{gathered} f(x,y)=\frac{1}{4{\pi }^2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\hat{f}(u,v)e^{i(ux+vy)}dudv \\ =\frac{1}{4{\pi }^2}{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{+\infty }\hat{f}(w\cos \theta ,w\sin \theta )e^{iw(x\cos \theta +y\sin \theta )}wdwd\theta \\ =\frac{1}{4{\pi }^2}{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{+\infty }\hat{R}f(w,\theta )e^{iw(x\cos \theta +y\sin \theta )}wdwd\theta . \end{gathered}$$