数学建模方法自己归纳总结（建模参考用，包含相应例题以及MATLAB代码）_多个自变量和多个因变量

各类方法概述：
预测判别方法：

1. BP神经网络
2. 模糊识别
3. 贝叶斯判别

分类方法：

1. 模糊聚类分析（模糊数学，模糊矩阵，k截矩阵）
2. K-means聚类分析
3. 系统聚类分析

综合评价：

1. 灰色关联（贴近度）
2. 因子分析综合评价（主成分分析反过来，找隐藏的综合评价因子）
3. TOPSIS评价（正贴近度，负贴近度）
4. 模糊综合评价（与单因素评价结合，有多级模糊综合评价）

分析方法：

1. 定权法：层次分析定权法，熵权定权法，均方差定权法
2. 主成分分析思想
3. 通经分析：
   #仅仅研究两个变量之间的关系：简单相关系数
   多个相关变量中研究两个变量之间的关系：偏相关系数
   多个不相关变量与一个因变量之间的关系：多元回归
   多个相关的自变量与一个因变量之间的关系：通经分析
   多个相关的因变量和多个相关的自变量之间的关系：典型相关性分析
4. 非参数统计分析
   a. 两组样本的非参数检验
   1） 配对样本数据符号检验法
   2） 两组配对样本非参数秩和检验法（更精细）
   3） 两组样本非参数检验（非配对）（秩和检验）
   b. 多组独立样本的非参数检验
   1） 多组独立样本的H检验法（单向秩次方差分析法）（最强方法）（总体不服从正态分布或无法确定总体分布
5. 单因素方差分析
6. 分类变量的独立性检验
7. 连个变量之间的相关系数

预测方法

1. 多序列回归预测模型（解线性方程组）（多个因变量，多个自变量）
2. 随机序列的Markov链预测（马尔科夫链转移矩阵）
3. 时间序列ARIMA预测分析（用多步差分消除周期，单步差分消除趋势，）
   （单个自变量，多个因变量）
   #时间序列分析建模步骤
4. 残差修正和新陈代谢灰色预测（数据量小，不服从正态或分布不详，数据具有指数趋势）
5. 单序列时间的回归预测（单个自变量，单个因变量）

其他基本建模操作

1. 单序列数据的正态性检验
2. 单序列数据的平稳性检验
3. 单序列数据的白噪声检验

基础知识：

1. MATLAB基本操作
   1） 基本操作与运算
   2） 函数文件
   3） 条件语句
   4） 循环语句
2. 统计学基础知识：
   1） 常见统计量及分布
   2） 假设检验思想与应用
   3） 特征值与特征向量
   4） 回归模型的思想及应用

各类方法详细描述（含代码）

预测判别方法：

1. BP神经网络
   
   

//分析建模
/*
->将问题看作一个系统，飞蠓的数据作为输入，非盟的类型作为输出，研究输入与输出的关系。输入的数据有15个，即，
p=1,...,15;j=1,2对应15个输出
->建立一个只有输入层与输出层的神经网络模型，输入层采用tansig激发函数，输出层采用purelin激发函数。
->为了便于计算机处理，可以将符号数字化。将Apf类记为0.利用MATLAB中的ANN工具箱函数，编写如下程序：*/
p=[1.14 1.18 1.20 1.26 1.28 1.30 1.38 1.38 1.38 1.40 1.48 1.54 1.56 1.36 1.24;
   1.78 1.96 1.86 2.00 2.00 1.96 1.64 1.82 1.90 1.70 1.82 1.82 2.08 1.74 1.72];
   %输入两种飞蠓的参数
t=[1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ];%两种飞蠓的类别
net=newff(minmax(p),[2,1],{'tansig','purelin'});  %建立一个具有两层的神经网络
net.trainParam.show=50;%显示训练结果的间隔步数
net.trainParam.epochs=1000;%训练次数
net.trainParam.goal=1e-2;%设置训练参数
net=train(net,p,t);
pp=[1.24 1.28 1.40 ;1.80 1.84 2.04};%输入需要判别的三只飞蠓参数
y=sim(net,pp)      %利用已经训练好的网络识别三只飞蠓

y=
  0.4172 0.3846 0.7132



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2. 模糊识别(贴近度）
   

//输入数据
A=[1 0.8 0.5 0.4 0 0.1;
   0.5 0.1 0.8 1 0.6 0;
   0 1 0.2 0.7 0.5 0.8;
   0.4 0 1 0.9 0.6 0.5;
   0.8 0.2 0 0.5 1 0.7;
   0.5 0.7 0.8 0 0.5 1];
B=[0.7 0.2 0.1 0.4 1 0.8];
//调用函数
[C]=fuzzy_mssb(2,A,B)

