相关函数在数字信号处理中的应用_数字信号处理 相关函数的作用

1 相关函数的定义

设 $x(n)$ 、 $y(n)$ 是两个能量有限的确定性信号，并假定它们是因果的，有

$$\rho_{xy}=\frac{\sum_{n=0}^{+\infty}x(n)y(n)}{\left[ \sum_{n=0}^{+\infty}x^{2}(n)\sum_{n=0}^{+\infty}y^{2}(n) \right]^{1/2}}$$
$\rho_{xy}$ 为设 $x(n)$ 和 $y(n)$ 的相关系数，式中分母等于 $x(n)$ ， $y(n)$ 各自能量乘积的开方，即 $\sqrt{E_{x}E_{y}}$ ，它是一常数，因此 $\rho_{xy}$ 的大小由分子 $r_{xy}=\sum_{n=0}^{+\infty}x(n)y(n)$ 来决定， $r_{xy}$ 也称为 $x(n)$ 和 $y(n)$ 的相关系数。由许瓦兹不等式，由 $|\rho_{xy}|\leq 1$ 。当两种信号完全相等，即 $x(n)=y(n)$ 时， $r_{xy}=1$ ， $\rho_{xy}=1$ ；；当两个信号在某种程度上相似时， $r_{xy}\neq 0$ ， $|\rho_{xy}|$ 在0和1之间取值；当两个信号完全无关时， $r_{xy}=0$ ， $\rho_{xy}=0$ 。因此可以用 $r_{xy}$ ， $\rho_{xy}$ 来描述 $x(n)$ 和 $y(n)$ 的相似程度。

在数字信号处理中，定义 $r_{xy}(m)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)y(n+m)$ 为信号 $x(n)$ 和 $y(n)$ 的==互相关函数==。若 $x(n)=y(n)$ ，则 $r_{x}(m)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)x(n+m)$ 为信号 $x(n)$ ==自相关函数==。

2 相关函数的性质

• 性质1： $r_{x}(m)$ 在 $m=0$ 处取得最大值，即 $r_{x}(0) \geq r_{x}(m)$ 。
• 性质2： 若 $x(n)$ 是能量信号，则有 $\lim_{m \to \infty }r_{x}(m)=0$ 。
• 性质3： 周期信号的自相关函数也是周期的。

3 相关函数在数字信号处理中的应用

在信号处理中，相关函数的应用很广，主要有信号中隐含周期性的检测，确定未知参数的线性系统的频域响应，噪声中信号中的检测，噪声中信号的提取等。

3.1 相关函数在信号中隐含周期性的检测中的应用

设观测到的信号 $x(n)$ 是由真正的信号 $s(n)$ 和白噪声 $u(n)$ 所组成，即

$$x(n)=s(n)+u(n)$$
假定 $s(n)$ 是周期的，周期为M， $x(n)$ 的长度为N，且有 $N>>M$ ，那么 $x(n)$ 的自相关函数为

$$r_{x}(m)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}[s(n)+u(n)][s(n+m)+u(n+m)] =r_{s}(m)+r_{us}(m)+r_{su}(m)+r_{u}(m)$$
式中， $r_{us}(m)$ 和 $r_{su}(m)$ 是 $s(n)$ 和 $u(n)$ 的互相关，一般噪声是随机的，和信号 $s(n)$ 应是不相关的，这两项应该很小。 $r_{u}(m)$ 是噪声的自相关，由性质1,2可知， $r_{u}(m)$ 主要集中在 $m=0$ 处有值，当 $|m|>0$ 时应衰减的很快。因此，若 $s(n)$ 是以M为周期的，那么 $r_{s}(m)$ 也应是周期的，且周期为M。这样， $r_{x}(m)$ 也将呈现周期性变化，并在 $m=0,M,2M$ 处呈现峰值，从而揭示隐含在 $x(n)$ 中的周期性。

以1770年至1854年每12个月所记录到的太阳黑子出现次数的平均值为例加以说明。对数据直接绘图得到图1，从图1中，不能确定太阳黑子出现的周期。对数据做自相关函数得到图2 ，可知图2形在自相关函数的平均值附近波动，对自相关函数减去平均值再绘图得到图3 ，由图3可以较为清楚地看到自相关函数的峰值位置，自相关函数的周期性也较为明显，可以得出50年约对应4.5个周期，计算出太阳黑子出现的周期约为11年。

3.2 相关函数在确定未知参数的线性系统的频域响应中的应用

对于某一线性系统，对其输入一个功率为1的白噪声序列 $u(n)$ ，记其输出为 $y(n)$ ，计算输入和输出的互相关，

$$r_{uy}(m)=E[u(n)y(n+m)] =E[u(n)\sum_{k=-\infty}^{\infty}h(k)u(n+m-k)] =\sum_{k}h(k)E[u(n)u(n+m-k)]=\sum_{k}h(k)r_{u}(m-k)=r_{u}(m)*h(m)$$
因为 $r_{u}(m)$ 为一 $\delta$ 函数所以 $r_{uy}(m)=h(m)$ 。对 $r_{uy}(m)$ 做傅里叶变换，便可得到 $P_{uy}(m)=H(j\omega)$ 。

3.3 相关函数在噪声中信号检测的应用

假定测试所得的信号 $x(n)$ 中含有加法性噪声 $u(n)$ ，并且可能含有有用信号 $s(n)$ ，即 $x(n)=s(n)+u(n)$ 。当 $s(n)$ 的先验知识已知时或 $s(n)$ 为周期性函数时，可以利用相关函数法来确定 $x(n)$ 中是否含有 $s(n)$ .

