坐标求四面体体积_正十二面体体积推导（一）

正多面体有且只有五种：

正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体

设正多面体棱长为

对于正四面体

其中一正三角形高

易得正四面体高

对于正六面体（正方体），易得体积

对于正八面体，易得两对顶点距离

对于正十二面体……？？

首先我们要知道正五边形的面积。

正

每个等腰三角形的底即

每个等腰三角形面积

故正

特别的，对于正五边形

那么问题又来了朋友们，

考察如图虚线三角形

由于正五边形内角为108°，不难证明这个等腰三角形顶角为36°，底角为72°。

如果作底角的角平分线那么就又出现了两个等腰三角形，顶角分别为36°和108°。

你品，你细品，这里有相似了

在小等腰三角形里作一高线，于是

嗯，我们得到正五边形面积

（

对于正十二面体

我们可以把它切成两个全等的正五棱台（图片之间前后对比理解效果更佳）

剩下一个奇怪的几何体

这个几何体的构成有点意思，它可以看成一个正五棱柱，其上底面面扭一下、侧棱顺次连接上下底面形成的。由于这两个正五边形底面反向平行，故我们可以叫它“正五角反棱柱”（区别于正五棱柱之意，类似的还有四方反棱柱、三角反棱柱等）

现在我们先求正五棱台的体积

若上、下底面面积为

则棱台的体积

正五棱台上底面是一个边长为

高呢？

可以这么求，边长为

（具体18°等三角函数值见表）

故高

于是一个正五棱台体积

？？？这么丑？？？

更新：

其实在它根号下的丑陋外表下是一颗可以开方的心。

设

于是

则有

代入②中有

即

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另：一般的，如果我们已知

想求

可以导出

所以可以用

那为什么我们要求

你也能看得出来

对吧？而显然

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所以我们得到

就先写到这里，等待下一篇分析正五角反棱柱体积吧。