//输出结果
C=
  0.3333 0.3778 0.4545 0.4348 0.8824 0.4565
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4. 贝叶斯判别
   

//代码解释
[jg,wpl,gl]=classify(pb,xl,lb);
pb指带判别的数据集，行是样本，列代表指标；
xl指训练样本，行是样本，列代表指标；
lb指训练样本的类别，列向量；
jg指的是判别结果，即pb数据集中每一个行的样本点属于的类别；
wpl指的是总的误判率；
gl指的是panbic数据集中每一个样本点属于每一类的概率
//计算代码如下
>>[x,textdata]=xlsread('bayes.xls‘）；
>pb=x(1:14,3:5);
>xl=x(1:10;3:5);
>lb=x(1:10,1);
>gj=testdata(2:15,2);
>[jg,wpl,gl]=classify(pb,xl,lb);
>[gj,num2cell([jg,gl])]
>wpl
>
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从运行结果可以看出
中国和罗马尼亚属于第二类，希腊和哥伦比亚属于第一类
误判率是0，说明训练的样本训练的效果相当的好，没有出现反常的点

#注：另外：classify工具箱也可以根据training 和group计算各组出现的频率，作为各组先验概率的估计，详见课件
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分类方法：
5. 模糊聚类分析（模糊数学，模糊矩阵，k截矩阵）

例子：考虑某环保部门对于该地区5个环境区域X={x1,x2,x3,x4,x5}
按照按污染情况进行分类。设每个区域包括空气、水分、土壤、作物4个
要素，环境区域的污染情况由污染物在4个要素的含量超过情况来衡量。
设这5个环境区域的污染数据为
x1=(80,10,6,2),x2=(50,1,6,4),x3=(90,6,4,6),
x4=(40,5,7,3),x5=(10,1,2,4).
试对X进行分类
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//代码
X=[80 10 6 2;50 1 6 4 ;90 6 4 6;40 5 7 3;10 1 2 4]
//调用函数
fuzzy_jlfx(3,5,X)
输出动态聚类图如下
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7. K-means聚类分析
   

//程序
[data,testdata]=xlsread('xtjl.xls');
gc=textdata(2:end,1);
data=zscore(data);
x1=data(:,1);x2=data(:,2);scatter(x1,x2,'r');
startdata=data([2,8,12,18],:);
idx=kmeans(data,4,'Start',startdata);
[S,H]=silhouette(data,idx);
gc(idx==1),gc(idx==2),gc(idx==3),gc(idx==4);

[data,textdata]=xlsread('xtjl.xls');
gc=testdata(2:end,1);
data=zscore(data);
idx=kmeans(data,4,'replicates',10);
[S,H]=sihouette(data,idx);
Leibie1=gc(idx==1),Leibie2=gc(idx==2),
Leibie3=gc(idx==3),Leibie4=gc(idx==4)

//分四类还是可以的
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9. 系统聚类分析
   
   
   
   
   
   
   
   

