可持久化线段树_可持久化权值线段树

可持久化线段树就是可以查询和修改历史版本的线段树

具体实现：

1. 我们采用动态开点的方式来建立线段树（当然也可以离散化）
2. build和query操作与普通动态开点线段树如出一辙
3. 对于修改操作，我们新增修改后的结点及其父结点，未修改过的结点直接copy过来
4. 对于一次修改，就是一次新增祖宗的过程，也是一次添加新版本的过程

各变量含义：

t[i] - i所表示区间的权值 

lson[p] - p结点左儿子所在位置

rson[p] - p结点右儿子所在位置

v[i] - 版本i起始结点所在位置

cnt - 下一个新增结点所在位置

a - 原数组

change函数中：p - 历史版本，q - 新版本

题目链接：可持久化线段树 1 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t[20000020], lson[20000020], rson[20000020], v[10000020], cnt = 2, a[10000005];
void build(int p, int l, int r) {
    if (l == r) {
        t[p] = a[l];
    } else {
        lson[p] = cnt++;
        rson[p] = cnt++;
        int m = l + r >> 1;
        build(lson[p], l, m);
        build(rson[p], m + 1, r);
        t[p] = t[lson[p]] + t[rson[p]];
    }
}
void change(int p, int q, int l, int r, int x, int d) {
    if (r < x || l > r) {
        lson[q] = lson[p];
        rson[q] = rson[p];
    } else if (l == r && l == x) {
        t[q] = d;
    } else {
        lson[q] = lson[p];
        rson[q] = rson[p];
        int m = l + r >> 1;
        if (x <= m) {
            lson[q] = cnt++;
            change(lson[p], lson[q], l, m, x, d);
        } else {
            rson[q] = cnt++;
            change(rson[p], rson[q], m + 1, r, x, d);
        }
        t[q] = t[lson[q]] + t[rson[q]];
    }
}
int query(int p, int l, int r, int ql, int qr) {
    if (l > qr || r < ql) {
        return 0;
    } else if (ql <= l && r <= qr) {
        return t[p];
    } else {
        int m = l + r >> 1;
        return query(lson[p], l, m, ql, qr) + query(rson[p], m + 1, r, ql, qr);
    }
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    build(1, 1, n);
    v[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int vi, op, x, d;
        cin >> vi >> op;
        if (op == 1) {
            cin >> x >> d;
            v[i] = cnt++;
            change(v[vi], v[i], 1, n, x, d);
        } else {
            cin >> x;
            v[i] = v[vi];
            cout << query(v[vi], 1, n, x, x) << endl;
        }
    }
    return 0;
}

主席树

背景：给定 n 个整数构成的序列 a，将对于指定的闭区间 [l, r] 查询其区间内的第 k 小值。

主席树全称为可持久化权值线段树，简单来说，第i个版本的线段树存的是序列[1...i]构成的权值线段树，而用权值线段树很容易求出区间第k小，容易发现权值线段树是有可减性的，想要得到区间[l, r]的权值线段树，可以用区间[1, r] - 区间[1, l - 1]，从而求出第k小。具体过程可以去【Notes】【主席树】hdu2665 Kth number_juruo? juruo!-CSDN博客

// from : https://oi-wiki.org/ds/persistent-seg/
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn = 2e5;  // 数据范围
int tot, n, m;
int sum[(maxn << 5) + 10], rt[maxn + 10], ls[(maxn << 5) + 10],
    rs[(maxn << 5) + 10];
int a[maxn + 10], ind[maxn + 10], len;
inline int getid(const int &val) {  // 离散化
  return lower_bound(ind + 1, ind + len + 1, val) - ind;
}
int build(int l, int r) {  // 建树
  int root = ++tot;
  if (l == r) return root;
  int mid = l + r >> 1;
  ls[root] = build(l, mid);
  rs[root] = build(mid + 1, r);
  return root;  // 返回该子树的根节点
}
int update(int k, int l, int r, int root) {  // 插入操作
  int dir = ++tot;
  ls[dir] = ls[root], rs[dir] = rs[root], sum[dir] = sum[root] + 1;
  if (l == r) return dir;
  int mid = l + r >> 1;
  if (k <= mid)
    ls[dir] = update(k, l, mid, ls[dir]);
  else
    rs[dir] = update(k, mid + 1, r, rs[dir]);
  return dir;
}
int query(int u, int v, int l, int r, int k) {  // 查询操作
  int mid = l + r >> 1,
      x = sum[ls[v]] - sum[ls[u]];  // 通过区间减法得到左儿子中所存储的数值个数
  if (l == r) return l;
  if (k <= x)  // 若 k 小于等于 x ，则说明第 k 小的数字存储在在左儿子中
    return query(ls[u], ls[v], l, mid, k);
  else  // 否则说明在右儿子中
    return query(rs[u], rs[v], mid + 1, r, k - x);
}
inline void init() {
  scanf("%d%d", &n, &m);
  for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", a + i);
  memcpy(ind, a, sizeof ind);
  sort(ind + 1, ind + n + 1);
  len = unique(ind + 1, ind + n + 1) - ind - 1;
  rt[0] = build(1, len);
  for (int i = 1; i <= n; ++i) rt[i] = update(getid(a[i]), 1, len, rt[i - 1]);
}
int l, r, k;
inline void work() {
  while (m--) {
    scanf("%d%d%d", &l, &r, &k);
    printf("%d\n", ind[query(rt[l - 1], rt[r], 1, len, k)]);  // 回答询问
  }
}
signed main() {
  init();
  work();
  return 0;
}