记忆化搜索—— 滑雪[洛谷]_滑雪洛谷

一、[SHOI2002] 滑雪

[SHOI2002] 滑雪（洛谷）

题目描述

Michael 喜欢滑雪。这并不奇怪，因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael 想知道在一个区域中最长的滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子：

1   2   3   4   5
16  17  18  19  6
15  24  25  20  7
14  23  22  21  8
13  12  11  10  9
1
2
3
4
5

一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度会减小。在上面的例子中，一条可行的滑坡为 $24$－$17$－$16$－$1$（从 $24$ 开始，在 $1$ 结束）。当然 $25$－$24$－$23$－$\dots$－$3$－$2$－$1$ 更长。事实上，这是最长的一条。

输入格式

输入的第一行为表示区域的二维数组的行数 $R$ 和列数 $C$。下面是 $R$ 行，每行有 $C$ 个数，代表高度(两个数字之间用 $1$ 个空格间隔)。

输出格式

输出区域中最长滑坡的长度。

样例 #1

样例输入 #1

5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9
1
2
3
4
5
6

样例输出 #1

25
1

提示

对于 $100\%$ 的数据，$1\le R,C\le 100$。

二、暴力DFS的缺陷

我们的第一感觉就是我直接从第一个点开始枚举，从第一个点开始DFS，一条路走到黑。

但是我们分析一个这个方法的时间复杂度：
我们走到每个点是不是几乎都有四个选择，这个图最大有300*300个点，我们站在每个点都有4个选择，可以不太严谨的认为：4^300*300，这就不用说了，直接暴了。尽管实际上可能比这个数字要小一些，但是这个数量级是很可怕的。

那么为什么呢？

其实很简单，假设我们已经有了一个最优的路线：a-->b-->c-->d-->y-->x-->i-->d，假设我们第一次枚举的是b这个点，接着经过搜索，我们找到了这条路：b-->c-->d-->y-->x-->i-->d。接着我们枚举a，其实此时就很简单了对吧，我们直接让b的最优解加上a这个点就行了。 一次就算完了。

可是计算机不知道这件事，它将花费大量的资源去搜。

那么怎么办呢？本质原因就是我们没有保存下来我们的计算结果。

而为了解决这个问题，我们可以采用下面介绍的优化方式：记忆化搜索

三、记忆化搜索=记忆化数组+DFS

1、分析

我们记录每次的结果，如果我们在求解问题的时候，遇到了我们已经解决的子问题，我们直接从表中找到数据返回就行了。

那么这道题中，我们就直接记录我们搜索过的点所能达到的最大路程。如果遇到相同的点，我们就直接返回我们记录的数据，终止重复搜索。

那么这样做的话，我们每个表中的点只会遍历一次。此时的时间复杂度就是$O(n^2)$

2、代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=310;
int g[N][N];
int f[N][N];
int n,m;
int dx[4]={-1,0,1,0},dy[4]={0,1,0,-1};
int dfs(int x,int y)
{
    if(f[x][y]!=-1)return f[x][y];
    f[x][y]=1;
    for(int i=0;i<4;i++)
    {
        int a=x+dx[i],b=y+dy[i];
        if(a>=1&&a<=n&&b>=1&&b<=m&&g[a][b]<g[x][y])
        f[x][y]=max(f[x][y],dfs(a,b)+1);
    }
    return f[x][y];
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&g[i][j]);
        }
    }
    memset(f,-1,sizeof f);
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            res=max(res,dfs(i,j));
        }
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43