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动态规划,英文:Dynamic Programming,简称DP,如果某一问题有很多重叠子问题,使用动态规划是最有效的。
所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的,这一点就区分于贪心,贪心没有状态推导,而是从局部直接选最优的。
对于动态规划问题,拆解为如下五步曲,需要五步都搞清楚:
很简单的动规入门题,但简单题使用来掌握方法论的,还是要有动规五部曲来分析。
斐波那契数,通常用 F(n) 表示,形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始,后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是: F(0) = 0,F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2),其中 n > 1 给你n ,请计算 F(n) 。
示例 1:
示例 2:
示例 3:
提示:
F(0) = 0,F(1) = 1为固定值。
动规五部曲:
用一个一维dp数组来保存递归的结果
1、确定dp数组以及下标的含义
dp[i]的定义为:第i个数的斐波那契数值是dp[i]
2、确定递推公式
为什么这是一道非常简单的入门题目呢?
因为题目已经把递推公式直接给我们了:状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
3、dp数组如何初始化
- dp[0] = 0;
- dp[1] = 1;
4、确定遍历顺序
从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出,dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2],那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的
5、举例推导dp数组
按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2],我们来推导一下,当N为10的时候,dp数组应该是如下的数列:
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
如果代码写出来,发现结果不对,就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。
- class Solution {
- public int fib(int n) {
- if (n < 2) return n;
- int a = 0, b = 1, c = 0;
- for (int i = 1; i < n; i++) {
- c = a + b;
- a = b;
- b = c;
- }
- return c;
- }
- }
- //非压缩状态的版本
- class Solution {
- public int fib(int n) {
- if (n <= 1) return n;
- int[] dp = new int[n + 1];
- dp[0] = 0;
- dp[1] = 1;
- for (int index = 2; index <= n; index++){
- dp[index] = dp[index - 1] + dp[index - 2];
- }
- return dp[n];
- }
- }
本题大家先自己想一想, 之后会发现,和 斐波那契数 有点关系。
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?
注意:给定 n 是一个正整数。
示例 1:
示例 2:
动规五部曲:
定义一个一维数组来记录不同楼层的状态
1、确定dp数组以及下标的含义
dp[i]: 爬到第i层楼梯,有dp[i]种方法
2、确定递推公式
如何可以推出dp[i]呢?
从dp[i]的定义可以看出,dp[i] 可以有两个方向推出来。
首先是dp[i - 1],上i-1层楼梯,有dp[i - 1]种方法,那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。
还有就是dp[i - 2],上i-2层楼梯,有dp[i - 2]种方法,那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。
那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和!
所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。
在推导dp[i]的时候,一定要时刻想着dp[i]的定义,否则容易跑偏。
这体现出确定dp数组以及下标的含义的重要性!
3、dp数组如何初始化
在回顾一下dp[i]的定义:爬到第i层楼梯,有dp[i]中方法。
那么i为0,dp[i]应该是多少呢,这个可以有很多解释,但基本都是直接奔着答案去解释的。
例如强行安慰自己爬到第0层,也有一种方法,什么都不做也就是一种方法即:dp[0] = 1,相当于直接站在楼顶。
但总有点牵强的成分。
那还这么理解呢:我就认为跑到第0层,方法就是0啊,一步只能走一个台阶或者两个台阶,然而楼层是0,直接站楼顶上了,就是不用方法,dp[0]就应该是0.
其实这么争论下去没有意义,大部分解释说dp[0]应该为1的理由其实是因为dp[0]=1的话在递推的过程中i从2开始遍历本题就能过,然后就往结果上靠去解释dp[0] = 1。
从dp数组定义的角度上来说,dp[0] = 0 也能说得通。
需要注意的是:题目中说了n是一个正整数,题目根本就没说n有为0的情况。
所以本题其实就不应该讨论dp[0]的初始化!
