数学建模【GM(1, 1)灰色预测】

一、GM(1, 1)灰色预测简介

乍一看，这个名字好奇怪，其实是有含义的

• G：Grey（灰色）
• M：Model（模型）
• (1, 1)：只含有一个变量的一阶微分方程模型

提到灰色，就得先说说白色和黑色

白色系统

• 典型例子：电阻器件
• 特点：内部特征是完全已知的，电压、电流和电阻之间的关系（欧姆定律）是已知的
• 知道电阻大小后，输入电压值，就能算出电流值
• 白色系统课“计算”出想要的结果

黑色系统

• 典型例子：一辆车
• 特点：内部特征是完全未知的，开车并不需要懂发动机设计和工作原理等
• 非专业人士虽然可以控制汽车，然而内部出故障时并不会修
• 黑色系统具有“不可知性”

灰色系统

• 典型例子：GDP就是灰色系统
• 特点：介于黑色和白色之间，部分已知，部分未知，具有小样本数据的不确定系统
• 我们有往年的数据和一定的理论基础（白色）
• 但无法精确计算得出下一年的值（黑色）
• 灰色无法“计算”，但并不是完全“不可知”，可以进行“预测”

二、适用赛题

数列预测

• 特点：定时求量，已知xx年到xx年的数据，请预测下一年的数值
• 常见GDP、人口数量、耕地面积、粮食产量等问题
• 针对的问题往往短期波动小、可预测，但长期可能变化大、难以准确预测

灾变预测

• 特点：定量求时，已知xx年到xx年的数据和某灾变的阈值，预测下一次灾变发生的时间
• 常见洪涝灾害、虫灾等问题
• 模型中需要把超出阈值的数据（异常数据）对应的时间组成新序列

拓扑预测

• 特点：对数据波形进行预测，求的是多个模型构成的模型群，等于求解多个灾变预测
• 与灾变预测类似，不过有较详细的分级，例如虫灾“轻微”“中度”“重度”

注意事项

• 需要的数据量少，而且数据量太多了没意义，例如用近100年去预测下一年毫无意义
• 只能短期预测，究竟多短没有严格限制

三、模型流程

四、流程分析

这里以一个例子贯穿流程分析

问题是预测下一年噪声数据

这个题目特点：数据少、看不出明显规律，适合用灰色预测

1.级比检验和平移变换

为了不让我们一顿操作猛如虎，一看预测不可靠，我们可以在开始之前对数据进行检验，确定原始数据GM(1, 1)模型的可行性。

这里

是原始数据的意思

如果在区间外，可尝试平移变换。也就是给每个数据都加上任意常数c后看是否在区间内，求解后再减去c。如果尝试多次平移变换后始终无法在区间内，说明题目不适合灰色预测。

2.累加数据

因为原始数据看不出什么规律，所以我们要进行操作制造规律，一般是累加数据

弱化其随机性，显现其规律性

3.构造方程

生成的新序列，看起来像一个指数曲线。因此可用一个指数曲线的表达式来逼近这个新序列，相应可构建一个一阶常微分方程来求解拟合指数曲线的函数表达式。

要预测下一年数值，就需要知道新序列的表达式，那就要解出微分方程。要解微分方程，就要先知道参数a和u

4.求参数

5.求解方程和预测值

拟合值与预测值

• 因为第1到7年的噪声数据是已知的，那么通过微分方程的函数解求出的值就是拟合值
• 拟合值与实际值的偏差，代表了模型的优劣
• 偏差越小，模型越好。偏差过大说明有问题，所以下一步需要拟合值进行模型检验

6.检验

至此，预测完成。

注：笔者在CSDN上打不出那些变量符号，所以一些难打的符号都是以截图形式呈现