综合评价：
10. 灰色关联（关联度）（分布不必正态，小样本数据，只有排序有意义，本身的关联度没有实际意义）

//方法应用举例
//计算步骤如下：

//确定参考数列
clear;
data=xlsread('hsgl.xls','B3:H18');%将数据导入MATLAB默认路径下
[m,n]=size(data);
rou=0.5;
//数据标准化处理
%无量纲化-采用均值法
avedata=mean(data);%每列的均值
for i=1:m
  newdata(i,:)=data(i,:)./avedata;%无量纲化后的序列数据
end
//关联系数的计算
for j=2:n
  diff(:,j-1)=abs(newdata(:,1)-newdata(:,j));%差的绝对值
end 
%最大最小极差--采用总极差法
maxdiff=max(max(diff));%最大极差
mindiff=min(min(diff));%最小极差
for i=1:m
  for j=1:n
correlation(i,j)=(mindiff+rou*maxdiff)/(diff(i,j)+rou*maxdiff);
   end
end
correlationnew=mean(correlation)

corelationnew=
  0.7665 0.7749 0.8109 0.9273 0.5800
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12. 因子分析综合评价（主成分分析反过来，找隐藏的综合评价因子）
    

//分析：
//由于指标个数较多，不便于分析排序。
//因此，考虑先做因子分析找出指标的共同因子，
//再计算因子得分，通过分析因子得分来评价该地区的经济指标
x=xlsread('factor.xls');%调出数据
bzhx=zscore(x);%按照列向量做标准化
r=corrcoef(bzhx);%做相关系数矩阵
[vecl,tzl,conl]=pcacov(r);%直接给出特征向量，
    %由特征根降序排列，vecl特征向量，
                   %tzl特征值，conl累计贡献率
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//结果表明，5个因子对应的特征值，特征值表示因子贡献率。
//通常确定因子个数时，要求因子的累计贡献率大于80%
//结果表明应该选取2个因子，记为F1，F2
//贡献率分别为57.47% 35.93%

A=vecl*sqrt(diag(tzl));%因子载荷矩阵
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//对于实际问题，公共因子的实际意义不好解释。
//因此考虑将指标的系数极值化，
//即让系数趋近于0或1，趋近于1说明公共因子与该指标密切相关，
//否则趋近于0时说明相关程度很低。
//因此，要做因子方差极大旋转

%进行方差极大旋转，直接低矮用factoran计算结果与下面不同
am=A(:,1:2);
[bm,t]=rolatefactors(am,'method','varimax');
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//这个表示因子旋转阵，为旋转后得到的因子载荷矩阵。
//再保证正交轴的性质不变，每一行的平方和不变的前提下，
//每一列数据的方差已经达到极大

coef=inv(r)*bm;score=bzhx*coef;
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Tscore=score*conl(:,1:2);%综合评价
[STscore,ind]=sort(Tscore,'descend');%对地区进行排序
display=[score(ind,:)';STscore';ind'];%显示排序结果
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14. TOPSIS评价（正贴近度，负贴近度）
    

%将原始数据按照规定格式输入到data_topsis.xls中
%L存放各个指标的指示值
>>L=xlsread('data_topsis.xls','B4:G4');
>X=xlsread('data_topsis.xls','B6:G17');
>W=xlsread('data_topsis.xls','B19:G19');

>[m,n]=size(X);
>V=zeros(m,n);
>for i=1:m
>    for j=1:n
>    %根据指标指示值判断是越大越优型指标还是越小越优型指标
>    if L(j)==1     %越大越优型指标的标准化(其实就是消去量纲）
>      V(i,j)=(X(i,j)-min(X(:,j)))/(max(X(:,j))-min(X(:,j)））；
>    else
>      %越小越优型指标的标准化（其实是消去量纲）
>      V(i,j)=(max(X(:,j))-X(i,j))/(max(X(:,j))-min(X(:,j)));
>    end
>  end
>end

>%构建加权决策矩阵
>R=zeros(m,n);
>for i=1:m
>  for j=1:n
>    R(i,j)=W(j)*V(i,j);
>   end
> end
> %计算正理想解和负理想解
> SP=zeros(1,n);
> SM=zeros(1,n);
>   for j=1:n
>  %根据指标指示值判断是越大越优型指标还是越小越优型指标
>    if L(j)==1
>    %越大越优型指标的正理想解和负理想解
>    SP(j)=max(R(:,j));%正理想解
>    SM(j)=min(R(:,j));%负理想解
>    else
>    %越小越优型指标的正理想解和负理想解
>    SP(j)=min(R(:,j));%正理想解
>    SM(j)=max(R(:,j));%负理想解
>    end
>  end

