Column-and-row Generation 列和行生成算法（一）_行列生成算法

论文地址：Linear Programs with Column-Dependent-Rows

行生成算法与列生成算法

其实行生成算法（Row Generation/Constraint Generation）与列生成算法（Column Generation）单独的算法解释是有的：

“行生成，列生成”学习笔记

浅析constraint generation（约束生成，行生成）和column generation（列生成）

然而当两个算法需要统一成一个算法（Column-and-row Generation，以下简称CRG）的时候，发现相关的中资料特别少，那我就来抛砖引玉吧。

行生成算法简单来说是不断地生成一个行（被违反约束行），根据加入到RMP（Restricted Master Problem）中，求解RMP，直到得到最优解。

而列生成算法是不断地生成一个列（可行的变量列），根据PP（Price Problem）判断是否加入到RMP中，求解RMP，直到得到最优解。

column-dependent-rows (CDR-problems)

CRG是为了解决CDR problem而产生的，CDR问题是一类特定的线性规划问题（LP），其特征有：

• 生成列的同时也可能会生成相关的约束（linking constraints）（行），即存在与行和列同时相关的变量。
• 相关联的约束太多，无法将这些约束直接包含在公式中。完整的约束集的显性描述只在整个变量集存在时可用。约束不全是显性的，也就是说，行的个数不可能在一开始就知道。

CRG可以通过合适的decomposition方法来分解成子问题，比如Benders decomposition或者Dantzig–Wolfe decomposition。

这种问题如果单纯通过列生成法来解决，当找到一个列并把它作为新列加入RMP时，将带入新的关联约束，此时Pricing model对新列的判定不一定仍然有效，因为PP中只有对对偶的部分描述（只有对列的部分）仍然可用。主要是因为无法确定哪一个变量是双重变量，既与行相关又与列相关。

此时，需要引入同时进行优化的row与column生成算法。

Simultaneous Column-and-Row Generation for Large-Scale Linear Programs with Column-Dependent-Rows

这个方法最初出现在Linear Programs with Column-Dependent-Rows中，可以被拓展用于multi-stage cutting stock、time-constrained routing等问题。

在CRG问题中，很重点的一点是，新的关联约束是公式有效性所需的结构约束，这是与branch-and-cut-and-price问题不同的地方。

与其它算法（branch-and-X）的区别

branch-and-price：分支定价法是将column generation列生成算法集成到branch-and-bound分支定界法中。通过求解一个分离子问题得到的有效不等式，可以在分支价格树的节点上生成加强边界（strengthens LP relaxations）。

branch-and-cut-and-price：在这个算法中，通过分别求解分离和定价子问题，行和列被顺序地且彼此独立地生成。

而Simultaneous Column-and-Row Generation是同时生成行与列。

generic mathematical formulation of CDR-problems

Master problem：

其中：

• 约束MP-y和MP-x都是显性的。
• 约束MP-yx是非显性的，即使是先验的，也是指数级的多。

Short restricted master problem：

其中：

• 初始集：
• 约束集：
• 新的列变量：
• 新的约束集：

Three main assumptions 三个基本假设

1. x变量的生成取决于y变量的生成。此外，每个x变量只与一组linking constraint相关联。
2. 最小变量集（minimal variable set）是一组y变量，它触发一组x变量的生成以及假设1意义上的相关linking constraint。这一假设意味着，在将至少一个相关最小变量集中的所有变量添加到SRMP之前，SRMP的可行解不违反任何缺失linking constraint。
3. 当一个新的约束被引入至这个column-and-row generation中时，对任意的k，存在一个关于i的constraint，以下面的形式：

这些假设用中文描述都不是那么精确，下附英文版本可以对照来理解：

示例1：quadratic set covering model (QSC) 二次集合覆盖问题

其中：

• columns k and l
• three linking constraints for each pair of y−variables
• a large number of y−variables

the objective is to cover all items j ∈ J by the sets k ∈ K at minimum total cost.

• A is a binary | J | × | K | matrix of set memberships
• F is a symmetric positive semidefinite | K | × | K | cost matrix

Relaxing the integrality restrictions：

• P := K × K is the set of all possible pairs
• Ajk = 1, if item j is covered by set k; and 0, otherwise.

示例2：multi-stage cutting stock (MSCS) 多阶段木材下料问题

The objective is to minimize the total number of stock rolls required.

• the set of intermediate and finished rolls are denoted by I and M
• The set of cutting patterns K for the first stage constitute the columns of C
• the columns of B are formed by the set of cutting patterns N for the second stage
• The matrix D establishes the relationship between the cutting patterns in the first and the second stages.