dp[1] = 1,dp[2] = 2,这个初始化没有争议的。
所以我的原则是:不考虑dp[0]如何初始化,只初始化dp[1] = 1,dp[2] = 2,然后从i = 3开始递推,这样才符合dp[i]的定义。
4、确定遍历顺序
从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出,遍历顺序一定是从前向后遍历的
5、举例推导dp数组
举例当n为5的时候,dp table(dp数组)应该是这样的
其实就是上面的斐波那契数列。
只不过dp[0]没有意义。
- // 常规方式
- public int climbStairs(int n) {
- int[] dp = new int[n + 1];
- dp[0] = 1;
- dp[1] = 1;
- for (int i = 2; i <= n; i++) {
- dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
- }
- return dp[n];
- }
- // 用变量记录代替数组
- class Solution {
- public int climbStairs(int n) {
- if(n <= 2) return n;
- int a = 1, b = 2, sum = 0;
-
- for(int i = 3; i <= n; i++){
- sum = a + b; // f(i - 1) + f(i - 2)
- a = b; // 记录f(i - 1),即下一轮的f(i - 2)
- b = sum; // 记录f(i),即下一轮的f(i - 1)
- }
- return b;
- }
- }
这道题目力扣改了题目描述了,现在的题目描述清晰很多,相当于明确说 第一步是不用花费的。
更改题目描述之后,相当于是 文章中 「拓展」的解法
给你一个整数数组 cost ,其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用,即可选择向上爬一个或者两个台阶。
你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。
1、确定dp数组以及下标的含义
使用动态规划,就要有一个数组来记录状态,本题只需要一个一维数组dp[i]就可以了。
dp[i]的定义:到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。
对于dp数组的定义,大家一定要清晰!
2、确定递推公式
可以有两个途径得到dp[i],一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。
dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。
dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。
那么究竟是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢?
一定是选最小的,所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
3、dp数组如何初始化
看一下递归公式,dp[i]由dp[i - 1],dp[i - 2]推出,既然初始化所有的dp[i]是不可能的,那么只初始化dp[0]和dp[1]就够了,其他的最终都是dp[0]dp[1]推出。
那么 dp[0] 应该是多少呢? 根据dp数组的定义,到达第0台阶所花费的最小体力为dp[0],那么有同学可能想,那dp[0] 应该是 cost[0],例如 cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] 的话,dp[0] 就是 cost[0] 应该是1。
这里就要说明本题力扣为什么改题意,而且修改题意之后 就清晰很多的原因了。
新题目描述中明确说了 “你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。” 也就是说 从 到达 第 0 个台阶是不花费的,但从 第0 个台阶 往上跳的话,需要花费 cost[0]。
所以初始化 dp[0] = 0,dp[1] = 0;
4、确定遍历顺序
最后一步,递归公式有了,初始化有了,如何遍历呢?
本题的遍历顺序其实比较简单,简单到很多同学都忽略了思考这一步直接就把代码写出来了。
因为是模拟台阶,而且dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出,所以是从前到后遍历cost数组就可以了。
但是稍稍有点难度的动态规划,其遍历顺序并不容易确定下来。 例如:01背包,都知道两个for循环,一个for遍历物品嵌套一个for遍历背包容量,那么为什么不是一个for遍历背包容量嵌套一个for遍历物品呢? 以及在使用一维dp数组的时候遍历背包容量为什么要倒序呢?
这些都与遍历顺序息息相关。当然背包问题后续「代码随想录」都会重点讲解的!
5、举例推导dp数组
拿示例2:cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ,来模拟一下dp数组的状态变化,如下:
- // 方式一:第一步不支付费用
- class Solution {
- public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
- int len = cost.length;
- int[] dp = new int[len + 1];
-
- // 从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始,因此支付费用为0
- dp[0] = 0;
- dp[1] = 0;
-
- // 计算到达每一层台阶的最小费用
- for (int i = 2; i <= len; i++) {
- dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
- }
-
- return dp[len];
- }
- }
- // 方式二:第一步支付费用
- class Solution {
- public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
- int[] dp = new int[cost.length];
- dp[0] = cost[0];
- dp[1] = cost[1];
- for (int i = 2; i < cost.length; i++) {
- dp[i] = Math.min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
- }
- //最后一步,如果是由倒数第二步爬,则最后一步的体力花费可以不用算
- return Math.min(dp[cost.length - 1], dp[cost.length - 2]);
- }
- }
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