>%计算各个方案与正理想解的距离
>SdP=zeros(1,m);
>for i=1:m
>  s=0;
>  for j=1:n
>    s=s+(SP(j)-R(i,j))^2;
>  end
>  SdP(i)=sqrt(s);
>end
>%计算各个方案与负理想解的距离
>SdM=zeros(1,m);
>for i=1:m
>  s=0;
>  for j=1:n
>    s=s+(SM(j)-R(i,j))^2;
>  end
>  SdM(i)=sqrt(s);
>end

>%计算贴近度
>yita=zeros(1,m);
>for i=1:m
>  yita(i)=SdM(i)/(SdP(i)+SdM(i));
>end
>disp('贴近度为：');
>yita
>//求解过程中，我们首先利用熵值法求出六个指标的熵权，
>即权重，依次为
>W=0.1531 0.5269 0.0746 0.0837 0.0766 0.0851
>再利用TOPSIS方法，对12个地块进行综合排序
>最后求得12个地块的贴近度为
>yit=
>  0.1097 0.5035 0.1227 0.8187
>  0.4964 0.8650 0.8237 0.7580 
>  0.7305 0.1853 0.8390 0.7733
>注：此处贴近度越小，说明项目的风险越小。
>根据计算结果，排序后，1号地可以作为首选投资项目
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16. 模糊综合评价（与单因素评价结合，有多级模糊综合评价）

一级综合评价
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二级综合评价
1

分析方法：
19. 定权法：层次分析定权法，熵权定权法，均方差定权法

层次分析法
1

模型求解程序

clear;
clc;
n1=5;%准则层的判断矩阵阶数
A=[1 1/2 4 3 3;2 1 7 5 5;1/4 1/7 1 1/2 1/3;1/3 1/5 2 1 1;1/3 1/5 3 1 1];
%准则层的判断矩阵
RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1 24 1.32 1.41 1.45];%平均随机一致性指标RI
[x,y]=eig(A);
lamda=max(diag(y));
num=find(diag(y)==lamda);
w0=x(:,num)/(sum(x(:,num))
cr0=(lamda-n1)/(n1-1)/RI(n1)

w0=
   0.2636
   0.4758
   0.0538
   0.0981
   0.1087
cr0=
   0.0161 
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熵权定权法
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[m,n]=size(X);
%矩阵X消除量纲后得到R
R=zeros(m,n);%零矩阵
for i=1:m
  for j=1:n
    %根据指标指示值判断是越大越优型指标还是越小越优型指标
    if L(j)==1
      %越大越优型指标的标准化
      R(i,j)=(X(i,j)-min(X(:,j)))/(max(X(:,j))-min(X(:,j))）；
      else
      %越学越优型指标的标准化
      R(i,j)=(max(X(:,j)))-X(i,j))/(max(X(:,j))-min(X(:,j))）；
     end
   end
 end
%给第j项指标对不同评价对象求和，得SumR
sumR=sum(R);
%初始化特征比重矩阵p
p=zeros(m,n);%零矩阵，可有可无
%计算第i个评价对象第j项指标的特征比重p
for i=1:m
  for j=1:n
    p(i,j)=R(i,j)/sumR(j);
  end
end
%判断p中元素是否为0，如果为0，p(i,j)*ln(p(i,j))=0
%用中间变量tp表示：p(i,j)*ln(p(i,j))
tp=zeros(m,n);%零矩阵，可有可无
for i=1:m
  for j=1:n
  %根据p(i,j)是否小于等于0给tp赋值
  if p(i,j)<=0
    tp(i,j)=0
    else
      tp(i,j)=p(i,j)*log(p(i,j));
    end
  end
end

%计算第j项指标的条件熵
H=-sum(tp);
%计算第j项指标的熵值
E=H/log(m);
%计算差异系数G
G=1-E;
%计算熵权W
W=G/sum(G)

