算法基础学习笔记----数据结构---KMP算法_董晓算法

KMP算法是一种改进的字符串匹配算法，由D.E.Knuth，J.H.Morris和V.R.Pratt提出的，因此人们称它为克努特—莫里斯—普拉特操作（简称KMP算法）。KMP算法的核心是利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的。具体实现就是通过一个next()函数实现，函数本身包含了模式串的局部匹配信息。KMP算法的时间复杂度为O(m+n)  。

目录

一、思路 

 1.先考虑暴力算法​编辑

2.优化---KMP算法

解释:

二、next()函数

1.定义

代码：

2. 流程

3.模拟执行过程

4.时间复杂度

三、模式串与主串匹配

1.代码

2.流程

3.模拟执行过程

4.时间复杂度

四、重点

五、练习

六、参考

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一、思路 

 1.先考虑暴力算法

 在暴力做法中，一旦发现模式串与主串中字符匹配失败，i指针就回退到位置2，j指针回退到位置1，然后再做比较，这种做法时间复杂度为O(m*n),缺点在于浪费了前面已经匹配的信息。

2.优化---KMP算法

 让i指针原地不动，j指针回跳到恰当的位置再做比较，恰当的位置即从前面已经匹配的信息当中，再找出仍然匹配的一段。具体实现就是通过next()函数来实现。函数本身包括了模式串的局部匹配信息。稍后讲解如何构造next函数。

在此便可以体会到KMP算法的核心是利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的。

 

 第一轮匹配失败后，

从S串中去掉一个字符往后看，不可行，因为ab和aa不匹配；

从S串中去掉两个字符往后看，不可行，因为b和a不匹配；

从S串中去掉三个字符往后看，发现后面的aabaa与模式串中的前五个字符aabaa相等，这样j指针只需要回跳到位置6，再和主串进行比较即可，这是方案一；

还有另一种方案，继续采用从主串中依次删去字符的方法，从S串中去掉六个字符往后看(去掉四个和五个匹配失败)，发现后面的aa和模式串中的前两个字符aa相等，这样j指针需要回跳到位置3，再与主串进行比较。

比较这两种方案，很明显方案一更好，因为用贪心的思想考虑，方案一中找到的相等的匹配段长度更长，越长起始位置就越靠左，如果这个位置后面部分恰好等于模式串，那这就是一组可行解。即使这一位置后面部分与模式串不匹配，那再采用从主串中依次删去字符的方法，在从S串中去掉四个和五个字符匹配失败后，去掉六个字符(即方案二)，发现后面的aa和模式串中的前两个字符aa相等，这样j指针需要回跳到位置3，再与主串进行比较。这样的做法就能保证不漏解。

通过比较我们发现，这样的结论:

1.取最长的相等前后缀，可以保证不漏解。

2.通过模式串前后缀的自我匹配的长度，计算next函数，给j指针打一张表，匹配失败时就跳到next[j]的位置继续匹配。

解释:

1.前缀和后缀:例如:p = "abcab"，这里考虑的前缀和后缀都是真前缀/真后缀(前后缀长度不能等于模式串自身长度)，其前缀为从首字符开始不包含尾字符的子串，即"a","ab","abc","abca",后缀为从尾字符开始不包含首字符的子串，即"b","ab","cab","bcab"

2.在找最长相等前后缀时，完全可以把主串抛开，因为在匹配失败前，主串和模式串相等，那么如果能在主串中找到一段和模式串中前缀相等的匹配段，则一定也能找到与模式串前缀相等的模式串后缀。因此可以通过模式串前后缀的自我匹配的长度，来计算next函数，给j指针打一张表，当主串与模式串在任何位置匹配失败时，j指针都能回调到next[j]的位置继续匹配。

二、next()函数

1.定义

next函数：next[i]表示模式串P[1,i]中相等前后缀的最长长度。

暴力模拟一遍：

 右侧数字为需要枚举的次数，加和算得暴力解法的时间复杂度为O(n²)，时间复杂度太高还需要再进行优化。

仔细观察，发现规律；

1.next函数值如果增加，那么它只能在上一步的基础上至多增加1；

2.next函数值如果减少，例：next[8] = 5,当增加一个字符至next[9]时，发现匹配失败，那就可以从前面匹配成功的五个字符中，再找出一段相等前后缀，aabaa中最长相等前后缀为aa，因此可以利用前面的next[5] = 2来计算next[9]。

这样无论是增加还是减少都能找到规律，那么就可以进行优化。

代码：

ne[1] = 0;
for (int i = 2, j = 0; i <= n; i ++ )//n为模式串长度
{
    while (j && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j];//预判发现匹配失败，j就回跳到能匹配的位置，如果找不到能匹配的位置，j就回跳到0，退出while循环
    if (p[i] == p[j + 1]) j ++;//匹配成功，j指针后移一位，指向匹配前缀的末尾
    ne[i] = j;
}

2. 流程

双指针：i 扫描模式串, j扫描前缀。

初始化，ne[1] = 0, i = 2, j = 0;

