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基于四元素法的捷联惯导姿态更新算法_捷联式四元素
作者：IT小白 | 2024-02-20 03:58:44
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捷联式四元素
摘要
本文主要介绍了机载捷联惯导系统常用的姿态更新算法——四元素法，并重点介绍了利用四元素法进行姿态更新的一般过程。
关键词：四元素法，连贯导，姿态
1 引言
所谓姿态更新是指将运载体上惯性单元的输出，实时转换成运载体的姿态。这里的姿态通常指机体坐标系(b系)相对于导航坐标系(n系)的角位置。
对于一个姿态求解系统而言，其内部的姿态更新算法，无疑是其整个系统的核心，如何根据系统输入以及应用场合的特点选用一种速度、精度都能充分满足要求的算法是系统设计人员必须认真考虑的一件事情。目前，常用姿态更新算法主要有欧拉角算法、方向余弦法、四元素法以及旋转矢量法。
欧拉角算法通过求解欧拉角微分方程直接计算航向角、俯仰角和横滚角，但由于其微分方程特点，当俯仰角接近90º度时方程出现退化，故其只适用于水平姿态变化不大的情况，而不适用于全姿态的姿态确定。
方向余弦法避免了退化问题，可计算运载体全姿态，但是由于算法计算量大，实时计算困难，工程中很少采用。
四元素法计算量比余弦法小，且算法简单，易于操作，是比较实用的工程方法。但其对有限转动引起的不可交换误差的补偿程度不够，所以只适用于低动态运载体的姿态解算。对于高动态运载体，其算法漂移十分严重。
旋转矢量法根据运载体角速度拟合方式，分为单子样算法（常数拟合），二子样算法（直线拟合），三子样算法（抛物线拟合）。因此可以根据需要采用合适的多子样算法实现对不可交换误差做有效补偿。旋转矢量法精度通常优于四元素法，但是通常计算量较四元素法更大，其较四元素法更适合角机动频繁或者存在严重角振动的场合。值得一提的是，当旋转矢量法采用单子样计算姿态时，就等同于四元素法。
由于民航飞机以及直升机正常工作状态常处于低动态，故在此类飞机的捷联惯导系统中常采用四元素法作为姿态更新算法，本文也将主要针对应用于此类系统的四元素法进行介绍。
2 四元素定义
所谓四元素，即由四个元构成的数：
(2.1)
其中q0、q1、q2、q3是实数，i、j、k既是互相正交的单位向量，又是虚单位，因此四元素既可以看作是四维空间中的一个向量，又可看作一个超复数。
3 四元素性质
在计算运载体姿态时，当只关心机体坐标系相对于导航坐标系的的角位置时，可以认为机体坐标系(b系)是由导航坐标系(n系)经过无中间过程一次性等效旋转形成的，四元素Q包含了这种等效旋转的全部信息。其姿态变换公式见下式：
(3.1)
式(3.1)中，为b系中矢量，为b系相对于n系旋转后，在n系中的矢量投影结果。式中坐标旋转矩阵具体形式如下：
(3.2)
当已知运载体的航向角Y、俯仰角q、横滚角g时，机体坐标系相对于导航坐标系的一次性等效旋转矩阵还可以表示成如下形式：
(3.3)
记
，故当已知姿态变换矩阵时，根据式(3.2)、式(3.3)可以求出当前姿态的四元素以及欧拉角，其中四元素求解方程如下：
，故当已知姿态变换矩阵时，根据式(3.2)、式(3.3)可以求出当前姿态的四元素以及欧拉角，其中四元素求解方程如下：
(3.4)
式中q0、q1、q2、q3的符号可以按下式确定，其中的值可以任意假设：
(3.5)
由旋转矩阵式(3.3)得到的欧拉角求解公式如下：
(3.6)
式(3.6)中的航向角和横滚角的真值按表1和表2确定。
表1
表3.2
4 四元素微分方程的毕卡求解法
捷联陀螺的输出通常是角速度，因此，为了计算运载体姿态，我们需要引入四元素微分方程。引入微分方程的好处是，根据上一时刻姿态四元素，通过定时采样机体坐标系的三轴角增量即可求出新的姿态四元素(即机体坐标系相对于导航坐标系的四元素)。
四元素微分方程见下式：
(4.1)
式(4.1)中：
(4.2)
其中
分别为定时采样时三个轴的角增量，I为单位矩阵。因此由时刻陀螺仪定时采样的角增量，结合式(4.1)，即可求出
时刻的四元素
。
分别为定时采样时三个轴的角增量，I为单位矩阵。因此由时刻陀螺仪定时采样的角增量，结合式(4.1)，即可求出时刻的四元素。
5 四元素姿态更新流程
利用四元素微分方程进行姿态更新前，需要知道系统的初始四元素，求取初始四元素的方法以捷联惯导为例，通常是利用捷联惯导的加速度计在无加速状态时的输出结果计算出系统初始的欧拉角，再利用式(3.3)求出初始的姿态旋转矩阵
，再将
的矩阵元素代入式(3.4)、式(3.5)即可求出初始四元素。
，再将的矩阵元素代入式(3.4)、式(3.5)即可求出初始四元素。
求出初始四元素后，定时采样系统陀螺仪的角速度即可得到等时间间隔内的系统角增量，代统姿态。
6 结论
本文仅对基于四元素法更新的一般情况进行了讨论，实际应用中还必须充分考虑到四元素法由于算法本身问题造成的误差，例如利用四元素法进行姿态更新时，陀螺仪的角增量为定时采样的，然而实际陀螺仪的输出并非完全线性关系，即不为常数，同时四元素法对旋转轴的旋转次序是敏感的，即当
的结果相同时，不同的输出次序将导致不同的四元素更新结果。而在利用四元素法进行姿态更新时，近似的认为其在等时间内三轴同时产生角增量。这势必产生前文所述的不可交换误差。缩短采样时间间隔可以有效降低近似误差，然而却增加了计算量，对系统提出了更高要求，因此实际使用中必须根据应用场合对四元素法进行适当修正，才能得到满意的结果。
的结果相同时，不同的输出次序将导致不同的四元素更新结果。而在利用四元素法进行姿态更新时，近似的认为其在等时间内三轴同时产生角增量。这势必产生前文所述的不可交换误差。缩短采样时间间隔可以有效降低近似误差，然而却增加了计算量，对系统提出了更高要求，因此实际使用中必须根据应用场合对四元素法进行适当修正，才能得到满意的结果。
[1] 秦永元，惯性导航[M]，北京：科学出版社，2009。
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