。运行得到权重
W=
  0.0768 0.0438 0.0756 0.1338 0.1292 0.1041 0.1336 0.1041 0.0780 0.1211
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均方差定权法
1

x=xlsreead('zef_data.xls');
[m,n]=size(x);
for j=1:n
  sigma2(j)=0;
  for i=1:m
    v(i,j)=(x(i,j)-min(x(:,j)))/(max(x(:,j))-min(x(:,j)));
    sigma2(j)=sigma2(j)+((v(i,j)-mean(v(:,j)).^2));
  end
end
sigma=sigma2^.(1/2);
alpha=sigma./sum(sigma)

运行结果
alpha=
 0.0939 0.1222 0.1111 0.0863 0.0929 0.1048 0.0868 0.1017 0.1033 0.0947

均方差定权的计算步骤
（1)求均值
 （2）求均方差
   （3）求权重
按照均方差法的步骤
进行四步就求出10个指标的权重，
接着就可以运用加权平均对
消除量纲后的数据进行综合评价。
只需要加一个程序就可以完成
Zh=v*alpha' 

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21. 主成分分析思想
    
    
    
    
    
    补充：主成分分析与因子分析的关系
    鉴于主成分分析现实含义的解释缺陷，统计学斯皮尔曼又对主成分分析进行扩展。因子分析在提取公因子时，不仅注意变量之间是否相关，而且考虑相关关系的强弱，使得提取出来的公因子不仅起到降维的作用，而且能够被很好的解释。因子分析与主成分分析是包含与扩展的关系。

首先解释包含关系。如下图所示，在SPSS软件“因子分析”模块的提取菜单中，提取公因子的方法很多，其中一种就是主成分。由此可见，主成分只是因子分析的一种方法。

其次是扩展关系。因子分析解决主成分分析解释障碍的方法是通过因子轴旋转。因子轴旋转可以使原始变量在公因子（主成分）上的载荷重新分布，从而使原始变量在公因子上的载荷两级分化，这样公因子（主成分）就能够用哪些载荷大的原始变量来解释。以上过程就解决了主成分分析的现实含义解释障碍。

23. 典型相关性分析
    
    
    
    
    
    

24. 通经分析：
    #仅仅研究两个变量之间的关系：简单相关系数
    多个相关变量中研究两个变量之间的关系：偏相关系数
    多个不相关变量与一个因变量之间的关系：多元回归
    多个相关的自变量与一个因变量之间的关系：通经分析
    多个相关的因变量和多个相关的自变量之间的关系：典型相关性分析
    
    
    
    
    

25. 非参数统计分析
    c. 两组样本的非参数检验
    4） 配对样本数据符号检验法
    
    
    
    
    
    

5） 两组配对样本非参数秩和检验法（更精细）

6） 两组样本非参数检验（非配对）（秩和检验）


d. 多组独立样本的非参数检验
2） 多组独立样本的H检验法（单向秩次方差分析法）（最强方法）（总体不服从正态分布或无法确定总体分布

27. 单因素方差分析
    
    
    
    
    
    
    
    

28. 分类变量的独立性检验
    

29. 连个变量之间的相关系数
    简单相关系数
    
    偏相关系数
    
    Spearman等级相关系数
    
    
    Kendall秩相关系数
    
    

预测方法
30. 多序列回归预测模型（解线性方程组）（多个因变量，多个自变量）

31. 随机序列的Markov链预测（马尔科夫链转移矩阵）
    
    
    
    
    
    
    
    
    

32. 时间序列ARIMA预测分析（用多步差分消除周期，单步差分消除趋势，）
    （单个自变量，多个因变量）
    
    
    
    
    
    

#时间序列分析建模步骤

34. 残差修正和新陈代谢灰色预测（数据量小，不服从正态或分布不详，数据具有指数趋势）
    
    
    
    
    
    

35. 单序列时间的回归预测（单个自变量，单个因变量）
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    

其他基本建模操作
36. 单序列数据的白噪声检验

37. 单序列数据的平稳性检验
    
    
    
    

38. 单序列数据的正态性检验
    

基础知识：
40. MATLAB基本操作
5） 基本操作与运算
6） 函数文件
7） 条件语句
8） 循环语句
41. 统计学基础知识：
5） 常见统计量及分布
6） 假设检验思想与应用
7） 特征值与特征向量
8） 回归模型的思想及应用

整理不易，如果对你有帮助的话，请支持一下!