匀加速直线运动_匀加速运动微分方程

1. 速度公式

$$v_t=v_0+a\cdot t$$

2. 位移公式

$$s=v_0t+\frac12at^2$$

推导方法：

$$s=\frac12\left(v_0+v_t\right)t=\frac12\left(v_0+v_0+a\cdot t\right)t$$

数形结合，走过的位移刚好是梯形的面积，上底（$v_0$）下底（$v_t$） 高度为 $t$

• 从 1.5 m 高的围墙跳下，求着地时的速度：

  $$h=\frac12gt^2 ⇒ v_t=gt=g\sqrt{\frac{2h}g}=\sqrt{2gh}$$

  代入得，落地速度为 5.4 m/s

  3. 速度位移公式（不牵涉时间）

  $$s=\frac{v_t^2-v_0^2}{2a}$$

  推导方法：根据速度公式得，$t=\frac{v_t-v_0}a$（斜率），代入位移公式得：
  

  $$s=v_0\frac{v_t-v_0}a+\frac12a\cdot \left(\frac{v_t-v_0}a\right)^2$$

  4. 中间时间的速度和中间位移的速度

  设 $v$

  中间时间的速度：

  $$\left\{ \begin{array}{l} v=v_0+a\frac12t\\ v+a\frac12t=v_t \end{array} \right. ⇒ v-v_0=v_t-v$$

  中间位移的速度（根据位移速度公式）：

  $$\left\{ \begin{array}{l} s=\frac{v^2-v_0^2}{2a}\\ s=\frac{v_t^2-v^2}{2a} \end{array} \right. ⇒ v=\sqrt{\frac{v_0^2+v_t^2}2}$$