1）当 $s(n)$ 的先验知识已知时，可令 $x(n)$ 和 $s(n)$ 做互相关，有

$$r_{sx}(m)=E[s(n)x(n+m)]=E[s(n)s(n+m)+s(n)u(n+m)]$$
一般认为信号和噪声是不相关的，即
$$E[s(n)u(n+m)]=0$$
所以 $r_{sx}(m)=E[s(n)s(n+m)]=r_{s}(m)$ ，这样可以根据做互相关的结果是否和 $r_{s}(m)$ 相符来判断 $x(n)$ 中是否含有 $s(n)$ 。

2）当 $s(n)$ 为周期性函数时，可以求 $x(n)$ 的自相关，即：

$$r_{x}(m)=E[x(n)x(n+m)] =E{[s(n)+u(n)]\times [s(n+m)+u(n+m)]}=r_{s}(m)+r_{u}(m)$$
若 $u(n)$ 是白噪声，那么 $r_{u}(m)$ 是 $\delta$ 函数，当 $m \neq 0$ 时， $r_{u}(m)=0$ ，即 $r_{x}(m)=r_{s}(m)$ ，可以根据 $r_{x}(m)$ 的形状来判断 $s(n)$ 的有无。若 $u(n)$ 不是白噪声，但作为噪声，，它应在相当宽的频带内存在，为此，设其功率谱

$$P_{u}(e^{j\omega})=\frac{A}{1+(\Omega /\Omega_{c})^{2}}, |\omega|\leq \pi$$
式中， $A$ 为定标常数； $\omega_{c}$ 为截止频率，由 $P_{u}(e^{j\omega})$ 可求出 $u(n)$ 的自相关函数

$$r_{u}(m)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}P_{u}(e^{j\omega})e^{j\omega m}d\omega =\frac{A\omega_{c}}{2}e^{-|\omega_{c}m|}$$
这样，只要 $\omega_{c}$ 足够大， $r_{u}(m)$ 将随着m的增大很快衰减。即随着m的增大， $r_{u}(m)$ 趋于0.由性质3， $r_{s}(m)$ 应呈周期变化。

3.3 相关函数在噪声信号提取中的应用

在数字信号处理中，往往需要在强噪声信号中提取弱信号，如在复杂电磁环境下各种无线电系统及电子装置中有用信号的提取，在医学中多种生物医学信号（心电图、肌电图、脑电图）等。在强噪声中提取弱信号是一个复杂的课题，本文只对在已知相同信号进行激励下，受激体做出相同响应的弱信号提取进行探讨。假设诱发响应信号 $x(n,i)$ 由真正信号 $s(n,i)$ 所组成，即：

$$x(n,i)=s(n,i)+u(n,i),i=1,2,3,...,M$$
式中M代表总的激励次数；i是激励的序号，对每一次激励，受试体都将产生一个响应 $x(n,i)$ 。由于噪声很强，而噪声又是随机的，所以每一次得到的 $x(n,i)$ 都不相同，因此很难就单一的记录来判断 $s(n)$ 的形状。但是，在激励条件相同的情况下，每次的 $s(n,i)$ 都保持不变，即 $s(n)$ 是一个确定性信号： $s(n,1)=s(n,2=...=s(n,M))$ 。设 $u(n)$ 是零均值，方差为 $\sigma_{u}^{2}$ 的平稳随机信号，对于每一次激励，它们是互不相关的，即 $E[u(n,i)u(n,j)]=0$ ,当 $i\neq j$ ，若记 $s(n)$ 的功率为P。那么，对每一次激励， $x(n,i)$ 的信噪比为 $P/\sigma_{u}^{2}$ ，现将 $x(n)$ 的M次记录对应相加，并取平均，有

$$\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M}x(n,i)=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M}s(n,i)+\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M}u(n,i) =s(n)+\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M}u(n,i)$$
经过M个样本平均后，信号的功率仍为P，噪声的均值仍为零，但方差变为 $\sigma_{u}^{2}/M$ ，这样，信号 $\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M}x(n,i)$ 的信噪比为

$$RSN=\frac{P}{\sigma_{u}^{2}/M}=\frac{MP}{\sigma_{u}^{2}}$$

比没有经过平均的信噪比提高了M倍。当M足够大时，噪声逐渐减弱，有用信号的特征逐渐突出。假定受激体做出的响应为幅值、相位均不变的正弦信号 $s(n)$ ，噪声 $u(n)$ 为白噪声信号。

4 结论

本文根据相关函数的几条基本性质，简要分析了相关函数在数字信号处理当中的一些应用。由分析可知，相关函数方法简洁，在数字信号处理中，可以方便地对信号的周期性进行检测，确定未知参数的线性系统的频域响应，检测噪声中有用信号，并对噪声中的信号进行提取。