回溯法的应用- 0-1 背包问题_利用回溯法编程求解0-1背包问题

实验内容 ：

        本实验要求基于算法设计与分析的一般过程（即待求解问题的描述、算法设计、算法描述、算法正确性证明、算法分析、算法实现与测试），通过回溯法的在实际问题求解实践 中，加深理解其基本原理和思想以及求解步骤。求解的问题为 0-1 背包。作为挑战：可以考虑回溯法在如最大团、旅行商、图的 m 着色等问题中的应用。

实验目的：

        ◆ 理解回溯法的核心思想以及求解过程（确定解的形式及解空间组织，分析出搜索 过程中的剪枝函数即约束函数与限界函数）；

        ◆ 掌握对几种解空间树（子集树、排列数、满 m 叉树）的回溯方法；

        ◆ 从算法分析与设计的角度，对 0-1 背包等问题的基于回溯法求解有进一步的理解。

实验步骤：

        步骤 1：理解问题，给出问题的描述。

        给定 n 种物品和一背包。物品 i 的重量是 wi>0，其价值为 vi>0，背包的容量为 c。 问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。

        步骤 2：算法设计，包括算法策略与数据结构的选择；

        利用回溯法试设计一个算法求出 0-1 背包问题的解，也就是求出一个解向量ｘi （即 对 n 个物品放或不放的一种的方案）。其中， (ｘi = 0 或１，ｘi = 0 表示物体ｉ不放入背包，ｘi ＝1 表示把物体ｉ放入背包）。

        在递归函数 Backtrack 中， 当 i>n 时，算法搜索至叶子结点，得到一个新的物品装包方案。此时算法适合更新 当前的最优价值。当 i<n时，当前扩展结点位于排列树的第（i-1）层，此时算法选择下一个要安排的 物品，以深度优先方式递归的对相应的子树进行搜索，对不满足上界约束的结点，则剪去相应的子树。

步骤 3：描述算法。采用源代码以外的形式（如伪代码、流程图等）来描述；

 

步骤 4：算法的正确性证明。这个环节，在理解的基础上对算法的正确性给予证明 ；

        在 0-1 背包问题中，解空间为：(x1,x2,...,xn), 如果当前结果 P1=(x1,x2,...,xn)是最优 解，那么 P2=(x1,x2,...,xn−1)的时候，也就是减少一个物品但不改变背包容量的时候， 可以想到 P2 依然是该问题的最优解。从子集树角度来看，也就是最后一层结点全部去 掉后的结果，那么当前结果也是最优的。 

步骤 5：算法复杂性分析，包括时间复杂性和空间复杂性；

        计算上界需要 O(n)时间，在最坏情况下有 O(2 ⁿ)个右儿子结点需要计算上界，故解 0-1 背包问题的回溯算法 backtrack 所需要的时间为 O(n2 ⁿ).

步骤 6：算法实现与测试。附上代码或以附件的形式提交，同时贴上算法运行结果截图；

        

#include<iostream>
#include<algorithm>
 
using namespace std;
class Knap {
    friend double knapsack(double *,double *,double ,int);
private:
    double Bound(int i) 
    {
        //计算上界
        double cleft = c - cw; //剩余容量
        double b = cp;
        //以物品单位重量价值递减序装入物品
        while (i <= n && w[i] <= cleft) {
            cleft -= w[i];
            b += p[i];
            i++;
        }
        //装满背包
        if (i <= n){
            b+=p[i]*cleft/w[i];
        }
        return b;
    }
    void Backtrack(int i) 
    {
        if (i > n) {
            //到达叶结点
            bestp = cp;
            return;
        }
        if (cw + w[i] <= c) { //进入左子树
            cw += w[i];
            cp += p[i];
            Backtrack(i + 1);
            cw -= w[i];
            cp -= p[i];
        }
        // float u=Bound(i + 1);
        // float bb=bestp;
        //当前的界是否大于背包当前的值
        if (Bound(i + 1) > bestp) { //进入右子树
            Backtrack(i + 1);
        }
    }
    
    double c; //背包容量
    int n; //物品数
    double *w; //物品重量数组
    double *p; //物品价值数组
    double cw; //当前重量
    double cp; //当前价值
    double bestp; //当前最优价值
};
 
class Object {
    friend double knapsack(double *,double *,double,int);
public:
    int operator<=(Object a) const {
        return (d >= a.d);
    }
private:
    int ID;
    float d;
};
double knapsack(double p[], double w[], double c, int n) {
    //为 Knap: Backtrack 初始化
    double W = 0;
    double P = 0;
    Object * Q = new Object[n];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        Q[i - 1].ID = i;
        Q[i - 1].d = 1.0 * p[i]/w[i];
        //cout<<Q[i - 1].d<<endl;
        P += p[i];
        W += w[i];
    }
    if (W <= c) return P; //装入所有物品
    //所有物品的总重量大于背包容量 c,存在最佳装包方案
    //sort(Q,n);对物品以单位重量价值降序排序（不排序也可以，但是为了便于计
    算上界，可将其按照单位重量价格从大到小排序）
    //对物品以单位重量价值降序排序
    //采用简单冒泡排序
    for(int i = 1; i<n; i++)    
        for(int j = 1; j<= n-i; j++)
        {
            if(Q[j-1].d < Q[j].d)
            {
                Object temp = Q[j-1];
                Q[j-1] = Q[j];
                Q[j] = temp;
            }
        }
    Knap K;
    K.p = new double[n + 1];
    K.w = new double[n + 1];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        K.p[i] = p[Q[i - 1].ID];
        K.w[i] = w[Q[i - 1].ID];
    }
    K.cp = 0;
    K.cw = 0;
    K.c = c;
    K.n = n;
    K.bestp = 0;    
    //回溯搜索
    K.Backtrack(1);
    delete[] Q;
    delete[] K.w;
    delete[] K.p;
    return K.bestp;
}
void input(int n,double p[],double w[])
{
    cout<<"请输入每件商品价值:"<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>p[i];
    }
    cout<<"请输入每件商品重量"<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++)    
    {
        cin>>w[i];
    }
}
int main(){
    double c;
    int n;
    cout<<"请输入背包容量:";
    cin>>c;
    cout<<"请输入物品数量:";
    cin>>n;    
    double p[n+1]={0};
    double w[n+1]={0};
    input(n,p,w);
    double m=knapsack(p,w,c,n);
    cout<<"此 0-1 背包问题的最优值为："<<m<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}

实验总结 ：

回溯法的思想： 能进则进，不进则换，不换则退.

 

回溯算法的框架： 以 DFS 的方式进行搜索，在搜索的过程中用剪枝条件（限界函数）避免无效搜索。约束函数，在扩展结点处剪去得不到可行解的子树；限界函数：在扩展结点处剪去得不到最优 解的子树。

 

回溯算法求解问题的一般步骤：

1、 针对所给问题，定义问题的解空间，它至少包含问题的一个（最优）解。

2 、确定易于搜索的解空间结构,使得能用回溯法方便地搜索整个解空间 。

3 、以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

常用剪枝函数： 用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树； 用限界函数剪去得不到最优解的子树