每轮for循环，i向后走一步。

1.若p[i] != p[j + 1]，j 就回跳到能匹配的位置，如果找不到能匹配的位置，j就回跳到0，退出while循环。

2.若p[i] == p[j + 1]，让 j + 1，j指针后移一位，指向匹配前缀的末尾。

3.next[i] 等于 j 的值。

3.模拟执行过程

 *j反映 j 指针回跳的情况。

不带*反映i指针和j指针每轮循环后最后移动到的位置。

利用p[i] 与p[j + 1]作比较，就是做一个预判，如果匹配，j指针就向右移动一位(进可攻)，如果不匹配，就回跳到能匹配的位置(退可守)，如果找不到能匹配的位置(退无可退)，j 回跳到0，并退出while循环。

回跳：退而求其次，类似于套娃。

用以往匹配失败的信息，构造next()函数，尽量减少j指针回退的步数，从而减少模式串与主串的匹配次数。

4.时间复杂度

主要考虑while循环次数，即j指针走了多少步。j指针所走的总步数就决定了总的执行次数。每轮for，j至多+1，那么j一共向右至多走n步，往左跳的步数加起来最多不会超过n步，否则j变为负数，故j的总步数不会超过2n。例：模式串为aaa.....ab(长度为n)，i扫描模式串，j扫描前缀，i = 2， j= 1，i = 3, j = 2,....i指向n, j指向倒数第三个字符a，j != 0, p[i] != p[j + 1],j = ne[j],进入while循环从倒数第三个位置一步一步往回跳，这样计算j的总步数也不会超过2n.因此时间复杂度为O(n).

三、模式串与主串匹配

此过程与求next函数过程很相似，可以结合记忆。

1.代码

for (int i = 1, j = 0; i <= m; i ++)//m为主串长度
{
    while (j && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
    if (s[i] == p[j + 1]) j ++;
    if (j == n) printf("%d\n", i - n + 1);
}

2.流程

双指针：i 扫描主串, j扫描模式串。

初始化，i = 1 , j = 0;

每轮for循环，i向后走一步。

1.若s[i] != p[j + 1]，j 就回跳到能匹配的位置，如果找不到能匹配的位置，j就回跳到0，退出while循环。

2.若s[i] == p[j + 1]，让 j + 1，j指针后移一位。

3.若匹配成功，输出匹配位置。//如果要输出所有匹配位置，此处还需要再回跳,即加一行 j = ne[j];

3.模拟执行过程

 *j反映 j 指针回跳的情况。

不带*反映i指针和j指针每轮循环后最后移动到的位置。

4.时间复杂度

主要考虑while循环次数，即j指针走了多少步。j指针所走的总步数就决定了总的执行次数。每轮for，j至多+1，那么j一共向右至多走m步，往左跳的步数加起来最多不会超过m步，否则j变为负数，故j的总步数最多为2m。例：主串为aaa.....a(长度为n)，模式串为ab,i扫描主串，j扫描模式串，i = 1, j = 1; i = 2, j = 0;i = 3, j = 1; i = 4, j = 0,.....j指针随着i指针向前走一步，再往后跳一步，循环往复，所以时间复杂度为O(m).

四、重点

1.next[i] 表示模式串p[1, i]中相等前后缀的长度。

2.双指针 i指针不回退， j指针来回跑。

3.时间复杂度为：O(m +n)。

五、练习

给定一个模式串 S，以及一个模板串 P，所有字符串中只包含大小写英文字母以及阿拉伯数字。

模板串 P 在模式串 S 中多次作为子串出现。

求出模板串 P 在模式串 S 中所有出现的位置的起始下标。

输入格式

第一行输入整数 N，表示字符串 P 的长度。

第二行输入字符串 P。

第三行输入整数 M，表示字符串 S 的长度。

第四行输入字符串 S。

输出格式

共一行，输出所有出现位置的起始下标（下标从 0 开始计数），整数之间用空格隔开。

数据范围

1≤N≤1e5
1≤M≤1e6

输入样例：

3
aba
5
ababa

输出样例：

0 2

 答案代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
 
using namespace std;
 
const int N = 1e5 + 10, M = 1e6 + 10;
 
int n, m;
int ne[N];
char p[N], s[M];
 
 
//时间复杂度为O(m + n)
int main()
{
    cin >> n >> p + 1 >> m >> s + 1;//这样输入可以使字符串下标从1开始，便于执行操作
    
    //求next数组过程
    for (int i = 2, j = 0; i <= n; i ++ )//next[1] = 0;直接从2开始
    {
         while (j && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
         if (p[i] == p[j + 1]) j ++;
         ne[i] = j;
    }
  
    //kmp匹配过程
    for (int i = 1, j = 0; i <= m; i ++ )
    {
         while (j && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
         if (s[i] == p[j + 1]) j ++;
         if (j == n)
         {
             printf("%d ", i - n);//模板中是i - n + 1,但此题下标从0开始，故i - n + 1 - 1 = i - n
             j = ne[j];//求出模板串 P 在模式串 S中所以出现的位置的起始下标，找到一个位置后退回去再找一个
         }
    }
 
    return 0;
}

六、参考

1.b站--董晓算法 182 KMP 算法_哔哩哔哩_bilibili

2. AcWing算法基础课